OccupationModels.html

<!DOCTYPE html>
<html lang="" xml:lang="">
  <head>
    <title>Modèles d’occupation</title>
    <meta charset="utf-8" />
    <meta name="author" content="Clara Casabona Amat" />
    <script src="assets/header-attrs-2.11/header-attrs.js"></script>
    <link href="assets/remark-css-0.0.1/default.css" rel="stylesheet" />
    <link rel="stylesheet" href="https://stackpath.bootstrapcdn.com/font-awesome/4.7.0/css/font-awesome.min.css">
    <link rel="stylesheet" href="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/academicons/1.8.6/css/academicons.min.css">
    <link rel="stylesheet" href="qcbsR.css" type="text/css" />
    <link rel="stylesheet" href="qcbsR-fonts.css" type="text/css" />
  </head>
  <body>
    <textarea id="source">
class: center, middle, inverse, title-slide

# Modèles d’occupation
## <hr>
### Clara Casabona Amat

---


# Matériel requis


Pour suivre cet atelier, il est nécessaire d'avoir téléchargé et installé les dernières versions de [RStudio](https://rstudio.com/products/rstudio/download/#download) et de [R](https://cran.rstudio.com/).

.pull-left[
Vous devez également utiliser les paquets suivants :


* [unmarked](https://cran.r-project.org/web/packages/unmarked/index.html)
* [AICcmodavg](https://cran.r-project.org/web/packages/AICcmodavg/index.html)
* [ggplot2](https://cran.r-project.org/web/packages/ggplot2/index.html)

]

.pull-right[

Pour les installer à partir du CRAN, exécutez :


```r
install.packages(c("unmarked",
                   "AICcmodavg",
                   "ggplot2"))
```


]
&lt;br&gt;


---

# Matériel requis

&lt;br&gt;

&lt;br&gt;

&lt;br&gt;


.pull-left[
Tout au long de cet atelier, il y aura une série de **défis** et des  **questions** que vous pouvez reconnaître par ce rubix cube.

]

.pull-right[
.center[
![:scale 100%](images/rubicub.png)

]

]

&lt;br&gt;

&lt;br&gt;


---
# Objectifs d'apprentissage

&lt;br&gt;

**1.**  Décrire les modèles d'occupation de sites

&lt;br&gt;

**2.**  Identifier les situations dans lesquelles l'utilisation des modèles d'occupation de sites est appropriée

&lt;br&gt;

**3.** Exécuter les modèles avec `R`

&lt;br&gt;

**4.**  Valider, interpréter et visualiser les modèles avec `R`

&lt;br&gt;

**5.**  Petite introduction aux modèles d'occupation dynamiques 

---
# Questions de recherche 

--

.alert[**1. Quelle est la probabilité de détecter une mésange à tête brune dans une série de sites?**]

--

.alert[**2. Est-ce que la présence de la mésange à tête brune dans une parcelle de forêt augmente avec le pourcentage de conifères?**]

--

.alert[**3. Est-ce que la détection de cette espèce est affectée par le jour de l'échantillonnage ou la température?**]

--


.center[![:scale 60%](images/Study_area.png)]


---
# Pourquoi choisir un modèle d'occupation de sites?


--

Example: 


Lors de l'inventaire de la mésange à tête brune, il y a des sites où l'espèce est détectée et des sites où l'espèce n'est pas détectée: 

&lt;br&gt;

| Site ID | Visite 1 |
|:------: |:-----:| 
| A       | 1     |  
| B       | 1     | 
| C       | 0     |  

--

&lt;br&gt;
Mais .alert[attention]!  Une **non-détection** peut être due au fait que l'espèce soit absente sur le site ou simplement qu'elle n'a pas été détectée lors de l'inventaire. 

&lt;br&gt;

--

| Site ID | Visite 1      | Visite 2      | 
|:------: |:-----:| :-------------:|
| A       | 1     | 1 | 
| B       | 1     | 0  |
| C       | 0     | 1 |  
 
---
# Pourquoi choisir un modèle d'occupation de sites?
.pull-right2[

&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;
.center[![:scale 100%](images/observatinespece.png)]

]
.pull-left2[

&lt;br&gt;


- Les distributions des espèces sont sous-estimées chaque fois que la probabilité de détection ( `\(p\)` ) est &lt; 1

&lt;br&gt;


- Les estimations des relations de covariables sont biaisées vers zéro chaque fois que p &lt; 1

&lt;br&gt;


- Les facteurs qui affectent la détection de l'espèce peuvent se retrouver dans des modèles prédictifs d'occurrence d'espèces
 ]

---
# Pourquoi choisir un modèle d'occupation de sites?

