lab-capacitor.tex

\documentclass[a4paper,12pt]{extarticle}
\def\source{templates}
\input{\source/head.tex}
\def\labauthor{Сарафанов Ф.Г.}
\def\labauthors{Сарафанов Ф.Г.}
\def\labnumber{218}
\def\labtheme{Измерение емкости конденсатора}
\input{\source/math_left-of-equation.tex}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\geometry		
	{
		left			=	2cm,
		right 			=	2cm,
		top 			=	3cm,
		bottom 			=	3cm,
		bindingoffset	=	0cm
	}
\input{\source/lab_colontitle.tex}
\usepackage{epigraph}
% \setlength{\epigraphrule}{0pt}


	    \pgfkeys{/pgf/number format/.cd,
		fixed,  1000 sep={\,}}
		\pgfplotstableset{
			% multicolumn names, % allows to have multicolumn names
			% col sep=tab, % the seperator in our .csv file
			% precision=2,
			% fixed zerofill, 										
			empty cells with={\textbf{--}},
			every head row/.style={
			before row={\toprule},
			after row={
				\midrule}
				},
			every last row/.style={after row=\bottomrule},
			every row/.style={after row=\midrule}, 				
			% dec sep align,
			% dec zerofill
			% fixed,fixed zerofill,
			% precision=2
		}

\begin{document}

\input{\source/lab_title-page.tex} %Титульная страница

\tableofcontents
\newpage

\section*{Введение} % (fold)
\addcontentsline{toc}{section}{Введение}
\label{sec:input}
\epigraph{\textit{Существует лишь то, что можно измерить.}}
{Цитата приписывается Максу Планку}


 Для измерения сопротивлений, емкостей и индуктивностей  часто  применяют
компенсационный метод, заключающийся в компенсации измеряемой величины некой эталонной величиной. 

В схеме типа <<мост>> элементы цепи соединяют  <<четырехугольником>>, в одну диагональ  которого  включают  источник  напряжения,  а  в  другую  --
измерительный  прибор.  При  определенном  соотношении   между   параметрами
элементов измерительный прибор показывает отсутствие напряжения в  диагонали
(баланс моста).



\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{img/chem}
	\caption{Принципиальная схема установки}
	\label{fig:figure1}
\end{figure}

\newpage
\section{Вывод формул}
\subsection{Напряжение на диагонали моста}

Применяя к контуру DATD второе правило Кирхгофа, получаем
\begin{equation}
i_1 R_1 + \frac{q_1}{C_1}=\varepsilon
\end{equation}
где$ i_1$ -- ток, текущий через сопротивление $R_1$, а $q_1$ -- заряд конденсатора $C_1$. 
Поскольку ток через измерительный прибор пренебрежимо мал ($R_G$ велико), то $i_1=\frac{\mathrm{d}q_1 }{\mathrm{d} t}$ и уравнение (1) принимает вид:
\begin{equation}
i_1=\frac{\mathrm{d}q_1 }{\mathrm{d} t} + \frac{q_1}{R_1 C_1}=\frac{\varepsilon}{R_1}
\end{equation}
Разделяя переменные и интегрируя:
\begin{equation}
 \int \limits^{q_1}_0 \frac{\mathrm{d} q_1}{q_1-\epsilon C_1}=-\int \limits^t_0 \frac{\mathrm{d} t}{R_1 C_1}
\end{equation}

\begin{equation}
	q(t)_1 = C_1 \varepsilon \cdot 
	% \left( 1- e ^{-\frac{t}{R_1 C_1}} \right)
	\left( 
		1-
		\exp\left[		
			-\frac{t}{R_1 C_1}
		\right]
	\right)
\end{equation}
Отсюда следует, что
\begin{equation}
	U_1(t) = \varepsilon \cdot 
	% \left( 1- e ^{-\frac{t}{R_1 C_1}}\right )
	\left( 
		1-
		\exp\left[		
			-\frac{t}{R_1 C_1}
		\right]
	\right)
\end{equation}
Аналогично рассматривая контур DBTD:
\begin{equation}
i_2 R_2 + \frac{q_2}{C_x}=\varepsilon
\end{equation}
\begin{equation}
i_2=\frac{\mathrm{d}q_2 }{\mathrm{d} t} + \frac{q_2}{R_2 C_x}=\frac{\varepsilon}{R_2}
\end{equation}
\begin{equation}
 \int \limits^{q_2}_0 \frac{\mathrm{d} q_2}{q_2-\varepsilon C_x}=-\int \limits^t_0 \frac{\mathrm{d} t}{R_2 C_x}
\end{equation}

\begin{equation}
q_x(t) = C_x \varepsilon \cdot 
\left( 
	1-
	\exp\left[		
		-\frac{t}{R_2 C_x}
	\right]
\right)
\end{equation}
\begin{equation}
U_x(t) =  \varepsilon \cdot 
\left( 
	1- 
	\exp\left[
	{-\frac{t}{R_2 C_x}}
	\right]
\right)
\end{equation}
Напряжение $U_G$ на измерительном приборе можно получить из соотношений
$\phi_1-\phi_2=U_1$; $-(\phi_2-\phi_3)=U_x$.

