Ap_Taylor (1).wxm

/* [wxMaxima batch file version 1] [ DO NOT EDIT BY HAND! ]*/
/* [ Created with wxMaxima version 22.04.0 ] */
/* [wxMaxima: title   start ]
Desarrollos de Taylor y series de potencias
   [wxMaxima: title   end   ] */


/* [wxMaxima: section start ]
Desarrollos de Taylor limitados en una variable
   [wxMaxima: section end   ] */


/* [wxMaxima: subsect start ]
Comandos principales
   [wxMaxima: subsect end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
Los comandos principales ejemplificados
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
powerdisp: true$  /* para que ordene las potencias de menor a mayor */          
          taylor( (log(1+x))^2, x, 0, 4 );
trunc(    taylor( (log(1+x))^2, x, 0, 4 ));
taytorat( taylor( (log(1+x))^2, x, 0, 4 ));
expand(   taylor( (log(1+x))^2, x, 0, 4 ));
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: subsect start ]
Importante para no cometer errores
   [wxMaxima: subsect end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
Viendo los resultados del código anterior tras su ejecución
los dos primeros parecen ser equivalentes, pero no es así.
Observe que, cuando menos, la apariencia de las etiquetas en los "output" es diferente.
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
powerdisp: true$
f(x):= sin(x)$ g(x):=tan(x)$

Tf : taylor(f(x),x,0,5);
Tg : taylor(g(x),x,0,5);
taylor(g(x)-f(x),x,0,5);
Tg-Tf;
print("Hasta ahora el comportamiento es el que cabría esperar.
    Pero...")$


print("Las asignaciones siguientes miden el error al reemplazar f
por su polinomio de Taylor,
la diferencia entre ellas está en la forma de escribir el polinomio.")$

Dif1 : f(x)-trunc(taylor(f(x),x,0,5));    

Dif2 : f(x)-      taylor(f(x),x,0,5) ;    

Dif3: f(x)-expand(taylor(f(x),x,0,5));
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
El resultado proporcionado por Dif1 (o Dif3)  es correcto y se muestra
en la gráfica siguiente. f y Tf son "iguales" en [-1,1], pero no son
siempre iguales como afirma Dif2. 
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
wxdraw2d(
    key="f",
explicit(f(x), x,-%pi,%pi),
    key="Tf",
    color=green,
explicit(Tf, x,-%pi,%pi),
    color=red,
    key="Dif1",
explicit(Dif1, x,-%pi,%pi)
)$
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
print("Otra ilustración")$
taylor(f(x),x,0,9)-taylor(f(x),x,0,3);
trunc(taylor(f(x),x,0,9))-trunc(taylor(f(x),x,0,3));
    /* Y si le gustan los puntos suspensivos finales... */
trunc(%);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
COROLARIO. No asuma riesgos, utilice    trunc  
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: subsect start ]
Fórmula de Taylor con resto de Lagrange
   [wxMaxima: subsect end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
Creamos un comando nuevo que realiza el desarrollo de Taylor con resto de Lagrange
para cada función f(x)
El uso es FormulaTaylor(f(x),Punto,Grado)
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
FormulaTaylor(f,z,n):=
block([w,PoliTay,R], 
      PoliTay: subst(x=z,f)+sum( subst(x=z, diff(f,x,i)/i!)*(x-z)^i,i,1,n), 
      R      : subst(x=c, diff(f,x,n+1))*(x-z)^(n+1) /(n+1)!, 
      PoliTay+R);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
taylor(sin(x),x,0,5);
FormulaTaylor(sin(x),0,5);

taylor(sin(x),x,2*%pi,7);
FormulaTaylor(sin(x),2*%pi,7);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: section start ]
Desarrollos de Taylor en varias variables
   [wxMaxima: section end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
taylor(sin(x+y),[x,y],0,5);
trunc(%);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
taylor(sin(x+y),[x,y],[0,%pi/2],[5,5]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
taylor(1/sin(x+y),[x,y],0,3);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: section start ]
Series de potencias
   [wxMaxima: section end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
log(1+x) = powerseries( log(1+x), x, 0 );

sin(x)*cos(x) = powerseries( sin(x)*cos(x), x, 0 );
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
Los indices utilizados en las series de potencias no son agradables.
El resultado, puede ser mejorado:
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
log(1+x) = niceindices(powerseries( log(1+x), x, 0 ));

sin(x)*cos(x) = niceindices(powerseries( sin(x)*cos(x), x, 0 ));
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: subsect start ]
Aproximación al valor del número %pi 
   [wxMaxima: subsect end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
atan(1);  
atan(x)= niceindices( powerseries( atan(x), x, 0) );  
subst(x=1,%);
4*%;
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
El hecho de tratarse de una serie alternada nos garantiza que el error cometido
al sumar los n primeros términos es inferior a 1/(2(n+1)+1).

Así para aproximar %pi con un error menor de 1/10⁶ necesitamos que 2n+3 supere a 10⁶
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
solve(2*x+3=10^6,x),numer; /* Resolvemos, usando decimales */
entier(%)+1;      /* Nos quedamos con la parte entera y le sumamos 1 */
n : rhs(%[1]);    /* Recuperamos la parte de la derecha de la igualdad */;
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
4*sum((-1)^i/(2*i+1),i,0,n),numer;
%pi,numer;
/* [wxMaxima: input   end   ] */



/* Old versions of Maxima abort on loading files that end in a comment. */
"Created with wxMaxima 22.04.0"$