- 满射：$B$中所有元素都在$A$中有原像。
单射：$B$中的任何元素若在$A$中有原像，则有且只有一个。
-
特征值与特征向量：$Ax=cx$，其中$A$为矩阵，$c$为特征值，$x$为特征向量。
①：求解特征向量的意义，在于求解哪些向量能使矩阵只发生伸缩；
②：求解特征值的意义，在于看清一个矩阵在哪个方向能产生最大的拉伸效果。
③：线性变换使大部分向量偏离了原有的空间，而特征向量经线性变换后依然保留在原空间，仅在$x,y$方向上伸缩，特征值为伸缩系数。
-
$AX=0,AB=0，A_{n×n},B_{n×n}$ $\Rightarrow B$ 的每个列向量都是$AX=0$的解向量。 -
$AX=b \Rightarrow x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+...+x_{n}a_{n}=b$ 存在唯一解 -
$AB=0,r(A)+r(B)\le n;ABC=0,r(A)+r(B)+r(C)\le 2n$ -
线性关系判定：$f(x+y)=f(x)+f(y),f(kx)=kf(x)$
-
性质：①封闭性：$a+b\in F^{n}$；②结合律：$(a+b)+c=a+(b+c)$；③交换律：$a+b=b+a$；④存在零元：$a+0=a$；⑤存在负元：$a+(-a)=0$；⑥$k(a+b)=ka+kb$；⑦$(a\cdot b)\beta=a\beta+b\beta$；⑧$1\cdot a=a$
例：$P^3 [t]$；基：$(1,t,t^2,t^3)$；元素：$1+t+2t^2$；维数：$n+1$
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对称矩阵需满足$A^T=A$，任意矩阵$R$，$R^TR$均为对称矩阵；共轭对称矩阵需满足$A^*=A$，$R^*R$均为共轭对称矩阵。
-
$AA^{-1}=I\stackrel{转置}\Rightarrow (A^{-1})^TA^T=I^T=I=(A^T)^{-1}A^T\Rightarrow (A^{-1})^T=(A^T)^{-1}$ -
谱：
$A$ 特征值的集合，$\sigma(A)$；谱半径：特征值的最大模。 -
一个$n$阶矩阵可对角化$\Longleftrightarrow$$A$的每个特征值的代数重数与几何重数相等$\Leftrightarrow A$的最小多项式没有重根
**代数重数：**特征根的个数；几何重数：块数。
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矩阵维数：$A$的行空间$r$个线性无关向量，$r$维。其中，主元$r$个，自由元$(n-r)$个。
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矩阵的迹：所有特征值的和，$tarce(A)=\sum^{n}_{i=1}\lambda_i$
-
矩阵的行列式：所有特征值的积，$\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\prod^s_{i=1}(\lambda_i^{n_i})$
-
左乘一个矩阵相当于行变换，行变换不改变秩。
-
正规矩阵：
$A^A=AA^$
$A$ 正规$\Longleftrightarrow A$可酉对角化，$A^*=A$$A$ 的特征值为实数时，$A^*=A$，$A$为Hermite矩阵；$A$ 的特征值为0或虚数时，$A^*=-A$，$A$为反Hermite矩阵。$A^A=AA^=E\Rightarrow A$为酉矩阵
$A^TA=AA^T=E\Rightarrow A$ 为正交矩阵$A^T=A\Rightarrow A$ 为实对称矩阵$A^T=-A\Rightarrow A$ 为实反对称矩阵 -
正交投影矩阵$\Leftrightarrow$$A^2=A,A^*=A$
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酉矩阵：
1）$Q$是酉矩阵$\Leftrightarrow Q^*Q=I$
实矩阵$Q$是正交阵$\Leftrightarrow Q^TQ=I\Leftrightarrow Q^T=Q^{-1}\Rightarrow$即酉矩阵的逆矩阵是其共轭转置
2）实的酉矩阵成为正定矩阵
3）当矩阵为2阶时，正交矩阵的几何意义是平面几何中的旋转变换；利用正交矩阵可以将实对称矩阵对角化。
-
**Hermite矩阵：**复共轭对称矩阵，非零行恰为前$r$行，$r$行第一个非零元为1，且列标随行标递增
1）特征值均为实数，不同特征值对应的特征向量彼此正交
2）存在酉矩阵$U$，使得$U^*AU=D$是对角矩阵，对于实矩阵$\Leftrightarrow U^TAU=D$
若$A$是$n$阶Hermite矩阵
则①$A$正定；②$f(x)=x^*Ax$正定；③$A$的特征值为正实数；④存在$n$阶满秩矩阵$M$，使得$A=M^*M=M^TM$
