Kompletace

Dodělání a úprava poslední přednášky.

Přidán operátor res pro residua.
Úprava číslování rovnic (reset na začátku kapitol - provedeno manuálně u každé kapitoly).

zdroj/main.tex

@@ -109,6 +109,7 @@
 \DeclareMathOperator{\Img}{Im}
 \DeclareMathOperator{\Rel}{Re}
 \DeclareMathOperator{\ind}{ind}
+\DeclareMathOperator{\res}{res}
 \DeclareMathOperator{\Ext}{Ext}
 \DeclareMathOperator{\Int}{Int}
 
@@ -139,7 +140,7 @@
 
 \title{\textbf{\Huge Úvod do komplexní analýzy}}
 \subtitle{doc. RNDr. Roman Lávička, Ph.D.}
-\date{6. ledna 2020}
+\date{8. ledna 2020}
 \author{\vspace{-10mm}}
 %\date{} % Toggle commenting to test
 

zdroj/prednasky/02_prednaska.tex

@@ -30,15 +30,15 @@ \subsection{Exponenciála}
     \item $\exp(z+w)=\exp(z)\exp(w)$
     \item $\exp'(z)=\exp(z)$, $ z \in\Comp  $
 
- \begin{equation}
+ \begin{equation*}
  \begin{aligned}
     f(z) = \exp(z), \hspace{3mm}
     f_1(x,y) &=e^x \cos y, \hspace{3mm}
     f_2(x,y) =e^x\sin y\\
     \frac{\partial f_1}{\partial x} = e^x\cos y = \frac{\partial f_2}{\partial y}&, \hspace{3mm}
      \frac{\partial f_2}{\partial x} = e^x \sin y= - \frac{\partial f_1}{\partial y}
 \end{aligned}
-\end{equation}
+\end{equation*}
 
 
 

zdroj/prednasky/03_prednaska.tex

@@ -1,5 +1,6 @@
 \section{\texorpdfstring{Křivkový integrál}{Krivkový integrál}}
 %Chceme integrovat komplexní funkci jedné komplexní proměnné podél křivky v komplexní rovině tj. chceme zavést integrál funkce podél křivky. 
+\setcounter{equation}{0}
 \begin{definition}
 Nechť $\varphi:[\alpha,\beta] \rightarrow \Comp  $. Potom
 \begin{enumerate}

zdroj/prednasky/04_prednaska.tex

@@ -41,7 +41,7 @@
     \label{eqn:b}
 \end{equation}
 
-kde první integrand vpravo má PF na $\Comp  $ a první integrál je roven $0$. Pro každé $j \in \N_0$ z  \cref{eqn:a},\cref{eqn:b} dostaneme
+kde první integrand vpravo má PF na $\Comp  $ a první integrál je roven $0$. Pro každé $j \in \N_0$ z  \cref{eqn:a}, \cref{eqn:b} dostaneme
 $$
 0<\frac{K}{4^j} \le \left| \int_{\varphi_j}f\,\right|\stackrel{\cref{eqn:b}}{=} \left|\int_{\varphi_j}\varepsilon(z)(z-z_0)\right| \le V^2(\varphi_j) \cdot \max_{\langle\varphi_j\rangle}|\varepsilon|\overset{\cref{eqn:a}}{=}\frac{V^2(\varphi)}{4^j}\cdot \max_{\langle\varphi_j\rangle}|\varepsilon| \text{,}
 $$

zdroj/prednasky/05_prednaska.tex

@@ -149,7 +149,7 @@
 \end{proof}
 
 % osmá strana
-\begin{theorem}[Weierstrass]
+\begin{theorem}[Weierstrass]\label{thm:weierstrass}
 Nechť $G\subset{\Comp  }$ je otevřená, $f_n\in\Holo (G)$ pro $n\in\N$ a $f_n\overset{loc}{\rightrightarrows}f$ na $G$. Potom $f\in\Holo (G)$ a $f_n^{(k)}\overset{loc}{\rightrightarrows}f^{(k)}$ na $G$ pro každé $k\in\N$.
 \end{theorem}
 
@@ -169,7 +169,7 @@
 
 % devátá strana
 \section{\texorpdfstring{Mocninné řady}{Mocninné rady}}
-
+\setcounter{equation}{0}
 \begin{definition}
 Nechť $\{a_n\}_{n=0}^\infty\subset\Comp  $ a $z_0\in\Comp  $. Potom 
 \begin{equation}

zdroj/prednasky/06_prednaska.tex

@@ -70,7 +70,7 @@
 Protože $g(z_0)=a_p \neq 0$, existuje $r>0$, že $g \neq 0$ na $U(z_0,\,r)$ a $f(z)=(z-z_0)^pg(z) \neq 0$ na $P(z_0,r)$. Obrácené tvrzení z poznámky je snadné.
 \end{proof}
 
