AL_006.000_Rectas_Planos.ipynb

{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Rectas y Planos\n",
    "\n",
    "## Rectas en 2D\n",
    "\n",
    "| $y=mx+b$ | $Ax+By=C$ |\n",
    "|-|-|\n",
    "| $m$: Pendiente | $A$:? |\n",
    "| $b$: punto de corte | $B$:? |\n",
    "| | $C$:? |\n",
    "| $m$ y $b$ únicos | $A,B,C$ no únicos|\n",
    "| No rectas verticales | Todas las rectas |\n",
    "\n",
    "En la siguiente tabla, las columnas describen algunas representaciones de las rectas en 2D. Los últimos tres renglones presentan como pasar de una representación a otra.\n",
    "\n",
    "\n",
    "\n",
    "| | I Ecuación lineal |  II Ecuación Paramétrica |  III Ecuación vectorial  | IV Dos puntos |\n",
    "|-|-|-|\n",
    "| | $Ax + By = C$     | $$\\begin{matrix} x=P_x +t v_x \\\\ y=p_y +t v_y \\end{matrix} $$ | $$\\begin{bmatrix} x \\\\ y \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} P_x \\\\ P_y \\end{bmatrix} + t\\begin{bmatrix} v_x \\\\ v_y \\end{bmatrix}$$         | $$P,Q$$ |\n",
    "| De I | | Solución general de $\\begin{bmatrix} A & B & : & C \\end{bmatrix}$ | Solución general de $\\begin{bmatrix} A & B & : & C \\end{bmatrix}$ | |\n",
    "| De II o III | Despejar $t$ e igualar | Notación | Notación |  $ \\begin{matrix}P = \\begin{bmatrix} P_x \\\\ P_y \\end{bmatrix}\\\\Q = \\begin{bmatrix} P_x \\\\ P_y \\end{bmatrix} + 1\\begin{bmatrix} v_x \\\\ v_y \\end{bmatrix}\\end{matrix}$|\n",
    "| De IV | | | $\\begin{bmatrix} P_x \\\\ P_y \\end{bmatrix}=P$, $\\begin{bmatrix} v_x \\\\ v_y \\end{bmatrix}=Q-P$ | .|\n",
    "\n",
    "Ejercicio. Complete la tabla para que las ecuaciones del mismo renglón representen la misma recta. Dibuje por cada renglón: la recta, los puntos $P$ y $Q$ y los vectores $v$ y $\\begin{bmatrix} A \\\\ B \\end{bmatrix}$.\n",
    "\n",
    "| I Ecuación lineal |  II Ecuación Paramétrica |  III Ecuación vectorial  | IV Dos puntos |\n",
    "|-|-|-|-|\n",
    "|$2x+3y=6$| | | |\n",
    "| | |$\\begin{bmatrix} x \\\\ y \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} -3 \\\\ 1 \\end{bmatrix} + t\\begin{bmatrix} 2 \\\\ 1 \\end{bmatrix}$| |\n",
    "| | | | $\\begin{bmatrix} 2\\\\ 2 \\end{bmatrix}, \\begin{bmatrix} -1 \\\\ 1 \\end{bmatrix}$|\n",
    "\n",
    "La siguiente tabla describe las representaciones de las rectas en 2D que pasan por el origen. En este caso para pasar de una representación a otra es suficiente con encontrar valores que cumplan $\\begin{bmatrix} A \\\\ B \\end{bmatrix} \\cdot \\begin{bmatrix} v_x \\\\ v_y \\end{bmatrix}=0$\n",
    "\n",
    "\n",
    "\n",