-
度量矩阵：
几何意义，二阶是平行四边形的面积；三阶是体积。
-
正定：
对于任意向量$z$，都有$z^TMz\gt0$，顺序主子式、特征值均为正。
-
幂等矩阵：
$A^,A^T,E-A^,E-A^T,B^{-1}AB,B$为可逆矩阵
-
恒等变换：
变换前后元素不变
-
伴随变换：
$T\rightarrow T^*$ -
自伴随变换：
$T=T^*$ -
等距变换:
距离$d(a,b)=d(T(a),T(b))$，也叫保长变换，合同变换
-
线性变换：
满足$\left{\begin{aligned}\sigma(\alpha+\beta) &=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta) \ \sigma(k\alpha) &=k\sigma(\alpha)\end{aligned}\right.$
-
$\sigma(\alpha)=0$ 零变换；$\sigma(\alpha)=\alpha$ 恒等变换； -
核空间和相空间：
$Ker\sigma=\begin{Bmatrix}\alpha\mid\alpha\in U,\sigma(\alpha)=0\end{Bmatrix}$ 核空间
$Im\sigma=\begin{Bmatrix}\beta\mid\beta\in V,\exists\alpha\in U,\sigma(\alpha)=\beta\end{Bmatrix}$ （值域）相空间
$Ker\sigma=\begin{Bmatrix}f(x)\mid g(x)=0\end{Bmatrix}$
$Im\sigma=\begin{Bmatrix}z\in g(x)=z\end{Bmatrix}$
例：$A_{m\times n}, R_m\rightarrow R_N, \forall\alpha\in R_n,\sigma(\alpha)=A\alpha$
$Ker\sigma=N(A),dim(N(A))=n-r(A)$ $\beta=A\alpha$ 矩阵左乘向量，实为矩阵列向量的线性组合$\Rightarrow dim(Im\sigma)=r(A)$ 例：$\forall A\in R^{n\times n}$，$\sigma(A)=A-A^T$（反对称）
$Ker\sigma=\begin{Bmatrix}A=A^T\end{Bmatrix}$, $Im\sigma=\begin{Bmatrix}A=-A^T\end{Bmatrix}$
$\sigma:U\rightarrow V$ $dimU=dim(Ker\sigma)+dim(Im\sigma)$ -
正交变换：
$(\sigma(\alpha),\sigma(\alpha)=(\alpha,\alpha)$ -
逆矩阵：
可逆$\Leftrightarrow$满秩
$\begin{pmatrix}A_{m\times n}\mid E\end{pmatrix}\stackrel{行变换}\longrightarrow\begin{pmatrix}E\mid A^{-1}\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}A_{m\times n}\mid C\end{pmatrix}\stackrel{行变换}\longrightarrow\begin{pmatrix}E\mid A^{-1}C\end{pmatrix}$
-
广义逆矩阵：
①投影矩阵：$P_{L,M}=(X,0)(X,Y)^{-1}$
②正交投影矩阵：$A^2=A,A*=A,P_L=X(X^X)^{-1}X^$
-
幂零矩阵:
$A^K=0$ -
矩阵的幂级数：
已知$e^{At}$，$A=(e^{At})'\mid_{t=0}$
①$e^{At}=P(e^{Jt})P^{-1}$
②$e^{At}=\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n!}(At)^n$
-
幂收敛$\Leftrightarrow$任意$\begin{vmatrix}\lambda\end{vmatrix}\lt1$
-
矩阵函数的计算：$e^{Jt}=e^{\lambda t}\sum^{s-1}_{k=0}\frac{t^kN^k}{K!}$
例：$J_1=\begin{pmatrix}a&1&\&a&1\&&a\end{pmatrix}$
$e^{J_1t}=\begin{pmatrix}1&t&t^2/2\&1&t\&&1\end{pmatrix}$
$J_1\oplus J_2\oplus J_3$ -
矩阵的微积分：
①偏导：$\nabla f(x)=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})$
②导数和积分：$(x^TAx)'=x^TA'x+2x^TAx'$
-
Cayley-Hamilton定理：
