AL_009.000_Transpuesta.ipynb

{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Transpuesta\n",
    "## Definición\n",
    "La __transpuesta__ de de una matriz $A$ de tamaño $ m \\times n$ \n",
    "$$ A=\\begin{bmatrix}\n",
    "a_{00} & a_{01} & \\cdots & a_{0(n-2)} & a_{0(n-1)} \\\\\n",
    "\\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots & \\vdots \\\\\n",
    "a_{(m-1)0} & a_{(m-1)1} & \\cdots & a_{(m-1)(n-2)} & a_{(m-1)(n-1)} \\\\\n",
    "\\end{bmatrix}$$\n",
    "\n",
    "Se denota $A^T$ y es la matriz de tamaño $n \\times m$  \n",
    "$$ A^T=\\begin{bmatrix}\n",
    "a_{00} &  \\cdots & a_{(m-1)0} \\\\\n",
    "a_{01} &  \\cdots & a_{(m-1)1} \\\\\n",
    "\\vdots\n",
    "& \\ddots & \\vdots\\\\\n",
    "a_{0(n-2)} &  \\cdots & a_{(m-1)(n-2)} \\\\\n",
    "a_{0(n-1)} &  \\cdots & a_{(m-1)(n-1)} \\\\\n",
    "\\end{bmatrix}$$\n",
    "cuyo elemento $ij$ es $a_{ji}$. Entonces la primera columna (renglón) de $A^T$ es el primer renglón (columna) de $A$ y así sucesivamente.\n",
    "\n",
    "Por ejemplo:\n",
    "$$\\begin{bmatrix}\n",
    "1 & 5 & 3 & 8\\\\\n",
    "2 & 7 & 11 & 6\n",
    "\\end{bmatrix}^T\n",
    "=\\begin{bmatrix}\n",
    "1 & 2 \\\\\n",
    "5 & 7 \\\\\n",
    "3 & 11 \\\\\n",
    "8 & 6 \n",
    "\\end{bmatrix}$$\n",
    "\n",
    "## Propiedades\n",
    "\n",
    "Sean $A$ y $B$ matrices de tamaños adecuados, $c$ un escalar y $u$ y $v$ vectores de tamaños adecuados.\n",
    "\n",
    "* Transpuesta del producto: $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$\n",
    "* Transpuesta de la suma: $(A+B)^{T}=A^{T} + B^{T}$\n",
    "* Transpuesta de la transpuesta: $(A^{T})^{T}=A$\n",
    "* Transpuesta de escalar por matriz $(cA)^{T}=c(A)^{T}$\n",
    "* Inversa y transpuesta conmutan: Si $A$ es invertible entonces $A^T$ también lo es y $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$\n",
    "* Transpuesta y producto punto: $(Au) \\cdot v = u \\cdot (A^T v)$  \n",
    "\n",
    "Se recomienda estudiar la sección 3.2 del libro de Nakos\n",
    "\n",
    "## Cuatro espacios\n",
    "[Introduction to linear algebra, Third edition, Gilbert Strang, Wellesley-Cambridge Press, Chapter 3.6]\n",
    "\n",
    "Si $A$ es una matriz de tamaño $m \\times n$ entonces define la transformación matricial $T_A:\\mathbb{R}^n \\rightarrow \\mathbb{R}^m$. A continuación, se representa en la figura, la imagen de la transformación $T_A$.  \n",
    "\n",
    "<img src='AL_009.000_ImA.PNG'>\n",
    "\n",