    " |  Ecuación lineal |   Ecuación Paramétrica |   Ecuación vectorial |  Otro punto | Ortogonal a\n",
    "|-|-|-|\n",
    " | $$Ax + By = 0$$     | $$\\begin{matrix} x=t v_x \\\\ y=t v_y \\end{matrix} $$ | $$\\begin{bmatrix} x \\\\ y \\end{bmatrix} =  t\\begin{bmatrix} v_x \\\\ v_y \\end{bmatrix}$$         | $$\\begin{bmatrix} v_x \\\\ v_y \\end{bmatrix}$$ | $$\\begin{bmatrix} A \\\\ B \\end{bmatrix}$$|\n",
    "\n",
    "Ejercicio. Complete la tabla para que las ecuaciones del mismo renglón representen la misma recta que pasa por el origen. Dibuje por cada renglón: la recta, el punto $P$ y los vectores $v$ y $\\begin{bmatrix} A \\\\ B \\end{bmatrix}$.\n",
    "\n",
    "| I Ecuación lineal |  II Ecuación Paramétrica |  III Ecuación vectorial  | IV Otro punto | Ortogonal a |\n",
    "|-|-|-|-|-|\n",
    "|$2x+3y=0$| | | | |\n",
    "| | |$\\begin{bmatrix} x \\\\ y \\end{bmatrix} =  t\\begin{bmatrix} 2 \\\\ 1 \\end{bmatrix}$| | |\n",
    "| | | | $\\begin{bmatrix} 3\\\\ 1 \\end{bmatrix}$| |\n",
    "| | | | | $\\begin{bmatrix} 3\\\\ 1 \\end{bmatrix}$ |\n",
    "\n",
    "\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "\n",
    "## Planos en 3D\n",
    "\n",
    "\n",
    "En la siguiente tabla, las columnas describen algunas representaciones de los planos en 3D. Los últimos renglones presentan como pasar de una representación a otra.\n",
    "\n",
    "\n",
    "\n",
    "| | I Ecuación lineal |  II Ecuación Paramétrica |  III Ecuación vectorial  | IV Tres puntos no col. | V Punto y ort.|\n",
    "|-|-|-|\n",
    "| | $Ax + By + Cz = D$     | $$\\begin{matrix} x=P_x + s u_ x + t v_x \\\\ y=p_y + s u_y + t v_y \\\\ z=p_z + s u_z + t v_z \\end{matrix} $$ | $$\\begin{bmatrix} x \\\\ y \\\\ z \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} P_x \\\\ P_y \\\\ P_z \\end{bmatrix} + s\\begin{bmatrix} u_x \\\\ u_y \\\\ u_z \\end{bmatrix} + t\\begin{bmatrix} v_x \\\\ v_y \\\\ v_z \\end{bmatrix}$$         | $$P,Q, R$$ | $$\\left(\\begin{bmatrix} x \\\\ y \\\\ z \\end{bmatrix} - \\begin{bmatrix} P_x \\\\ P_y \\\\ P_z \\end{bmatrix} \\right) \\cdot \\begin{bmatrix} A \\\\ B \\\\ C \\end{bmatrix} = 0$$ |\n",
    "| De I | | Solución general de $\\begin{bmatrix} A & B & C & : & D \\end{bmatrix}$ | Solución general de $\\begin{bmatrix} A & B & C & : & D \\end{bmatrix}$ | | |\n",
    "| De II o III || Notación | Notación |  $ \\begin{matrix}P = \\begin{bmatrix} P_x \\\\ P_y \\\\ P_z \\end{bmatrix}\\\\Q = \\begin{bmatrix} P_x \\\\ P_y \\\\ P_z \\end{bmatrix} + 1\\begin{bmatrix} v_x \\\\ v_y  \\\\v_z \\end{bmatrix} \\\\ R = \\begin{bmatrix} P_x \\\\ P_y \\\\ P_z \\end{bmatrix} + 1\\begin{bmatrix} u_x \\\\ u_y  \\\\ u_z \\end{bmatrix}\\end{matrix}$| $$\\begin{bmatrix} A \\\\ B \\\\ C \\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix} u_x \\\\ u_y \\\\ u_z \\end{bmatrix}  \\times \\begin{bmatrix} v_x \\\\ v_y \\\\ v_z \\end{bmatrix} $$| \n",