矩阵$A$的特征多项式为$f(\lambda)$，则有$f(A)=0$
-
Sylvester矩阵定理（降幂公式）：
$\begin{vmatrix}\lambda I_m-AB\end{vmatrix}=\lambda^{m-n}\begin{vmatrix}\lambda I_n-BA\end{vmatrix}$
$f(t)=\sum^\infty_{k=0}a_kt^k,g(t)=\sum^\infty_{k=0}b_kt^k$ 例：由特征多项式$m(x)=(x-1)(x-2)^2$
令$f(\lambda)=e^{\lambda t},g(\lambda)=a_0+a_1+a_2\lambda^2$
$e^t=f(1)=g(1)=a_0+a_1+a_2\e^{2t}=f(2)=g(2)=a_0+2a_1+4a_2\te^{2t}=f'(2)=g'(t)=a_1+4a_2$ -
Lagrange-Sylvester插值
例：$A=\begin{pmatrix}1&2\2&1\end{pmatrix}$，$f(t)=e^{At}$
解出特征值$\lambda_1,\lambda_2$
$L_1(A)=\frac{A-\lambda_2I}{\lambda_1-\lambda_2}\L_2(A)=\frac{A-\lambda_1I}{\lambda_2-\lambda_1}$ $\Rightarrow$$f(A)=f(\lambda_1)L_1(A)+f(\lambda_2)L_2(A)
-
维数判断：$A$的行空间有$r$个线性无关向量，则至少有$r$维，即自由变量的数目。
-
**线性空间：**包含一个非空集合，两种运算，一个域
-
$A_{m\times n}$ 子空间①零化空间$N(A)$ 齐次线性方程组$AX=0$ 的解空间
$R^{n}$ $\rightarrow$ 解方程②列空间$R(A)$ 列向量张成的空间
$R^m$ $\rightarrow$ 从$H_A$中找出线性无关列向量③行空间$N(A^T)$ 行向量张成的空间
$R^n$ $\rightarrow$ 从$H_A$中找出线性无关行向量。④左零化空间$R(A^T)$
$A^TX=0$ 的解空间$R^m$ $\rightarrow$ $P$与$A$的某行乘积为零，即为左零空间$dimN(A)+dimR(A^T)=n\dimN(A^T)+dimR(A)=m\N(A)=R(A^)^{\perp},R(A)=N(A^)^{\perp}$
-
Hermite标准型：$H_A=\begin{pmatrix}H_r\0\end{pmatrix}$
例：
$A=\begin{pmatrix}1&1&2\0&1&1\1&2&3\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}A,I_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&2&1&0&0\0&1&1&0&1&0\1&2&3&0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&1&1&-1&0\0&1&1&0&1&0\0&0&0&-1&-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}H_A,P\end{pmatrix}$
$\Rightarrow PA=H_A\Rightarrow rank(A=2)$ $R(A)=span\begin{Bmatrix}(1,0,1)^T,(0,1,1)^T\end{Bmatrix}$
$R(A^T)=R(H_A^T)=span\begin{Bmatrix}(1,0,1)^T,(0,1,1)^T\end{Bmatrix}$
$N(A)=N(H_A)=span\begin{Bmatrix}(-1,-1,1)^T\end{Bmatrix}$
$N(A^T)=span\begin{Bmatrix}(P_3)^T\end{Bmatrix}=span\begin{Bmatrix}(-1,-1,1)^T\end{Bmatrix}$
理由：矩阵P最后一行为零向量，是$xA=0$的一组解。
-
**欧式空间：**实数域上定义了内积。
-
**酉空间：**复数域上定义了内积。
-
柯西不等式：$\begin{vmatrix}(\alpha,\beta)\end{vmatrix}\le\begin{Vmatrix}\alpha\end{Vmatrix}\begin{Vmatrix}\beta\end{Vmatrix}$
-
子空间验证封闭性：
证明$A=B$，即证$A\subseteq B,B\subseteq A$
-
交空间&和空间：
任意多个子空间的交集仍是子空间，两个子空间的并集不再是子空间，例：两条直线张成一个平面。
-
维数定理：
$dim(U+W)=(dimU+dimW)-dim(U\cap W)$
$U=\begin{Bmatrix}A^T=A\end{Bmatrix}$