    "En la siguiente figura se representa el núcleo de la transformación $T_A$.\n",
    "\n",
    "<img src='AL_009.000_NuA.PNG'>\n",
    "\n",
    "Como $A^T$ es una matriz de tamaño $n \\times m$, entonces se define la transformación matricial $T_{A^T}:\\mathbb{R}^m \\rightarrow \\mathbb{R}^n$. La siguiente figura representa la imagen de la transformación $T_{A^T}$.\n",
    "\n",
    "\n",
    "<img src='AL_009.000_ImAT.PNG'>\n",
    "\n",
    "En la siguiente figura se representa el núcleo de la transformación $T_{A^T}$.\n",
    "\n",
    "\n",
    "<img src='AL_009.000_NuAT.PNG'>"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Propiedades\n",
    "Usando la anterior notación tenemos las siguientes propiedades:\n",
    "* $\\rho(T_A)=\\rho(T_{A^T})$\n",
    "* $\\rho(T_{A^T}) + \\nu(T_A) = n$\n",
    "* $\\rho(T_A) + \\nu(T_{A^T}) = m$\n",
    "* $\\text{Im}(T_{A^T}) \\perp \\text{Nu}(T_A) $\n",
    "* $\\text{Im}(T_A) \\perp \\text{Nu}(T_{A^T}) $\n",
    "\n",
    "Sean $W_0$ y $W_1$ dos subespacios del espacio vectorial $V$, entonces $W_0$ y $W_1$ son __subespacios ortogonales__   ($W_0 \\perp W_1$) si para todo $w_0 \\in W_0$ y para todo $ w_1 \\in W_1 $ se tiene que $w_0 \\cdot w_1=0$.\n",
    "\n",
    "Sea $W$ un subespacio de un espacio vectorial $V$. El __complemento ortogonal__ de $W$ es el conjuto más grande ortogonal a $W$, el cual se puede definir de la siguiente forma.\n",
    "$$W^{\\perp}=\\{v \\in V \\mid v \\cdot w =0 \\text{ para todo }w \\in W\\}$$\n",
    "El complemento ortogonal cumple las siguientes propiedades:\n",
    "\n",
    "* $ W \\perp W^{\\perp} $ \n",
    "* $\\text{Dim}(W) + \\text{Dim}(W^{\\perp}) = \\text{Dim}(V) $\n",
    "* $ W \\cap W^{\\perp}={\\vec{0}} $ \n",
    "\n",
    "\n",
    "### Ejercicio\n",
    "Sea $A=\\begin{bmatrix}1&1  \\\\0&1 \\\\ 0 &0\\end{bmatrix}$.  \n",
    "* Encuentre el dominio y el codominio de $T_A$.\n",
    "* Encuentre $\\nu(T_A)$ y dibuje $Nu(T_A)$.\n",
    "* Encuentre $\\rho(T_A)$ y dibuje $Im(T_A)$.\n",
    "* ¿Es $T_A$ sobreyectiva, inyectiva o biyectiva?\n",
    "* ¿$\\begin{bmatrix}1\\\\1\\end{bmatrix} \\in Nu(T_A)$? \n",
    "* ¿$\\begin{bmatrix}2\\\\1\\\\0\\end{bmatrix} \\in Im(T_A)$? \n",
    "* Encuentre el dominio y el codominio de $T_{A^T}$.\n",
    "* Encuentre $\\nu(T_{A^T})$ y dibuje $Nu(T_{A^T})$ .\n",
    "* Encuentre $\\rho(T_{A^T})$ y dibuje $Im(T_{A^T})$.\n",
    "* ¿Es $T_{A^T}$ sobreyectiva, inyectiva o biyectiva?\n",
    "* ¿$\\begin{bmatrix}2\\\\1\\\\0\\end{bmatrix} \\in Nu(T)$? \n",