-\begin{theorem}[O jednoznačnosti pro holomorfní funkce]
+\begin{theorem}[O jednoznačnosti pro holomorfní funkce]\label{thm:jednoznacnostHolo}
 Nechť $\emptyset \neq G \subset \Comp  $ je oblast a $f,g \in \Holo (G)$. Pak jsou následující tvrzení ekvivalentní:
 \begin{enumerate}
 \item $f=g$ na $G$;
@@ -122,7 +122,7 @@
 Nebo-li $|a_0|^2\geq|a_0|^2+|a_1|^2\rho^2+\cdots$, tudíž $0=a_1=a_2=\cdots$. Dostáváme, že $f=a_0$ na $U(z_0,r)$ a z věty o jednoznačnosti $f=a_0$ na $G$.
 \end{proof}
 
-\section{\texorpdfstring{Riemannova sféra}{Riemannova sféra}}
+\section{\texorpdfstring{Riemannova sféra}{Riemannova sféra}} \setcounter{equation}{0}
 Rozšíříme $\Comp  $ o \emph{nekonečno}.
 Položíme $\Sp=\Comp  \cup\{\infty\}$, kde $\infty\notin\Comp  $, a pro $\varepsilon>0$ zavedeme \emph{okolí} kolem $\infty$, následovně $P(\infty,\,\varepsilon):=\{z\in\Comp  : |z|>\frac{1}{\varepsilon}\}$,
 $U(\infty,\,\varepsilon):=P(\infty,\,\varepsilon)\cup \{\infty\}$.

zdroj/prednasky/08_prednaska.tex

@@ -140,13 +140,13 @@ \subsection{Izolované singularity 2}
 
 \subsection{Reziduum}
 \begin{definition}
-Nechť $f \in \Holo (P(z_0))$ a nechť $f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n$, $z\in P(z_0)$. Potom reziduem $f$ v $z_0$ nazveme číslo res$_{z_0}f:=a_{-1}$.
+Nechť $f \in \Holo (P(z_0))$ a nechť $f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n$, $z\in P(z_0)$. Potom reziduem $f$ v $z_0$ nazveme číslo $\res_{z_0}f:=a_{-1}$.
 \end{definition}
 
 \begin{theorem}[Reziduová na hvězdovitých oblastech]
 Nechť $G \subset \Comp $ je hvězdovitá oblast, $M \subset G$ je konečná a $f \in \Holo (G \setminus M)$. Nechť $\varphi$ je uzavřená křivka v $G \setminus M$. Potom máme 
 \begin{equation}
-    \int_\varphi f=2\pi i \sum\limits_{s\in M}\text{res}_sf \cdot \ind_\varphi s.
+    \int_\varphi f=2\pi i \sum\limits_{s\in M}\res_sf \cdot \ind_\varphi s.
     \tag{RV}
     \label{eqn:7.31.RV}
 \end{equation}
@@ -159,7 +159,7 @@ \subsection{Reziduum}
 \begin{proof}
 Podle předchozí věty existuje $h \in \Holo (G)$ tak, že $f=\sum\limits_{s\in M}H_s+h$ na $G \setminus M$. Potom máme $\int_\varphi f=\sum\limits_{s\in M}\int_\varphi H_s$, protože $\int_\varphi h =0$ z Cauchyho věty pro hvězdovité oblasti. Pro každé $s \in M$:
 $$
-\int_\varphi H_s(z) \diff z=\int_\varphi \sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_{-n}^s\frac{1}{(z-s)^n} \diff z = \sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_{-n}^s \int_\varphi \frac{\diff z}{(z-s)^n}=2\pi i \cdot \text{res}_sf\cdot \ind_\varphi s\text{,}
+\int_\varphi H_s(z) \diff z=\int_\varphi \sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_{-n}^s\frac{1}{(z-s)^n} \diff z = \sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_{-n}^s \int_\varphi \frac{\diff z}{(z-s)^n}=2\pi i \cdot \res_sf\cdot \ind_\varphi s\text{,}
 $$
 jelikož suma konverguje stejnoměrně na $\langle\varphi \rangle$ a poslední integrál je roven $0$ pro $n \neq 1$ (neboť jinak má integrand PF, a tudíž je integrál přes uzavřenou křivku nulový) a $2 \pi i \cdot \ind_\varphi s$, je-li $n=1$.
 \end{proof}

zdroj/prednasky/10_prednaska.tex

@@ -12,7 +12,7 @@
 $$1=\ind_{\varphi\dotplus\tilde\varphi}{s}=\ind_\varphi{s}+\ind_{\tilde{\varphi}}{s}.$$
 \end{example}
 