$U=\begin{Bmatrix}A^T=-A\end{Bmatrix}$
补空间不唯一，正交补空间唯一。
-
内积
$\underline{a_{1},a_{2},...,a_{n}}$ 正定阵基：$\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{n}:G_{2}\\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n}:G_{1}\(\beta_1,\beta_2,...,\beta_n)=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)P\Y_1=PY_2,X_1=PX_2$
$\Rightarrow$ $\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)X_1,\\beta=(\beta_1,\beta_2,...,\beta_n)Y_1,$ $\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)X_2\\beta=(\beta_1,\beta_2,...,\beta_n)Y_2$ $(\alpha,\beta)=Y_{1}^{}G_1Y_1=Y_{2}^{}G_{2}X_{2}$
$\begin{aligned}G_1&=(Y_{1}^{})^{-1}Y_{2}^{}G_{2}X_{2}(X_1)^{-1}\&=(Y_2^P^)^{-1}Y_2^G_{2}X_{2}(X_{2}^P^)^{-1}\&=(P^)^{-1}G_{2}P^{-1}\end{aligned}$
$G_{2}=P^*G_{1}P$ 合同变换 -
模：$\begin{Vmatrix}\alpha\end{Vmatrix}=\sqrt{(\alpha,\alpha)}$；角度：$\theta=arcos\frac{\begin{vmatrix}(\alpha,\beta)\end{vmatrix}}{\begin{Vmatrix}\alpha\end{Vmatrix}\begin{Vmatrix}\beta\end{Vmatrix}}$
-
如何构建标准正交基：
给定一$n$阶矩阵$A$，求其列空间一组标准正交基。
$A=[a_1,a_2,...,a_n]$ 把$a_1,a_2,...,a_n$构成的线性空间记为$R(A)$
先验证$dim(R(A))=n$，
正交化：$\beta_1 =\alpha_1\ \beta_2 =\alpha_2-\frac{(a_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\cdot\beta_1\ ...\\beta_n=\alpha_n-\frac{(a_n,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\cdot\beta_1-\frac{(a_n,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\cdot\beta_2-...-\frac{(a_n,\beta_{n-1})}{(\beta_{n-1},\beta_n-1)}\cdot\beta_{n-1}$
单位化：
$e_1=\frac{\beta_1}{\begin{Vmatrix}\beta_1\end{Vmatrix}}$
$e_2=\frac{\beta_2}{\begin{Vmatrix}\beta_2\end{Vmatrix}}$
$...$ $e_n=\frac{\beta_n}{\begin{Vmatrix}\beta_n\end{Vmatrix}}$
故$e_1,e_2,...,e_n$为一组标准正交基。
-
相似变换：
$B=P^{-1}AP$ 实质，同一线性变换在不同基下的矩阵。
-
最佳近似向量：
$AX=b$ $A^Tb=A^TA\tilde{X}\Rightarrow\tilde{X}=A^Tb$ 当且仅当$A$满秩，$A^TA$可逆
$rank(A^TA)=rank(A)$ -
等积变换：
$(\alpha,\beta)=(\sigma(\alpha),\sigma(\beta))$ $\Longleftrightarrow$标准积，为正交积。$(\alpha,\beta)=\sum{X_iY_i}$ $\sigma(\alpha)=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+...+x_n\alpha_n$ $\sigma(\beta)=y_1\beta_1+y_2\beta_2+...+y_n\beta_n$ -
对称变换：