Les modèles d'occupation de sites considèrent les **processus qui influencent la détection de l'espèce** à un site lors d'un inventaire:

--

.pull-left[
##  L'occupation

.center[ ![:scale 75%](images/occupenoncoupe.png) ]


- L'espèce peut être présente dans le site (avec probabilité `\(\psi\)`)  

&lt;br&gt;

- L'espèce peut être absente dans le site  (avec probabilité `\(1 - \psi\)`)
]

--

.pull-right[
## La détection

.center[ ![:scale 75%](images/observe.png) ]


Si le site est non-occupé, l'espèce ne peut pas être détectée ( `\(p=0\)`)

Si le site est occupé, à chaque visite `\(j\)`;
- L'espèce peut être détectée (avec probabilité  `\(p_j\)`)  
- L'espèce peut être non-détectée ( `\(1-p_j\)`). 

]

---
# Pourquoi choisir un modèle d'occupation de sites?

&lt;br&gt;

.center[ ![:scale 50%](images/occupancy1.png) ]

.footnote[.center[Figure modifie: Guillera‐Arroita, G. (2017). Modelling of species distributions, range dynamics and communities under imperfect detection: advances, challenges and opportunities. Ecography, 40(2), 281-295. ]]


---
class: inverse, center, middle

# Modèles d'occupation de sites

---

# Modèles d'occupation de sites

## Origine


Analyses de **capture-marquage-recapture (CMR)** pour populations fermées 

--

Exemple : *On veut savoir combien de tortues il y a dans une population*

.pull-left[

![:scale 75%](images/cmrexample.png)

]

.pull-right[

**Jour 1** = capture 10 tortues + ajoute un point blanc  + libération (M)

**Jour 2** = capture 20 tortues (S) (6 avec le point blanc (R))
]

--

.pull-left2[
En utilisant **l'index de Lincoln-Peterson** : 

`$$N = \frac{M*S}{R}$$`

]

--

.pull-right2[

On estime qu'il y a **33 tortues**

]


---

# Modèles d'occupation de sites

&lt;br&gt;

Mais, qu’est-ce qu’il arrive si on ne peut pas capturer les individus? 


--

**On peut travailler avec les sites (modèles d'occupation)!**

--

.pull-left[


- Dans l'exemple précedent, N représente le nombre d'individus présents dans la population.

&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

- À l'échelle des sites visités, N devient le nombre de sites occupés par l'espèce. 

]

.pull-right[

![:scale 100%](images/tortuesexample.png)

]

---

# Modèles d'occupation de sites

## Comment fonctionnent les modèles d'occupation?


Les modèles d'occupation modélisent conjointement le **processus biologique d'occurrence** des espèces `\((\psi)\)` et le **processus d'observation** de la détection des espèces `\((p)\)`, mais les estiment comme des processus distincts. 

--
 
&lt;br&gt;

Le **processus biologique** de présence donné par la probabilité d'occupation `\((\psi_i)\)`


.center[ 
`\(Z_i ∼ Bernoulli( \psi_i)\)`
]

--
 
&lt;br&gt;

Le **processus d'observation** donné par le *processus biologique* et la probabilité de détection `\((p_{ij})\)`

.center[
`\(d_{ij} ∼ Bernoulli(Z_i∗p_{ij})\)`
]

&lt;br&gt;

.center[
Les deux processus peuvent être modélisés avec des covariables. 
]

---

# Modèles d'occupation de sites

## Comment estimer la probabilité de détection ?

--

#### 1. Dispositif d'échantillonage: 

--


*  Sélectionner au moins 30 sites (ou plus selon la complexité des modèles)

*  Faire au moins 2 visites par site pendant la période d'étude  

&lt;br&gt;

--

#### 2. Générer la matrice  de détection


| Site ID | Visite 1      | Visite 2      | Visite 3    |
|:------: |:-----:| :-------------:|:-------------:|
| A       | 1     | 1 |  0 |
| B       | 1     | 0  | 0 |
| C       | 0     | 0 |  0|
| D       | 0     | 1 |  1 |