-\section{Speciální typy integrálů}
+\section{Speciální typy integrálů} \setcounter{equation}{0}
 \begin{theorem}
 Nechť $R=P/Q$, kde $P,Q$ jsou polynomy, které nemají společné kořeny a platí 
 \begin{enumerate}
@@ -21,10 +21,10 @@ \section{Speciální typy integrálů}
 \end{enumerate}
 Potom
 \begin{equation}
-    \int_{-\infty}^\infty{R(x)dx}=2i\pi.\sum_{\begin{array}{cc}
+    \int_{-\infty}^\infty{R(x)dx}=2i\pi\cdot\sum_{\begin{array}{cc}
          Q(s)=0  \\
          \Img(s)>0 
-    \end{array}}{res_s{R}}.
+    \end{array}}{\res_s{R}}.
     \label{eqn:print}
 \end{equation}
 \end{theorem}
@@ -34,7 +34,7 @@ \section{Speciální typy integrálů}
     2i\pi.\sum_{\begin{array}{cc}
          Q(s)=0  \\
          \Img(s)>0 
-    \end{array}}{res_s{R}}
+    \end{array}}{\res_s{R}}
     \overset{(RV)}{=}
     \int_{\varphi_r}{R}=
     \int_{\varphi_r^1}{R} +\int_{\varphi_r^2}{R}.
@@ -54,12 +54,12 @@ \section{Speciální typy integrálů}
 \begin{example}
 $$I=\int_0^\infty{\underset{\text{sudá}}{\underbrace{\frac{x^2+1}{x^4+1}}}dx}
 =\frac{1}{2}{\int_{-\infty}^\infty\underset{:=R(x)}{\underbrace{\frac{x^2+1}
-{x^4+1}}}dx}=i\pi\cdot(res_{z_0}R+res_{z_1}R)$$
+{x^4+1}}}dx}=i\pi\cdot(\res_{z_0}R+\res_{z_1}R)$$
 $$=-\frac{i\pi}{4\sqrt{2}}\left[(1+i)^2-(1-i)^2\right]=-\frac{i\pi}{4\sqrt{2}}2\cdot 2i=\frac{\pi}{\sqrt{2}},$$ protože
-$${res}_{z_k}R=\frac{z_k^2+1}{4z^3_k}\cdot\frac{z_k}{z_k}=
+$$\res_{z_k}R=\frac{z_k^2+1}{4z^3_k}\cdot\frac{z_k}{z_k}=
 -\frac{1}{4}(z_k^2+1)z_k,$$
-$${res}_{z_0}R=-\frac{1}{4}(i+1)(1+i)\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{4\sqrt{2}}(1+i)^2,$$
-$${res}_{z_1}R=-\frac{1}{4}(-i+1)(-1+i)\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{4\sqrt{2}}(1-i)^2.$$
+$$\res_{z_0}R=-\frac{1}{4}(i+1)(1+i)\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{4\sqrt{2}}(1+i)^2,$$
+$$\res_{z_1}R=-\frac{1}{4}(-i+1)(-1+i)\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{4\sqrt{2}}(1-i)^2.$$
 \end{example}
 