    "| De IV | | | $\\begin{bmatrix} P_x \\\\ P_y \\\\ P_z \\end{bmatrix}=P$, $\\begin{bmatrix} v_x \\\\ v_y \\\\ v_z \\end{bmatrix}=Q-P$, $\\begin{bmatrix} u_x \\\\ u_y \\\\ u_z \\end{bmatrix}=R-P$ | .| .|\n",
    "| De V | Realizar operaciones | | | | .|\n",
    "Ejercicio. Complete la tabla para que las ecuaciones del mismo renglón representen el mismo plano. Dibuje por cada renglón:  los puntos $P$, $Q$ y $R$ y los vectores $v$, $u$ y $\\begin{bmatrix} A \\\\ B \\\\ C\\end{bmatrix}$.\n",
    "\n",
    "\n",
    "| I Ecuación lineal |  II Ecuación Paramétrica |  III Ecuación vectorial  | IV Tres puntos | V Punto y ort.|\n",
    "|-|-|-|-|-|\n",
    "|$2x+3y+z=6$| | | | |\n",
    "| | |$\\begin{bmatrix} x \\\\ y \\\\ z \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} -3 \\\\ 1 \\\\ 4 \\end{bmatrix} + t\\begin{bmatrix} 2 \\\\ 1 \\\\ -3 \\end{bmatrix} + s\\begin{bmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ 1 \\end{bmatrix}$| | |\n",
    "| | | | $\\begin{bmatrix} 1\\\\ 2 \\\\3 \\end{bmatrix}$, $\\begin{bmatrix} 2\\\\ 2 \\\\1 \\end{bmatrix}$ y $\\begin{bmatrix} -1 \\\\ 1 \\\\2 \\end{bmatrix}$| .|\n",
    "| | | | | $$\\left(\\begin{bmatrix} x \\\\ y \\\\ z \\end{bmatrix} - \\begin{bmatrix} 4 \\\\ 1 \\\\ -3 \\end{bmatrix} \\right) \\cdot \\begin{bmatrix} 1 \\\\ 2 \\\\ 3 \\end{bmatrix} = 0$$|\n",
    "La siguiente tabla describe las representaciones de los planos que pasan por el origen. \n",
    "\n",
    "\n",
    "\n",
    " |  Ecuación lineal |   Ecuación Paramétrica |   Ecuación vectorial |  Dos puntos | Ortogonal a\n",
    "|-|-|-|\n",
    " | $$Ax + By + Cz = 0$$     | $$\\begin{matrix} x=s u_x + t v_x  \\\\ y=s u_y + t v_y \\\\ z=s u_z + t v_z \\end{matrix} $$ | $$\\begin{bmatrix} x \\\\ y \\\\ z \\end{bmatrix} =  s\\begin{bmatrix} u_x \\\\ u_y \\\\ u_z \\end{bmatrix}+ t\\begin{bmatrix} v_x \\\\ v_y \\\\ v_z \\end{bmatrix}$$         | $\\begin{bmatrix} u_x \\\\ u_y \\\\ u_z \\end{bmatrix}$ y  $\\begin{bmatrix} v_x \\\\ v_y \\\\ v_y \\end{bmatrix}$ | $$\\begin{bmatrix} A \\\\ B \\\\ C \\end{bmatrix}$$|\n",
    "\n",
    "Ejercicio. Complete la tabla para que las ecuaciones del mismo renglón representen el mismo plano que pasa por el origen.  Dibuje por cada renglón:  los puntos $P$ y $Q$ y los vectores $v$, $u$ y $\\begin{bmatrix} A \\\\ B \\\\ C\\end{bmatrix}$.\n",
