在属性集U上，X、Y都是U上的子属性集，如果可以根据属性集X中属性的值唯一确定属性集Y中属性的值，则称Y函数依赖于X，记做$X\to Y$.
比如说：
实例1：属性集U={学号，姓名，年龄}，{学号}和{姓名}都是属性集U上的子集，当给定一个学号的值时，可以唯一个姓名的值，这样就符合函数依赖的关系，我们说{姓名}函数依赖于{学号}，即$学号姓名{学号}\to {姓名}$。
实例2：还有一种情况，比如说X={学号,姓名}，Y={姓名}，当给定一个X的值时，也可以唯一确定Y的值，也有Y函数依赖于X，即$学号姓名姓名{学号,姓名}\to{姓名}$
可以发现实例2中Y是X的子集，即$Y \subseteq X$，这种情况我们称$X\to Y$是平凡的函数依赖，而对于实例1，$Y \subseteq X$不成立，这种情况下我们称$X\to Y$是非平凡的函数依赖。
在R(U)中，如果Y函数依赖于X但是Y不函数依赖于X的任何子集，则称Y完全函数依赖于X，记为$X\stackrel{F} \to Y$,否则称Y部分依赖于X，记做$X \stackrel{P} \to Y$。
比如属性集U中有3个属性：${a,b,c}$，如果${a,b}\to {c}$，且${a} \to {c}$，就不能说${c}$完全函数依赖于$，{a，b}$，反过来，如果
在R(U)中，如果$X \to Y , Y \nrightarrow X,Y\to Z$，则称Z传递函数依赖于X，记为$传递X \stackrel{传递} \to Z$.
注意这里一定要满足条件
设K为R(U)中的属性或属性集合，若$K\stackrel{F} \to U$，则称K为R的候选码.
其实说白了，候选码就是最小的可以推出U中所有属性的集合，也就是说，如果确定了一组候选码的值，可以唯一确定一组U中所有属性的值，举个例子，U={a,b,c,d}，如果{a,b}的属性值确定后可以唯一确定{c,d}的值，即${a,b}\to {c,d}$，则{a，b}就是一组候选码（因为${a,b} \to {a,b}$一定是成立的，又有${a,b}\to {c,d}$，所以${a,b} \to {a,b,c,d}$即${a,b} \to U$）。
我们说候选码是最小的可以推出U中所有属性的集合，而这个集合中的任意一个属性值，就称为主属性，而在集合U中但不在候选码集合中的属性称为非主属性。
多值依赖比较抽象，这里用一张图解释：
如上图所示，我们假设R(U)是属性集U上的一个关系模式，将U划分为3个子集X、Y、Z，注意这里的X、Y、Z是三个子集，每一个子集中都可能含有若干个属性，且X、Y、Z、U满足$X\cap Y =\phi ,X\cap Z=\phi ,Y \cap Z=\phi ,X\cup Y \cup Z=U$，即X、Y、Z两两不相交、X、Y、Z之并为U(图上画的很清楚了)。
如果X，Y，Z满足X可以决定Z的值且Y和Z没有任何关系（Y的值变化不会引起Z的值变化），则称Z多值依赖于X，记为$X \to \to Z$.
多值依赖有以下几个特性：
-
对称性
如上图所示，如果$X \to \to Z$，则必有$X \to \to Y$.
-
传递性
如果$X\to \to {a},{a} \to {a,b,c}$，则$X \to \to {b,c}$.
一阶范式(1NF)的定义：关系中每一个分量都不可再分，则这样的关系模式属于第一范式(1NF)，即**"键值"对中的"值“**应该为单个数值，而不是集合。
比如如下关系模式：
这样的关系模式就不属于第一范式，因为$A1\to{b1,b2,b3}$，b1,b2,b3还可再分，若想将其变为第一范式，则应该：
这时这个关系模式就属于第一范式。
**二阶范式(2NF)**的定义：在1NF的基础上，消除关系模式中非主属性对候选码的部分函数依赖后，称该关系模式为2NF。
考虑下表：
可以发现，我们通过学生编号就可以确定出来学生姓名、班级编号、学生院系，即： $$ {学生编号}\to {学生姓名，班级编号，学生院系} $$ 我们发现除了这个函数依赖，还有课程编号、成绩这两个属性没有用到，也就是说我们可以得出: $$ {学生编号，课程编号，成绩}\to {学生姓名，班级编号，学生院系} $$
综合(1)式和(2)式，我们可以得出$学生姓名，班级编号，学生院系{学生姓名，班级编号，学生院系}$部分函数依赖于$学生编号{学生编号}$这个结论，则当前关系模式就不满足2NF的条件，即不属于2NF。
那么我们如何将上述关系模式转化为满足2NF要求的关系模式呢？自然是消除关系模式中非主属性对候选码的部分函数依赖，我们发现，上述关系模式不是2NF的原因在于$学生姓名，班级编号，学生院系{学生姓名，班级编号，学生院系}$部分函数依赖于$学生编号{学生编号}$，再进一步，是因为上述关系模式中出现了课程编号、成绩这两个属性，那么我们将这两个属性单独分离出来即可打破这种部分函数依赖，即将上面拆分为下面两个表格：
学生表：
学生-课程表：
这样就消除了关系模式中非主属性对候选码的部分函数依赖，该关系模式就属于2NF了。
定义：在1NF的基础上消除了非主属性对候选码的传递函数依赖后即满足3NF的要求。
以下表为例：
上表中主属性、候选码为学生编号，其他3个属性为非主属性，我们发现根据学生编号可以唯一确定院系，即院系函数依赖于学生编号，但是思考一下，我们是拿到学生编号后就能直接查出来所属院系吗？实际的流程应该是先根据学生编号确定班级编号，然后再根据班级编号确定院系，即从学生编号确定院系这个过程经历了班级编号这一中间属性，即院系是传递函数依赖于学生编号的，所以说，上表是不满足3NF的要求的。