$(\sigma(\alpha),\beta)=(\alpha,\tau(\beta))$ $\sigma(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)A\\tau(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)B$ $\Rightarrow$ $\sigma(\alpha)=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)AX\\tau(\beta)=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)BY$$\Rightarrow$ $(\sigma(\alpha),\beta)=Y^*AX\(\alpha,\tau(\beta))=(BY)^*X=Y^*B^*X$$\Rightarrow$ $A=B^*$ -
线性变换矩阵：
$\sigma(\alpha)=A\alpha$ 变换对应着矩阵，矩阵对应着坐标。基可以视为用以表述同一位置的不同坐标系，坐标系与坐标系之间转换依靠过渡矩阵。
$\sigma$ 在标准基下的矩阵为A，在$\beta$基下的矩阵为B，基的过渡矩阵为P，则满足$AP=PB$.例：$R^{2\times 2}\rightarrow R^{2\times 2},\sigma(A)=\begin{pmatrix}1&1\1&1\end{pmatrix}A,A\in R^{2\times 2},E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}$
$\sigma(E_{11})=\begin{pmatrix}1&1\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\1&0\end{pmatrix}=1\cdot E_{11}+0\cdot E_{12}+1\cdot E_{21}+0\cdot E_{22}$
$\sigma(E_{12})=\begin{pmatrix}1&1\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\0&1\end{pmatrix}=0\cdot E_{11}+1\cdot E_{12}+0\cdot E_{21}+1\cdot E_{22}$
$\sigma(E_{21})=\begin{pmatrix}1&1\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\1&0\end{pmatrix}=1\cdot E_{11}+0\cdot E_{12}+1\cdot E_{21}+0\cdot E_{22}$
$\sigma(E_{22})=\begin{pmatrix}1&1\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\0&1\end{pmatrix}=0\cdot E_{11}+1\cdot E_{12}+0\cdot E_{21}+1\cdot E_{22}$
$\sigma(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})=(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})\begin{pmatrix}1&0&1&0\0&1&0&1\1&0&1&0\0&1&0&1\end{pmatrix}$
-
计算：
①$\begin{vmatrix}\lambda I-E\end{vmatrix}=0$求解特征值
②同一特征值有几个约当块，取决于其线性无关向量数$K$
求法：$rank(\lambda_iE-A)=r\k=n-r$
-
Jordan基：
已知$J$，以及原矩阵$A$
$\Rightarrow AP=PJ\\Rightarrow (a_1,a_2,...,a_n)P$ -
盖尔圆盘：
$A=\begin{pmatrix}\lambda_1&a_{12}&a_{13}\a_{21}&\lambda_2&a_{23}\a_{31}&a_{32}&\lambda_3\end{pmatrix}$
$D_1(A)=\begin{Bmatrix}X:\begin{vmatrix}X-\lambda_1\end{vmatrix}\le a_{12}+a_{13}\end{Bmatrix}$
$D_1(A)=\begin{Bmatrix}X:\begin{vmatrix}X-\lambda_2\end{vmatrix}\le a_{21}+a_{23}\end{Bmatrix}$
$D_1(A)=\begin{Bmatrix}X:\begin{vmatrix}X-\lambda_3\end{vmatrix}\le a_{31}+a_{32}\end{Bmatrix}$
-
例：
已知$A$，求可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=J$