    "\n",
    "\n",
    "| I Ecuación lineal |  II Ecuación Paramétrica |  III Ecuación vectorial  | IV Dos puntos | Ortogonal a |\n",
    "|-|-|-|-|-|\n",
    "|$2x+3y+z=0$| | | | |\n",
    "| | |$\\begin{bmatrix} x \\\\ y \\\\ z \\end{bmatrix} =  t\\begin{bmatrix} 2 \\\\ 1 \\\\ -3 \\end{bmatrix} + s\\begin{bmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ 1 \\end{bmatrix}$| | |\n",
    "| | | | $\\begin{bmatrix} 1\\\\ 0 \\\\ -2\\end{bmatrix}$ y $\\begin{bmatrix} -2\\\\ -1 \\\\ -1\n",
    "\\end{bmatrix}$| |\n",
    "| | | | | $\\begin{bmatrix}1\\\\ 2\\\\ 3 \\end{bmatrix}$ |\n",
    "\n",
    "\n"
   ]
  },
  {
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   "metadata": {},
   "source": [
    "\n",
    "## Rectas en 3D\n",
    "\n",
    "\n",
    "En la siguiente tabla, las columnas describen algunas representaciones de las rectas en 3D. Los últimos renglones presentan como pasar de una representación a otra.\n",
    "\n",
    "\n",
    "\n",
    "| | I Ecuaciones lineales |  II Ecuación Paramétrica |  III Ecuación vectorial  | IV Dos puntos | V Ec. simétricas |\n",
    "|-|-|-|\n",
    "| | $$A_0x + B_0y + C_0z = D_0$$ $$A_1x + B_1y + C_1z = D_1$$     | $$\\begin{matrix} x=P_x  + t v_x \\\\ y=p_y + t v_y \\\\ z=p_z + t v_z \\end{matrix} $$ | $$\\begin{bmatrix} x \\\\ y \\\\ z \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} P_x \\\\ P_y \\\\ P_z \\end{bmatrix} + t\\begin{bmatrix} v_x \\\\ v_y \\\\ v_z \\end{bmatrix}$$         | $$P,Q$$ | $$\n",
    "\\frac{x-P_x}{v_x}=\\frac{y-P_y}{v_y}=\\frac{z-P_z}{v_z}$$ |\n",
    "| De I | | Solución general de $\\begin{bmatrix} A_0 & B_0 & C_0 & : & D_0\\\\ A_1 & B_1 & C_1 & : & D_1 \\end{bmatrix}$ | Solución general de $\\begin{bmatrix} A_0 & B_0 & C_0 & : & D_0\\\\ A_1 & B_1 & C_1 & : & D_1 \\end{bmatrix}$ | | |\n",
    "| De II o III || Notación | Notación |  $ \\begin{matrix}P = \\begin{bmatrix} P_x \\\\ P_y \\\\ P_z \\end{bmatrix}\\\\Q = \\begin{bmatrix} P_x \\\\ P_y \\\\ P_z \\end{bmatrix} + 1\\begin{bmatrix} v_x \\\\ v_y  \\\\v_z \\end{bmatrix} \\end{matrix}$| Despejar $t$ e igualar, si se puede | \n",
    "| De IV | | | $\\begin{bmatrix} P_x \\\\ P_y \\\\ P_z \\end{bmatrix}=P$, $\\begin{bmatrix} v_x \\\\ v_y \\\\ v_z \\end{bmatrix}=Q-P$| .| .|\n",
    "| De V | Para cada una de las dos igualdades escribir la ecuación lineal | $$\\begin{matrix} x=P_x  + t v_x \\\\ y=p_y + t v_y \\\\ z=p_z + t v_z \\end{matrix} $$ | $$\\begin{bmatrix} x \\\\ y \\\\ z \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} P_x \\\\ P_y \\\\ P_z \\end{bmatrix} + t\\begin{bmatrix} v_x \\\\ v_y \\\\ v_z \\end{bmatrix}$$         | | .|\n",