要将一个关系模式转化为3NF，需要消除非主属性对候选码的传递函数依赖，对上表来说就是要消除院系对学生编号的传递函数依赖，那我们直接将院系和学生编号划分到两个表中就可以了，就像这样：
学生表：
班级-院系表：
这样该关系模式中就不存在非主属性对候选码的传递函数依赖了，就满足3NF的要求了。
定义：在1NF的基础上，将主属性对候选码的部分函数依赖、传递函数依赖消除后，就满足了BCNF的要求，如果这么说不够明白，我们换种说法，如果每一个函数依赖的决定因素都包含候选码，则满足BCNF的要求，也就是说，对于关系模式中的任意一个函数依赖$X\to Y$，如果X中都含有候选码，则该关系模式属于BCNF。
在理解定义之前我们先明确主属性和候选码的区别，我们说，如果从一个属性集合X出发可以确定所有属性集U中属性的值，就称X为该关系模式的候选码，即候选码是一个集合，而候选码集合中的属性称为主属性。
我们以一个例子来说明BCNF：
关系模式R(U)，属性集U={a,b,c}，有如下依赖关系： $$ {a,b} \to {c}\ {c} \to {a} $$ 很明晰在这个关系模式中{a,b}为候选码，a，b为主属性，那么它是否符合BCNF范式的要求呢？我们再看一遍BCNF范式的要求：每一个函数依赖的决定因素都包含候选码
对于第一个函数依赖：${a,b} \to {c}$，其决定因素${a,b}$包含了候选码，没有问题；
对于第二个函数依赖：${c} \to {a}$，其决定因素是${c}$，可是这个决定因素没有包含候选码即${a,b}$，所以这个函数依赖破坏了BCNF范式的要求。
那么我们如何将上述关系模式转化为满足BCNF范式要求的关系模式呢？方法和之前范式的规范化相同，很明显我们可以将(3)式转化为一张表： $$ {a,b} \to {c} $$
这个关系模式不满足BCNF范式要求的原因在于${c} \to {a}$，那么我们可以将上表拆分为两个表，即： $$ {c} \to {a} $$
定义：在1NF的基础上消除了非平凡且非函数依赖的多值依赖后即满足4NF的要求，再进一步，对于关系模式中的每个非平凡多值依赖的决定因素都包含候选码，则满足4NF的要求，这一点和BCNF范式的要求类似，只是BCNF范式是相对于函数依赖所做的要求，这里是相对于多值依赖所做的要求。
比如现在有关系模式R(U)，U={课程，教师，参考书}，该关系模式的依赖关系可总结为： $$ {课程} \to {参考书}\ {教师} \to {教师}\ $$ 即候选码为{课程}、{教师}。
另外注意，且满足{课程}、{教师}、{参考书}三个子集之交为空、之并为U，这样可以得到： $$ {课程} \stackrel{FF}\to {参考书} $$ {课程}中包含了候选码{课程}，所以有{参考书}多值依赖于{课程}，即$课程参考书{课程} \to \to {参考书}$.
而该关系模式中只有上述一个多值依赖，所以该关系模式属于4NF。
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注意各个范式之间的关系：
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将一个非xNF转化为xNF的方法是对原有的关系模式进行分解，比如将1个关系模式分解为n个
对于一个关系模式R，其属性集为U、函数依赖集为F，如果对其中的任何一个关系r中的两个元组t，s，满足若t[X]=s[X]，则t[Y]=s[Y]，则称F逻辑蕴含
可能大家看这个概念比较抽象，我们先来明确两个概念 ：
关系： 实体与实体之间的联系，在数据表中就是列的组合，比如{学号，姓名，年级}这就是一组关系，描述的是学号、姓名、年级这三个实体之间的联系。
元组： 数据表中每一行就是一个元组，比如{161610000,张三，一年级}这就是上述关系的一个元组
明确了这两个概念之后我们以上述实例来理解一下什么是F逻辑蕴含$X \to Y$：对于一张表，有3列，分别为学号、姓名、年级，其函数依赖集为： $$ F={\ {学号} \to {姓名}\ {学号} \to {年级}\ } $$
对于其中的任意两行（记为第t行和第s行），如果第t行和第s行的学号值相同，就有第s行的姓名值和第s行的姓名值相同，则称F逻辑蕴含$学号姓名{学号} \to {姓名}$，即函数依赖集F中蕴含的函数依赖为$学号姓名{学号} \to {姓名}$。
为了从函数依赖集F中寻找蕴含的函数依赖，比如已知函数依赖集F以及$X\to Y$，问$X \to Y$是否为F所蕴含，我们引入一套推理规则，即Armstrong公理系统：
设U为属性集总体，F是U上的一组函数依赖，于是有关系模式R<U,F>，对于R<U,F>有如下推理规则：
- 自反律 ：若$Y\subseteq X \subseteq U$，则$X\to Y$为F所蕴含
- 增广率：若$X\to Y$为F所蕴含，且$Z\subseteq U$，则$X\cup Z\to Y \cup Z$为F所蕴含
- 传递率：若$X\to Y$及$Y \to Z$为F锁蕴含，则$X\to Z$为F所蕴含
注意：由自反律得出的函数依赖均是平凡的函数依赖，因为$Y\subseteq X$.
本文我们总结学习了数据库中的关系数据库理论，由于本人太菜，文中可能会出现错误，如有读者发现，请及时联系我修改，不胜感谢。