---

# Modèles d'occupation de sites

## Comment estimer la probabilité de détection ?

#### 3. Estimer la probabilité de détection 

| Site ID | Visite 1      | Visite 2      | Visite 3    |
|:------: |:-----:| :-------------:|:-------------:|
| A       | 1     | 1 |  0 |

&lt;br&gt;

--

La probabilité d'observer l'historique ( `\(h\)` ) de l'espèce dans le site A:


`$$Pr(h_A=110)  = \psi \: p_1 \:  p_2 \: (1-p_3)$$`
`\(\psi\)` = Probabilité d'occupation, `\(p\)`  = Probabilité de détection

&lt;br&gt;


Mais qu’est-ce qu’on fait avec les endroits qu'il y a aucune observation?

---


# Modèles d'occupation de sites

## Comment estimer la probabilité de détection ?


#### 3. Estimer la probabilité de détection 

##### Sites sans aucune détection

| Site ID | Visite 1      | Visite 2      | Visite 3    |
|:------: |:-----:| :-------------:|:-------------:|
| c      | 0     | 0 |  0 |


Il y a 2 possibilités:

- L’espèce était présente, mais n’a pas été détectée:

`$$\psi (1-p_1) (1-p_2) (1-p_3) = \psi \prod_{j=1}^{n_{visits}}(1 - p_j)$$`
--

- L’espèce n’était pas présente au site ( `\(1-\psi\)` )

---

# Modèles d'occupation de sites

## Comment estimer la probabilité de détection ?


#### 3. Estimer la probabilité de détection 

##### Sites sans aucune détection

Inclure les deux possibilités:

`$$Pr(h_C=000) = \psi \prod_{j=1}^{n_{visits}}(1 - p_j) + (1-\psi)$$`
---
# Comment construire le modèle ?

## Comment estimer la probabilité de détection et d'occupation?


On cherche à trouvé le **maximum de vraisemblance** (Likelihood) des probabilités d'occupation  et de détection étant donné les histoires de détection des données récoltées.


`$$L(\psi,p|h_A, h_B, h_C,...,h_i) = \prod_{i=1}^{n_{sites}}[h_i]$$`


`\([h_i]\)` = Probabilité de chaque site

---
# Comment estimer le likelihood ?

.alert[**Quelle est la probabilité d'observer une mésange à tête brune dans un site?**]

--

Lors d'une visite, l'espèce peut être détect (1) ou non-détecté (0) (expérience binomiale). 


`$$[x|v,p] = \frac{v!}{x!(v-x)!}*p^x(1-p)^{v-x}$$`
`\(x\)` = nombre d'observations pour  `\(v\)` et  `\(p\)` donnés

`\(v\)` = nombre total de visites

`\(p\)` = probabilité de détecté la mésange

---
# Comment estimer le likelihood ?

.alert[**Quelle est la probabilité d'observer une mésange à tête brune dans un site?**]

Exemple: Dans 1 site avec 3 visites et 2 observations


`$$[x = 2|v = 3, p] = \frac{3!}{2!(3-2)!}*p^2(1-p)^{3-2}$$`

On sait que  `\(p\)` peut varier entre 0 et 1, alors on va substituer différentes valeurs de p dans la fonction

--

 `\(p\)` = 0.2

$$[x = 2|v = 3, p = 0.2] = \frac{3!}{2!(3-2)!}*0.2^2(1-0.2)^{3-2}  = 0.096 $$

--

 `\(p\)` = 0.6

$$[x = 2|v = 3, p = 0.6] = \frac{3!}{x!(3-2)!}*0.6^2(1-0.6)^{3-2}  = 0.43 $$

Mais: quelle valeur de `\(p\)` correspond au maximum de likelihood? 

???
la probabilité d’observer `\(x\)` détection, après `\(v\)` visites lorsqu’on a une probabilité `\(p\)` d’observer 1 fois

---
# Comment estimer le likelihood ?