 \begin{theorem}
@@ -74,7 +74,7 @@ \section{Speciální typy integrálů}
     \int_{-\infty}^\infty{R(x)e^{iax}}dx = 2i\pi\cdot\sum_{\begin{array}{cc}
          Q(s)=0  \\
          \Img(s)>0 
-    \end{array}}{res_s\left({R(z)e^{iaz}}\right)}.
+    \end{array}}{\res_s\left({R(z)e^{iaz}}\right)}.
 \end{equation}
 \end{theorem}
 \begin{proof}
@@ -99,8 +99,8 @@ \section{Speciální typy integrálů}
 Spočteme Fourierovu transformaci $\F $ funkce $f(x):=\frac{1}{x^2+1}$, kde
 $$(\F f)(t):=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty{f(x)e^{itx}}dx, \ t\in\Real. $$
 \begin{itemize}
-    \item Nechť $t>0$. Potom $(\F f)(t)=i\cdot{res}_i{(f(z)e^{itz})}=i\cdot\frac{e^{-t}}{2i}=\frac{e^{-t}}{2}$.
-    \item Nechť $t<0$. Potom $(\F f)(t)=i\cdot{res}_{(-i)}{(f(z)e^{itz})}\cdot(-1)=-i\cdot\frac{e^{-t}}{2\cdot  r(-i)}=\frac{e^{t}}{2}$.
+    \item Nechť $t>0$. Potom $(\F f)(t)=i\cdot\res_i{(f(z)e^{itz})}=i\cdot\frac{e^{-t}}{2i}=\frac{e^{-t}}{2}$.
+    \item Nechť $t<0$. Potom $(\F f)(t)=i\cdot\res_{(-i)}{(f(z)e^{itz})}\cdot(-1)=-i\cdot\frac{e^{-t}}{2\cdot  r(-i)}=\frac{e^{t}}{2}$.
 \end{itemize}
 \textbf{Lépe:}
 $$(\F f)(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\frac{\cos{(tx)}+i\sin{(tx)}}{1+x^2}dx=\frac{e^{-|t|}}{2}, \ t\in\Real .$$
@@ -109,5 +109,5 @@ \section{Speciální typy integrálů}
 \begin{example}
 $$\int_0^\infty\frac{x\sin{x}}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\Img \underset{:=I}{\underbrace{\left(\int_{-\infty}^\infty\frac{x.e^{ix}}{x^2+1}dx\right)}}=\frac{\pi}{2e},$$
 protože
-$$I=2\pi i\,{res}_{i}{f}=2\pi i \frac{ie^{-1}}{2i}=\frac{\pi i}{e}.$$
+$$I=2\pi i\,\res_{i}{f}=2\pi i \frac{ie^{-1}}{2i}=\frac{\pi i}{e}.$$
 \end{example}

zdroj/prednasky/11_prednaska.tex

@@ -65,7 +65,7 @@ \section{Index}
 \begin{aligned}
 &\ind_\varphi s\stackrel{z=\varphi(t)}{=}\frac{1}{2 \pi i}\int_\alpha^\beta \frac{\varphi'(t)}{\varphi(t)-s} \diff t \stackrel{z=\varphi(t)-s}{=}
 \frac{1}{2 \pi i} \int_{\widetilde{\varphi}} \frac{\diff z}{z}=
-\ind_{\widetilde{\varphi}}0=\stackrel{\text{Věta}}{=}\\ &=  \frac{1}{2 \pi i}(\phi(\beta)-\phi(\alpha))=\frac{1}{2 \pi i}(i \Img \phi(\beta)-i \Img \phi(\alpha))=\frac{\theta(\beta)-\theta(\alpha)}{2 \pi}=K
+\ind_{\widetilde{\varphi}}0\stackrel{\text{Věta}}{=}\\ &=  \frac{1}{2 \pi i}(\phi(\beta)-\phi(\alpha))=\frac{1}{2 \pi i}(i \Img \phi(\beta)-i \Img \phi(\alpha))=\frac{\theta(\beta)-\theta(\alpha)}{2 \pi}=K
 \end{aligned}
 \end{equation*}
 pro nějaké $K \in \Z$, kde $\phi$ je jednoznačná větev logaritmu $\widetilde{\varphi}$, $\Rel(\phi(\beta)) =\log |\widetilde{\varphi}(\beta)|=\log |\widetilde{\varphi}(\alpha)|=\Rel(\phi(\alpha)) $ a $\Img(\phi)$ je jednoznačná větev argumentu $\widetilde{\varphi}$.
@@ -121,7 +121,7 @@ \section{Obecná Cauchyho věta a reziduová věta pro cykly}
 \begin{theorem}[Reziduová pro cykly]
 Nechť $G\subset\Comp$ je otevřená, $\Gamma$ je cyklus v $G$ a $\Int\Gamma\subset G$. Nechť $K\subset G\setminus\langle\Gamma\rangle$ je konečná  a $f\in\Holo(G\setminus K)$. Potom platí
 \begin{equation}
-    \int_\Gamma f = 2\pi i  \sum_{s\in K}\text{res}_s(f)\cdot\ind_\Gamma(s).
+    \int_\Gamma f = 2\pi i  \sum_{s\in K}\res_s(f)\cdot\ind_\Gamma(s).
     \tag{RVC}
     \label{eqn:9.8.rvc}
 \end{equation}