$\Rightarrow AP=PJ$ ①分析出$J$的结构
②根据$AX=\beta$，$\beta=(b_1,b_2,b_3,b_4)^T$，带入$J$的Jordan块对应的非零行
③解出几组解，得到P
20）相似条件：迹、行列式、秩、最小零化多项式相同
-
满秩分解
实质：对矩阵进行初等行（列）变换，到不可再简化为止，得到$\begin{pmatrix}I_r\0\end{pmatrix}$和$\begin{pmatrix}Ir&0\end{pmatrix}$，则$A=H_rI_r$是一个满秩分解。
满秩$\Longleftrightarrow$$A$可逆$\Longleftrightarrow$特征值不为0
$A=\begin{pmatrix}A_{j1},A_{j2},...,A_{jr}\end{pmatrix}H_r$
$H_{A}=\begin{pmatrix}H_r\0\end{pmatrix}$----Hermite标准型：主元若不为0，则同列其余元素均为0，前$r$行非0主元。
-
三角分解
$A=LU$ ，$L-lower$下三角，$U-upper$上三角可进一步转化为，$A=L\wedge U$
其中，$EA=U\Rightarrow A=E^{-1}U$
若$A$为实正定矩阵，则$A$一定有三角分解，且存在唯一的对角元素均为正的下三角矩阵$G$，使得$A=GG^T$
证明:
$G_{1}AG_{1}^{T}=\wedge\Rightarrow AG_{1}^{T}=G_{1}^{-1}\wedge\Rightarrow A=G_{1}^{-1}(G_{1}^{T})^{-1}=(G_{1}^{-1})(G_{1}^{-1})^{-1}=(G_{1}^{-1})(G_{1}^{-1})^{T}$ 条件：
$n$ 阶矩阵$A$的前$r(A)$个顺序主子式均非零，则$A$存在三角分解。例子：
$\begin{pmatrix}2&1\1&3\end{pmatrix}\Rightarrow\begin{pmatrix}1&0\x&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&y\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\0&\frac{5}{2}\end{pmatrix}=D$
$PAP^{-1}=D\Rightarrow A=P^{-1}DP=\begin{pmatrix}1&0\-x&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sqrt{2}&0\0&\sqrt{\frac{5}{2}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sqrt{2}&0\0&\sqrt{\frac{5}{2}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-y\0&1\end{pmatrix}$
$A=LU$ -
QR分解
-
奇异值分解(SVD分解)
$A=\stackrel{正交}U\stackrel{对角}\sum\stackrel{正交}V^{*}$ ①
1)$A$是对称正定矩阵
对$A$求取特征向量组成矩阵$Q$，求取特征值组成矩阵$\wedge$。
$A=Q\wedge Q^T$ 2）$A$不是对称正定矩阵
$AV=U\sum\V^T=V^{-1}$ $\Rightarrow$ $A=U\sum V^T$ $A^TA=V\sum^TU^TU\sum V^T=V\sum^T\sum V^T=V\begin{pmatrix}\sigma^2_{1}&&\&\sigma^2_{2}&\&&\sigma^2_{3}\end{pmatrix}V^T$
其中，$V$是$A^*A$的特征向量，$\sigma_1^{2},...,\sigma_{n}^2$是$A^A$的特征值，$U$是$AA^$的特征向量。
同理，$AA^T=U\sum\sum^T U^T\Rightarrow U\\Rightarrow A=U\sum U^T$
②
计算$AA^*=B$，求$B$的特征值，并求解特征向量。
-
Jordan-Chevalley分解：
$A=\stackrel{可对角化}B+\stackrel{幂零}C$ -
内积正交分解（傅里叶级数）：$(f(x),g(x))=\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{\pi}f(x)g(x)dx$
-
**最小二乘解：**已知$Ax=b\Rightarrow$$A^*Ax=A^*b$
-
Givens变换：
$c^2+s^2=1,\theta=arctan\frac{s}{c}$ $G(i,j,\theta)=I_n-(1-c)(E_{ii}+E_{jj})+s(E_{ij-E_{ji}})$ 将矩阵中某些元素快速变为0