图形学：正交/透视投影矩阵的推导（多个思路） - 知乎 (zhihu.com)
透视投影的目标是：将摄像机前方一个截锥体体积范围内的坐标映射到方形的视图体积（$[l,r]\times[b,t]\times[n,f]$）中。
对每个坐标分量的要求： 对于 x 分量和 y 分量而言，只需要按照 z 轴的距离按比例缩小到近平面就行，期望的大小是$xn / z$和$yn / z$。
对于 z 分量而言，我们希望变换后的 z 分量$x'$保持两个特性：
- 在近平面上，z'=n。而在远平面上，z'=f。
- 而当 z'介于 n 和 f 之间时，我们希望 z'能够保持单调性，即当存在近远两个物体时，变换后，远物体仍然比近物体远，而近物体仍然比远物体近。（无需保证其线性的性质，事实上，处理后的 z'时关于 z 的反比例函数）
接下来跟着作者的思路推导投影变换公式： 首先对于 x 和 y，我们希望它能保持相对的大小，缩放的事情交给透视除法（w'负责缩放），而且它们和其他的分量不存在线性关系（x 和 y 都与 z 有关，但不是线性的关系）。 $$\begin{bmatrix} x'\y'\z'\w' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\0& 1&0&0\ \cdot&\cdot&\cdot&\cdot \ \cdot&\cdot&\cdot&\cdot \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x\y\z\1 \end{bmatrix}$$ 接下来考虑矩阵的第四行，第四行控制新向量的 w‘，这里的 w'只会和 z 有关（我们需要透视除法帮我们纠正 x'和 y'） $$\begin{bmatrix} x'\y'\z'\w' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\0& 1&0&0\ \cdot&\cdot&\cdot&\cdot \ 0&0& \frac{1}{n} &0 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x\y\z\1 \end{bmatrix}$$ 再之后是矩阵的第三行，它控制的是 z'，显然 z'应当与 x 和 y 都无关： $$\begin{bmatrix} x'\y'\z'\w' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\0& 1&0&0\ 0&0&\cdot&\cdot \ 0&0& \frac{1}{n} &0 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x\y\z\1 \end{bmatrix}$$ 此时矩阵剩下最后两个参数，先考虑单参的情况：
- 如果 P33 是参数，解出来的 z'是一个与 z 无关的量，意味着远近的物体不再有 z 轴上的区别，这不是我们想要的。
- 如果 P34 是参数，能得到一个与 z 相关的 z'，但是两个边界条件（在近平面上，z'=n。而在远平面上，z'=f）解出来的 P34 是不同的，说明 P34 单参的情况无解。
因此可以确定最后两个空位都是参数，两个参数待定求解出来得到完整的投影矩阵： $$\begin{bmatrix} x'\y'\z'\w' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\0& 1&0&0\ 0&0&\ \frac{n+f}{n}&-f \ 0&0& \frac{1}{n} &0 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x\y\z\1 \end{bmatrix}$$