Получаем, что
\begin{equation}
 \phi_1-\phi_3 =U_G(t)=U_1(t)-U_x(t)= \varepsilon \cdot 
 % e ^ {-\frac{t}{R_2 C_x}} - e ^{-\frac{t}{R_1 C_1}} 
	\left( 
		\exp\left[		
			-\frac{t}{R_2 C_x}
		\right]
		-
		\exp\left[		
			-\frac{t}{R_1 C_1}
		\right]
 	\right)
\end{equation}


\subsection{Отклонение стрелки в баллистическом режиме}

Пусть мы знаем колличество витков на рамке N

Рамка помещена в постоянное магнитном поле и может поворачиваться вокруг своей оси. На неё подаётся ток $I\equiv I_G$

Сила Ампера, действующая на один виток равна $F_A=I B L$, где L -- ширина рамки

Момент, создаваемый этой силой равен $ \overrightarrow{M}=\left[ \overrightarrow{r};\overrightarrow{F_A} \right]$

Сила Ампера, действующая на всю рамку в целом тогда будет равна $F_{AO}=NIBL$

Таким образов, равнодействующий момент по модулю будет равен $M_o=HNF_A=HNIBL=IBSN$, где S -- площадь рамки

В гальванометре положение рамки фиксируется пружинами специальной формы, по которым к ней подводится измеряемый ток. На рамку действует момент сил Ампера и момент упругих сил пружинок, пропорциональный углу отклонения этой рамки от положения равновесия.
\begin{equation}
J \frac{\mathrm{d}\omega_z }{\mathrm{d} t}= I_GNSB- D \cdot \alpha
\end{equation}
$J$ -- момент инерции рамки, $\omega_z=\frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d} t}$ -- её угловая скорость вращения.

Если ток протекает кратковременно, рамка практически не успевает отклониться. В этом случае уравнение  легко проинтегрируется:
\begin{equation}
	J \mathrm{d} \omega_z =  I_GNSB\mathrm{d} t,
\end{equation}
\begin{equation}
\omega_{z0}=\frac{NSB}{J} \cdot \int I_G dt= \frac{NSB}{J}Q ,
\end{equation} 
  где $ \omega_{z0}$ -- угловая скорость, полученная рамкой, Q -- заряд, прошедший через гальванометр. После прекращения действия сил Ампера рамка, продолжая вращаться, отклоняется на некоторый угол, который можно найти, используя закон сохранения энергии:
  \begin{equation}
  \frac{J\omega_{z0}^2}{2}= \frac{D\alpha^2_{max}}{2}
   \end{equation}
Откуда
  \begin{equation}
\alpha_{max}=\frac{NSB}{\sqrt{JD}}\cdot Q 
  \end{equation}

Принципиально важно, что отклонение пропорционально заряду, протекшему через гальванометр.

\section{Результаты эксперимента}
\subsection{Зависимость времени заряда от $R_1C_1$} % (fold)
% \label{ssub:измерение_при_безинерционном_наблюдении}
   
\begin{table}[H]
	    % \caption{Экспериментальный подбор разбро}
	    \label{tab:diod}
		\centering
		\pgfplotstabletypeset[
			columns/r1/.style={
				column name={$R_1$, кОм},
			},
			columns/t/.style={
				column name={$t/k$, мс},
			},
			columns/dt/.style={
				column name={$\Delta t$, мс},
			},
			columns/mn/.style={
				column name={Множитель $k$},
			},
			columns/nu/.style={
				column name={$\nu$, Гц},
			},		
			columns/tt/.style={
				column name={$t$, мс},
			},						
			columns={r1,t,mn,dt,nu,tt},	 	
		]{data/rnu.dat}
\end{table}