    "* ¿$\\begin{bmatrix}1\\\\1\n",
    "\\end{bmatrix} \\in Im(T)$? "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Matriz y conjunto ortogonal y ortonormal\n",
    "\n",
    "Sea $A$ una matriz cuadrada con columnas $v_0, v_1, \\ldots , v_{(n-1)}$. \n",
    "$$A=\\begin{bmatrix}v_0 & v_1 & \\cdots & v_{(n-1)} \\end{bmatrix}$$ \n",
    "Para que la transpuesta  \n",
    "$$A^T=\\begin{bmatrix}v_0^T \\\\ v_1^T \\\\ \\vdots \\\\ v_{(n-1)}^T \\end{bmatrix}$$ \n",
    "sea la inversa \n",
    "$$A^{-1}=\\begin{bmatrix}v_0 & v_1 & \\cdots & v_{(n-1)} \\end{bmatrix}^{-1}$$ \n",
    "\n",
    "se debe cumplir que\n",
    "\n",
    "\\begin{align}\n",
    "A^T A  &= I\\\\\n",
    "\\begin{bmatrix}v_0^T \\\\ v_1^T \\\\ \\vdots \\\\ v_{(n-1)}^T \\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}v_0 & v_1 & \\cdots & v_{(n-1)} \\end{bmatrix}\n",
    "&=\\begin{bmatrix}1 & 0 & \\cdots & 0 \\\\ 0 & 1 & \\cdots & 0 \\\\ \\vdots \\\\ 0 & 0 & \\cdots & 1 \\end{bmatrix}\\\\ \n",
    "\\begin{bmatrix}v_0 \\cdot v_0 & v_0 \\cdot v_1 & \\cdots & v_0 \\cdot v_{(n-1)} \\\\ v_1 \\cdot v_0 & v_1 \\cdot v_1 & \\cdots & v_1 \\cdot v_{(n-1)} \\\\ \\vdots \\\\ v_{(n-1)} \\cdot v_0 & v_{(n-1)} \\cdot v_1 & \\cdots & v_{(n-1)} \\cdot v_{(n-1)} \\end{bmatrix}\n",
    "&=\\begin{bmatrix}1 & 0 & \\cdots & 0 \\\\ 0 & 1 & \\cdots & 0 \\\\ \\vdots \\\\ 0 & 0 & \\cdots & 1 \\end{bmatrix}\\\\ \n",
    "\\end{align}\n",
    "\n",
    "Por lo tanto para $i,j \\in \\{0, 1,  \\ldots , n-1 \\}$\n",
    "$$v_i \\cdot v_j = \n",
    "\\left\\{ \n",
    "\\begin{aligned}\n",
    "&1 \\text{ si } i=j\\\\\n",
    "&0 \\text{ si } i \\neq j\n",
    "\\end{aligned}\n",
    "\\right.\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Lo que significa que \n",
    "* $|v_i|=1$, $v_i$ es un vector unitario \n",
    "* $v_i \\perp v_j $ si $i \\neq j$ \n",
    "\n",
    "El conjunto $\\{v_0, v_1, \\cdots,  v_{(n-1)}\\}$ con estas propiedades se conoce como __conjunto ortonormal__ y la respectiva matriz cuadrada $A=\\begin{bmatrix}v_0 & v_1 & \\cdots & v_{(n-1)} \\end{bmatrix}$ se debería llamar matriz ortonormal, pero históricamente se conoce como __matriz ortogonal__.\n",
    "\n",
    "Un conjunto  $\\{v_0, v_1, \\cdots,  v_{(k-1)}\\}$  de de vectores de $\\mathbb{R}^n$ sólo con la propiedad $v_i \\perp v_j $ si $i \\neq j$ se llama __conjunto ortogonal__. \n",
    "\n",
    "## Propiedades de los conjuntos ortogonales\n",
    "\n",
    "Sea $S=\\{v_0, v_1,  \\cdots,  v_{(k-1)}\\}$ un conjunto ortogonal de vectores distintos de cero y sea \n",