.alert[**Quelle est la probabilité d'observer une mésange à tête brune dans un site?**]

Code R :

```r
probDet &lt;-seq(from=0, to=1, by=0.01)  
LL = dbinom(x = 2, size = 3, prob = probDet)
MLE = probDet[which(LL==max(LL))] 
plot(LL~probDet, type = "l") 
abline(v = MLE, col="red", lwd=3, lty=2)
```


.center[ ![:scale 60%](images/MLE32.png) ]


Solution: le MLE se trouve quand p = 0.67 

---
# Défi ![:cube]()

1. Quelle est la valeur de `\(p\)` si on a 10 visites dans un site et on fait 4 observations

2. Quelle est la valeur de  `\(p\)` si on a 100 visites  et 40 observations?

3. Représente graphiquement  le likelihood pour les différents  `\(p\)`, qu'est-ce qu'on observe?


---
# Solution  ![:cube]()

**1. Quelle est la valeur de `\(p\)` si on a 10 visites dans un site et on fait 4 observations**

```
LL10_4 = dbinom(x = 4, size =10, prob = probDet)
MLE10_4 = probDet[which(LL10_4==max(LL10_4))]
MLE10_4
```
**Response** : `\(p\)` = 0.4


**2. Quelle est la valeur de `\(p\)` si on a 100 visites  et 40 observations?**


```

LL100_40 = dbinom(x = 40, size =100, prob = probDet)
MLE100_40 = probDet[which(LL100_40==max(LL100_40))]
MLE100_40
```

**Response** : `\(p\)` = 0.4

&lt;br&gt;

Dans les deux cas, la probabilité d'observation de la mésange est le même `\(p\)` = 0.4

---
# Solution ![:cube]()

**3. Représente graphiquement  le likelihood pour les différents `\(p\)` , qu'est-ce qu'on observe?**

```
plot(LL10_4~probDet, type = "l")
abline(v = MLE10_4, col="red", lwd=3, lty=2)

plot(LL100_40~probDet, type = "l")
abline(v = MLE100_40, col="red", lwd=3, lty=2)
```
**Response** : 
.center[ ![:scale 50%](images/detection.png) ]

L’incertitude autour de l’estimé `\(p\)` diminue quand la taille d’échantillon augmente.


---
# Suppositions du modèle de base


&lt;br&gt;

.center[ 
`\(\psi\)`  et `\(p\)` constant
]


&lt;br&gt;

**1.**  L’état d’occupation à un site donné est constant entre la première et dernière visite (i.e., le site occupée reste occupée)

&lt;br&gt;

**2.** Probabilité d’occupation est la même pour tous les sites.

&lt;br&gt;

**3.** Si l'espèce est présente, la probabilité de la détecter pendant une visite est le même pour tous les sites.

&lt;br&gt;

**4.** La détection de l’espèce est indépendante dans chaque visite.


---

# Suppositions du modèle de base et incorporation des covariables

.center[ 
`\(\psi\)` et `\(p\)` variables
]

&lt;br&gt;

Si les covariables sont mesurées pendant l’étude, on peut les incorporer afin d'augmenter la plausibilité du modèle et expliquer les patrons d'observation et détection. 


.pull-left[

Sur l’**occupation**, `\(\psi\)`

- Constantes à travers le temps 
- Covariables de site


]

.pull-right[

Sur la **détection**, `\(p\)`

- Peuvent varier dans le temps (mesurées à chaque visite/site)


]

--

.pull-left[


&lt;br&gt;


Exemples: Type d'habitat, végétation, présence d'autres espèces, altitude...

]

--

.pull-right[


&lt;br&gt;


Exemples:  Heure d'observation, température, effort d’échantillonnage, méthodologie...


]


---

# Modéliser l’occupation et la détection


.center[ 
`\(Z_i ∼ Bernoulli( \psi_i)\)`
]


`\(\psi\)` et `\(p\)` sont des probabilités et on veut qu’elles varient entre 0 et 1.


La fonction de lien logit impose une contrainte sur les paramètres afin qu’ils varient entre 0 et 1.

`$$logit(\psi) = log(\frac{\psi}{1-\psi})$$`
--

C'est le même lien que dans une régression logistique.