\begin{figure}[H]
	\centering
	\begin{tikzpicture}[scale=1.4]
		    \begin{axis}[
			grid=both,
			% scale=2.35,
			% xmode=log,
			grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
			major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
			% axis lines=middle,
			minor tick num=5,
			xmin=0, 
			% xmax=11,
			ymin=1,
			% ymax=5,
			xlabel={$RC$, кОм$\cdot$мкФ},
			ylabel={$t$, мс},
			tick style={very thick},
		    % scale=0.5,
		    grid=both,
		    grid style={line width=1pt, draw=black!20},
		    major grid style={line width=.5pt,draw=black!90},
		    minor y tick num=4,
		    minor x tick num=4,   
		    xtick distance=1,
		    ytick distance=1,
		    % ymax = 1.8,
		    % xmin = 100,
		    % ymin = 0,
		    % xmax = 40,
		    ticklabel style={font=\normalsize,fill=white},    
		    axis lines=middle, 	
		    xlabel style={below right, xshift=1em, font=\normalsize},
		    ylabel style={above left, font=\normalsize},		
   			x label style={at={(axis description cs:0.5,-0.1)},anchor=north},
    		y label style={at={(axis description cs:-0.1,.5)},rotate=90,anchor=south},		        		
			% legend style={
			% at={(rel axis cs:0,1)},
			% anchor=north west,draw=none,inner sep=0pt,fill=gray!10}
		]
	        \addplot +[mark=*, mark size=4pt, ] table [x=r1, y=tt] {data/rnu.dat};
	        % \addlegendentry{$U_c=-7$ В}


	        % \addplot [samples=100, domain=0:52] {0.05215*e^(-(x-27)^2/2/(7.5)^2)};
	        % \addlegendentry{$\sigma_k=7.5$}

	        % \addplot [samples=100, domain=0:52, dashdotdotted] {0.05215*e^(-(x-27)^2/2/(7.649)^2)};
	        % \addlegendentry{$\sigma_k=7.649$}
		    \end{axis}
		\end{tikzpicture}	
	% \caption{Caption here}
	\label{fig:figure1}
\end{figure}

\newpage
Расчетная формула (условие баланса)
\begin{equation}
	C_2=C_1\frac{R_1}{R_2}
\end{equation}
Откуда
\begin{equation}
	\Delta C_2=
		\frac{R_1}{R_2}\Delta C_1+
		\frac{C_1}{R_2}\Delta R_1+
		\frac{C_1R_1}{R^2_2}\Delta R_2
\end{equation}

\subsubsection{Измерение при сигнале типа <<меандр>>}

\begin{table}[H]
	    % \caption{Экспериментальный подбор разбро}
	    \label{tab:diod}
		\centering
		\pgfplotstabletypeset[
			columns/r1/.style={
				column name={$R_1$, Ом},
			},
			columns/r2l/.style={
				column name={$R'_1$, Ом},
			},
			columns/r2r/.style={
				column name={$R''_1$, Ом},
			},
			columns/dr/.style={
				column name={$\Delta R_2$, Ом},
			},
			columns/rsr/.style={
				column name={$\mean{R_2}$, Ом},
			},
			columns/c2/.style={
				column name={$C_2$, мкФ},
			},			
			columns/dc2/.style={
				column name={$\Delta C_2$, мкФ},
			},						
			columns={{r1}, {r2l}, {r2r}, {dr}, {rsr}, {c2},{dc2}},	 	
		]{data/nur.dat}
\end{table}

\newpage

\subsubsection{Измерение при постоянном напряжении $U=15$ В}
\begin{table}[H]
	    % \caption{Экспериментальный подбор разбро}
	    \label{tab:diod}
		\centering
		\pgfplotstabletypeset[
			columns/r1/.style={
				column name={$R_1$, Ом},
			},
			columns/r2l/.style={
				column name={$R'_1$, Ом},
			},
			columns/r2r/.style={
				column name={$R''_1$, Ом},
			},
			columns/dr/.style={
				column name={$\Delta R_2$, Ом},
			},
			columns/rsr/.style={
				column name={$\mean{R_2}$, Ом},
			},
			columns/c2/.style={
				column name={$C_2$, мкФ},
			},			
			columns/dc2/.style={
				column name={$\Delta C_2$, мкФ},
			},						
			columns={{r1}, {r2l}, {r2r}, {dr}, {rsr}, {c2},{dc2}},	 	
		]{data/nur15.dat}
\end{table}

\begin{figure}[H]
	\centering
	\begin{tikzpicture}[scale=1.4]
		    \begin{axis}[
			grid=both,
			% scale=2.35,
			% xmode=log,
			grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
			major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
			% axis lines=middle,
			minor tick num=5,
			% xmin=0, 
			% xmax=11,
			% ymin=0,
			% ymax=5,
			xlabel={$R_1$, кОм},
			ylabel={$\Delta C_2$, мкФ},
			tick style={very thick},
		    % scale=0.5,
		    grid=both,
		    grid style={line width=1pt, draw=black!20},
		    major grid style={line width=.5pt,draw=black!90},
		    minor y tick num=4,
		    minor x tick num=4,   
		    xtick distance=1000,
		    ytick distance=0.25,
		    % ymax = 1.8,
		    % xmin = 100,
		    % ymin = 0,
		    % xmax = 40,
		    ticklabel style={font=\normalsize,fill=white},    
		    axis lines=middle, 	
		    xlabel style={below right, xshift=1em, font=\normalsize},
		    ylabel style={above left, font=\normalsize},		
   			x label style={at={(axis description cs:0.5,-0.1)},anchor=north},
    		y label style={at={(axis description cs:-0.2,.5)},rotate=90,anchor=south},		        		
			% legend style={
			% at={(rel axis cs:0,1)},
			% anchor=north west,draw=none,inner sep=0pt,fill=gray!10}
		]
	        \addplot +[mark=*, mark size=4pt, ] table [x=r1, y=dc2] {data/nur15.dat};
	        % \addlegendentry{$U_c=-7$ В}