    "$$u=c_0 v_0 + c_1 v_1 + \\cdots + c_{(n-1)} v_{(n-1)} $$ \n",
    "en donde $c_0, c_1, \\ldots, c_{(n-1)} \\in \\mathbb{R} $\n",
    "entonces: \n",
    "* $c_i=\\frac{u \\cdot v_i}{v_i \\cdot v_i} \\text{ con } i \\in \\{0,1, \\ldots , (n-1) \\}$\n",
    "* $S$ es un conjunto L.I.\n",
    "* $R=\\{w_0, w_1, \\cdots,  w_{(n-1)}\\}$ con $w_i=\\frac{1}{|v_i|}v_i$ es un conjunto ortonormal. \n",
    "* Si $\\{w_0, w_1, \\cdots,  w_{(n-1)}\\}$ es un conjunto ortonormal entonces  $c_i=u \\cdot w_i  \\text{ con } i \\in \\{0,1, \\ldots , (n-1) \\}$\n",
    "\n",
    "### Definición\n",
    "Sea $u$ un vector de $\\mathbb{R}^n$ y sea $V$ un subespacio de $\\mathbb{R}^n$ con una base ortogonal  \n",
    " $B=\\{v_0, v_1, \\ldots v_{(k-1)} \\}$. La __proyección ortogonal__ de $u$ sobre $V$ es el vector\n",
    " $$ u_{pr} =\\frac{u \\cdot v_0}{v_0 \\cdot v_0} v_0 + \\frac{u \\cdot v_1}{v_1 \\cdot v_1} v_1 + \\cdots + \\frac{u \\cdot v_{(k-1)}}{v_{(k-1)} \\cdot v_{(k-1)}} v_{(k-1)}$$ "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Gram Smidt\n",
    "\n",
    "Teorema: [Nakos,Teorema 8.2.16]\n",
    "\n",
    "Si $B=\\{v_0, v_1, \\ldots v_{(k-1)} \\}$ es una base de $V$ entonces $B'=\\{u_0, u_1, \\ldots u_{(k-1)} \\}$ es una base ortogonal, donde \n",
    "\n",
    "\\begin{align}\n",
    "u_0 &= v_0\\\\\n",
    "u_1 &= v_1 - \\frac{v_1 \\cdot u_0}{u_0 \\cdot u_0}u_0\\\\\n",
    "u_2 &= v_2 - \\frac{v_2 \\cdot u_0}{u_0 \\cdot u_0}u_0 - \\frac{v_2 \\cdot u_1}{u_1 \\cdot u_1}u_1\\\\\n",
    "&\\vdots\\\\\n",
    "u_{(k-1)} &= v_{(k-1)} - \\frac{v_{(k-1)} \\cdot u_0}{u_0 \\cdot u_0}u_0 - \\frac{v_{(k-1)} \\cdot u_1}{u_1 \\cdot u_1}u_1 - \\cdots - \\frac{v_{(k-1)} \\cdot u_{(k-2)}}{u_{(k-2)} \\cdot u_{(k-2)}}u_{(k-2)}\n",
    "\\end{align}\n",
    "y una base ortonormal $B''$ se obtiene normalizando a $B'$.\n",
    "$$B''=\\left\\{ \\frac{1}{|u_0|}u_0, \\frac{1}{|u_1|}u_1, \\ldots , \\frac{1}{|u_{(k-1)}|}u_{(k-1)} \\right\\}$$ \n",
    "\n",
    "Ejercicio: [Nakos, ejemplo 8.2.12]\n",
    "Determine una base ortogonal y ortonormal de $\\mathbb{R}^3$ aplicando el proceso  de Gram-Smidt a la base $B=\\{v_0,v_1,v_2\\}$, en el cual\n",
    "$$ v_0=\\begin{bmatrix}1 \\\\ -1 \\\\ 1 \\end{bmatrix} \\ \\ \\ \\ \\ \\\n",
    "v_1=\\begin{bmatrix}-2 \\\\ 3 \\\\ -1 \\end{bmatrix} \\ \\ \\ \\ \\ \\\n",
    "v_2=\\begin{bmatrix}1 \\\\ 2 \\\\ -4 \\end{bmatrix} $$\n",
    "\n"
   ]
  }
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