    "\n",
    "Ejercicio. Complete la tabla para que las ecuaciones del mismo renglón representen la misma recta. Dibuje por cada renglón:  los puntos $P$ y $Q$ y los vectores $v$, $\\begin{bmatrix} A_0 \\\\ B_0 \\\\ C_0\\end{bmatrix}$ y $\\begin{bmatrix} A_1 \\\\ B_1 \\\\ C_1\\end{bmatrix}$.\n",
    "\n",
    "\n",
    "| I Ecuación lineal |  II Ecuación Paramétrica |  III Ecuación vectorial  | IV Dos puntos | V Ec. simétricas |\n",
    "|-|-|-|-|-|\n",
    "|$$2x+3y+z=6$$ $$3x-1y+2z=2$$| | | | |\n",
    "| | |$\\begin{bmatrix} x \\\\ y \\\\ z \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} -3 \\\\ 1 \\\\ 4 \\end{bmatrix} + t\\begin{bmatrix} 2 \\\\ 1 \\\\ -3 \\end{bmatrix}$ | | |\n",
    "| | | | $\\begin{bmatrix} 1\\\\ 2 \\\\3 \\end{bmatrix}$ y $\\begin{bmatrix} -1 \\\\ 1 \\\\2 \\end{bmatrix}$| .|\n",
    "| | | | | $$\n",
    "\\frac{x-1}{2}=\\frac{y-3}{3}=\\frac{z-1}{2}$$|\n",
    "\n",
    "La siguiente tabla describe las representaciones de las rectas que pasan por el origen. \n",
    "\n",
    "\n",
    "\n",
    " |  Ecuación lineal |   Ecuación Paramétrica |   Ecuación vectorial |  Otro punto | Ortogonal a\n",
    "|-|-|-|\n",
    " | $$A_0x + B_0y + C_0z = 0$$ $$A_1x + B_1y + C_1z = 0$$    | $$\\begin{matrix} x= t v_x  \\\\ y= t v_y \\\\ z= t v_z \\end{matrix} $$ | $$\\begin{bmatrix} x \\\\ y \\\\ z \\end{bmatrix} =   t\\begin{bmatrix} v_x \\\\ v_y \\\\ v_z \\end{bmatrix}$$         |   $\\begin{bmatrix} v_x \\\\ v_y \\\\ v_y \\end{bmatrix}$ | $$\\begin{bmatrix} A_0 \\\\ B_0 \\\\ C_0 \\end{bmatrix}$$ y $$\\begin{bmatrix} A_1 \\\\ B_1 \\\\ C_1 \\end{bmatrix}$$|\n",
    "\n",
    "Ejercicio. Complete la tabla para que las ecuaciones del mismo renglón representen la misma recta que pasa por el origen.  Dibuje por cada renglón:  el punto $Q$ y los vectores $v$, $\\begin{bmatrix} A_0 \\\\ B_0 \\\\ C_0\\end{bmatrix}$ y $\\begin{bmatrix} A_1 \\\\ B_1 \\\\ C_1\\end{bmatrix}$.\n",
    "\n",
    "| I Ecuación lineal |  II Ecuación Paramétrica |  III Ecuación vectorial  | IV Dos puntos | V Ec. simétricas |\n",
    "|-|-|-|-|-|\n",
    "|$$2x+3y+z=0$$ $$3x-1y+2z=0$$| | | | |\n",
    "| | |$\\begin{bmatrix} x \\\\ y \\\\ z \\end{bmatrix} = t\\begin{bmatrix} 2 \\\\ 1 \\\\ -3 \\end{bmatrix}$ | | |\n",
    "| | | | $\\begin{bmatrix} -2 \\\\ -1 \\\\-1 \\end{bmatrix}$| .|\n",
    "| | | | | $$\n",
    "\\frac{x}{2}=\\frac{y}{3}=\\frac{z}{2}$$|\n",
    "\n"
   ]
  },
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    "# References\n",
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