	        % \addplot [samples=100, domain=0:52] {0.05215*e^(-(x-27)^2/2/(7.5)^2)};
	        % \addlegendentry{$\sigma_k=7.5$}

	        % \addplot [samples=100, domain=0:52, dashdotdotted] {0.05215*e^(-(x-27)^2/2/(7.649)^2)};
	        % \addlegendentry{$\sigma_k=7.649$}
		    \end{axis}
		\end{tikzpicture}	
	\caption{Погрешность определения емкости при $U=15$ В}
	\label{fig:figure1}
\end{figure}
\newpage
\subsubsection{Измерение при постоянном напряжении $U=45$ В}
\begin{table}[H]
	    % \caption{Экспериментальный подбор разбро}
	    \label{tab:diod}
		\centering
		\pgfplotstabletypeset[
			columns/r1/.style={
				column name={$R_1$, Ом},
			},
			columns/r2l/.style={
				column name={$R'_1$, Ом},
			},
			columns/r2r/.style={
				column name={$R''_1$, Ом},
			},
			columns/dr/.style={
				column name={$\Delta R_2$, Ом},
			},
			columns/rsr/.style={
				column name={$\mean{R_2}$, Ом},
			},
			columns/c2/.style={
				column name={$C_2$, мкФ},
			},			
			columns/dc2/.style={
				column name={$\Delta C_2$, мкФ},
			},						
			columns={{r1}, {r2l}, {r2r}, {dr}, {rsr}, {c2},{dc2}},	  	
		]{data/nur45.dat}
\end{table}

\begin{figure}[H]
	\centering
	\begin{tikzpicture}[scale=1.4]
		    \begin{axis}[
			grid=both,
			% scale=2.35,
			% xmode=log,
			grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
			major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
			% axis lines=middle,
			minor tick num=5,
			% xmin=0, 
			% xmax=11,
			% ymin=0,
			% ymax=5,
			xlabel={$R_1$, кОм},
			ylabel={$\Delta C_2$, мкФ},
			tick style={very thick},
		    % scale=0.5,
		    grid=both,
		    grid style={line width=1pt, draw=black!20},
		    major grid style={line width=.5pt,draw=black!90},
		    minor y tick num=4,
		    minor x tick num=4,   
		    xtick distance=1000,
		    ytick distance=0.1,
		    % ymax = 1.8,
		    % xmin = 100,
		    % ymin = 0,
		    % xmax = 40,
		    ticklabel style={font=\normalsize,fill=white},    
		    axis lines=middle, 	
		    xlabel style={below right, xshift=1em, font=\normalsize},
		    ylabel style={above left, font=\normalsize},		
   			x label style={at={(axis description cs:0.5,-0.1)},anchor=north},
    		y label style={at={(axis description cs:-0.2,.5)},rotate=90,anchor=south},		        		
			% legend style={
			% at={(rel axis cs:0,1)},
			% anchor=north west,draw=none,inner sep=0pt,fill=gray!10}
		]
	        \addplot +[mark=*, mark size=4pt, ] table [x=r1, y=dc2] {data/nur45.dat};
	        % \addlegendentry{$U_c=-7$ В}


	        % \addplot [samples=100, domain=0:52] {0.05215*e^(-(x-27)^2/2/(7.5)^2)};
	        % \addlegendentry{$\sigma_k=7.5$}

	        % \addplot [samples=100, domain=0:52, dashdotdotted] {0.05215*e^(-(x-27)^2/2/(7.649)^2)};
	        % \addlegendentry{$\sigma_k=7.649$}
		    \end{axis}
		\end{tikzpicture}	
	\caption{Погрешность определения емкости при $U=45$ В}
	\label{fig:figure1}
\end{figure}

\section{Выводы}

Мы измерили ёмкость неизвестного конденсатора $C_2=6.84\pm 0.06$ мкФ с помощью измерительного моста в двух режимах: инерционном и безинерционном. 

Инерционный способ в нашем эксперименте давал меньшую погрешность, чем баллистический. 

В инерционном способе использовался гальванометр, у которого соотношение $R_G\gg R_2$ не выполнялось, и из-за того что напряжение на измерительном приборе было отличным от нуля (разбаланс моста), что вносило дополнительную погрешность определения $R_2$. 


% В безынерционном способе погрешность определения $R_2$ зависит только от ЭДС источника



\end{document}