`$$log(\frac{y}{1-y})= \beta_0 + B_{variable1} * variable1 + B_{variable2} * variable2$$`

---

# Modéliser l’occupation et la détection


Modèle avec occupation constante (intercepte seulement):

`$$logit(\psi)= \beta_0$$`
--

Lorsqu’on connaît `\(\beta_0\)`, on peut trouver `\(\psi\)`


`$$logit(\psi)= \beta_0 + B_{variable1} * variable1 + B_{variable2} * variable2$$`
--


Pour trouver `\(\psi\)`, on calcule 

`$$\psi= \frac{exp(\beta_0 + B_{variable1} * variable1 + B_{variable2} * variable2)}{1+exp(beta_0 + B_{variable1} * variable1 + B_{variable2} * variable2)}$$`
---

# Modéliser l’occupation et la détection

.center[
`\(d_{ij} ∼ Bernoulli(Z_i∗p_{ij})\)`
]

Modèle avec détection constante (intercepte seulement):

`$$logit(p)= \beta_0$$`
--

Lorsqu’on connaît `\(\beta_0\)`, on peut trouver `\(p\)`


`$$logit(p)= \beta_0 + B_{variable1} * variable1 + B_{variable2} * variable2$$`
--

Pour trouver `\(p\)`, on calcule 

`$$p= \frac{exp(\beta_0 + B_{variable1} * variable1 + B_{variable2} * variable2)}{1+exp(beta_0 + B_{variable1} * variable1 + B_{variable2} * variable2)}$$`
---
# Modéliser l’occupation et la détection

&lt;br&gt;

.center[ ![:scale 1000%](images/occupacymodelimage.jpg) ]

.footnote[.center[Figure modifie: Guillera‐Arroita, G. (2017). Modelling of species distributions, range dynamics and communities under imperfect detection: advances, challenges and opportunities. Ecography, 40(2), 281-295. ]]

---
class: inverse, center, middle

# Application  des modèles avec `R`

 Avec l'utilisation des packages: 
 
### `unmarked`  

### `AICcmodavg` 

---
# `unmarked`

&lt;br&gt;

`unmarked` package, ajuste les modèles hiérarchiques d'occurrence et d'abondance des espèces qui considèrent la détection imparfaite. 

&lt;br&gt;

Ces modèles sont:


- **Modèles d'occupation à une saison**


- Modèles d'occupation  dynamiques


- Modèles N-mixture à une saison


- Modèles N-mixture dynamiques


.footnote[Ces modèles ont été développés à l'origine par [Mackenzie et al.  (2006)](https://pubs.er.usgs.gov/publication/5200296) et [Royle et Darzio (2008)](https://pubs.er.usgs.gov/publication/5200344) . La principale référence pour le package est [Fiske et Chandler (2011)](https://www.jstatsoft.org/article/view/v043i10).]


---
# `AICcmodavg`

&lt;br&gt;

`AICcmodavg` package, contient des fonctions pour:

&lt;br&gt;

- Implémenter la **sélection de modèles et l'inférence multimodèle** basée sur le critère d'information d'Akaike (AIC) et l'AIC de second ordre (AICc).

- Étudier la  **qualité d'ajustement** pour les modèles  classes «unmarkedFit».


.footnote[Ces modèles ont été développés à l'origine par [Anderson, D. R. (2008)](https://link.springer.com/book/10.1007/978-0-387-74075-1), [Burnham, K. P., and Anderson, D. R. (2002)](https://link.springer.com/book/10.1007/b97636)  et [Burnham, K. P., Anderson, D. R. (2004)](https://journals.sagepub.com/doi/10.1177/0049124104268644) . La principale référence pour le package est [Marzerolle, M. J. (2017)](https://cran.r-project.org/web/packages/AICcmodavg/AICcmodavg.pdf).]


---


# Approche 

&lt;br&gt;

1. Importer et formater les données

2. Création et exécution des modèles

3. Vérifier les suppositions et l'ajustement

4. Sélection de modèle (AICc) et inférence multimodèle

5. Exploration les résultats 

6. Prédictions - Représentation graphique 

---

# 1. Importer et formater les données

**Familiarisez-vous avec le jeu de données**

**1.** Ouvrez le script de l'atelier dans `R`

**2.** Ouvrez le jeu de données `borchi.csv` dans `R`

**3.** Explorez la structure du jeu de données

--


# Qu'est-ce que vous observez?

--
&lt;br&gt;

| V1 | V2  | V3  | Conif |  Temp1      |  Temp2 | Temp3  | jj1 | jj2 | jj3|
|:-----: | :---:     |:--:    |  :------:  |:------: |:-----:| :---:  |:--:   |:-----:| :---:    |
 | 1        | 1         |  0     |  0.5     | 7.5       | 8.6    | 7.9      | 8    |13      | 25       |  
 | 1        | 0         | 0      |  1.0     |10.9      | 10.1     | 11.3     |11     |22     | 26        | 
 | 0        | 0         |  0     |  0.2     | 8.6      | 8.3     | 9.3    |  11    |11      | 25       | 

--
.center[![:scale 80%](images/infodataset.png)]


---

# 1. Importer et formater les données

&lt;br&gt;

1.1 Standardisation des variables

&lt;br&gt;


1.2 Vérification des correlations entre variables

&lt;br&gt;


1.3 Formater les données avec la fonction `unmarkedFrameOccu()` 

&lt;br&gt;


1.4a Explorer l'objet `unmarkedFrameOccu` avec `summary()`

1.4b Explorer l'objet `unmarkedFrameOccu` avec `detHist()`
---

# 1. Importer et formater les données


##### 1.1 Standardisation des variables
--

Comparer deux variables quantitatives.

.center[![:scale 80%](images/standardisation.png)]

---

# 1. Importer et formater les données


##### 1.1 Standardisation des variables
--


Variables de Site (conif)


```r
conifer_mean &lt;- mean(borchi$conif)
conifer_sd   &lt;- sd(borchi$conif)
conifer_std  &lt;- as.data.frame((borchi$conif - conifer_mean)/conifer_sd)
names(conifer_std)[1] = paste("conifer_std")
```

--


Variable d'observation (temp et jj)


```r
temp =  borchi[, c(5:7)]
temp_mean &lt;- mean(as.vector(as.matrix(temp)))
temp_sd   &lt;- sd(as.vector(as.matrix(temp)))
temp_std  &lt;- (temp - temp_mean)/temp_sd

jj = borchi[, c(8:10)]
jj_mean &lt;- mean(as.vector(as.matrix(jj)))
jj_sd   &lt;- sd(as.vector(as.matrix(jj)))
jj_std  &lt;- (jj - jj_mean)/jj_sd
```

---

# 1. Importer et formater les données

#####  1.2 Vérification des correlations entre variables

Dans notre exemple, on doit regarder la corrélation entre jour julien et température


```r
mapply(cor,as.data.frame(temp_std), as.data.frame(jj_std))
```

OUTPUT: 

&lt;br&gt;

| temp1 - jj1 | temp2 - jj2  | temp2 - jj2  |
|:-----: |:-----: |:-----: |
|-0.05150491 | 0.11642357 | -0.02352764 |

&lt;br&gt;

S’assurer que les variables ne sont pas corrélées entre elles

- Éviter d’inclure des variables corrélées (|r| &gt; 0.7) sur le même paramètre `\(( \psi\)` ou `\(p)\)`

- Possible d’ajouter la même variable sur différents paramètres

---

# 1. Importer et formater les données


#####  1.3 Formater les données avec la fonction `unmarkedFrameOccu()` 


&lt;br&gt;

```r
borchi_data &lt;- unmarkedFrameOccu(y = borchi[, c(1:3)],
                                 siteCovs = conifer_std,
                                 obsCovs  = list(temp_std = temp_std,
                                                jj_std    = jj_std))
```

Dans la fonction:

- `y`  contient les données d'observation (0, 1). *Matrice ou un data frame.* 

- `siteCovs` contient les variables liées au site. *Matrice ou un data frame.* 

- `obsCovs` contient les variables liées à l'observation. *Liste de matrice ou  data frames.* 


---

# 1. Importer et formater les données

##### 1.4a Explorer l'objet `unmarkedFrameOccu` avec `summary()`


```
unmarkedFrame Object

60 sites
Maximum number of observations per site: 3 
Mean number of observations per site: 3 
Sites with at least one detection: 34 

Tabulation of y observations:
 0  1 
98 82 
```
.pull-left[

```
Site-level covariates:
  conifer_std     
 Min.   :-1.7752  
 1st Qu.:-0.8801  
 Median : 0.3133  
 Mean   : 0.0000  
 3rd Qu.: 0.9100  
 Max.   : 1.2083  
```
]


.pull-right[

```
Observation-level covariates:
    temp_std            jj_std       
 Min.   :-2.45001   Min.   :-1.5382  
 1st Qu.:-0.78104   1st Qu.:-0.8536  
 Median :-0.08385   Median :-0.1689  
 Mean   : 0.00000   Mean   : 0.0000  
 3rd Qu.: 0.81877   3rd Qu.: 1.0635  
 Max.   : 2.16092   Max.   : 1.7482  
 
```
]

---

# 1. Importer et formater les données

#####  1.4b Explorer l'object `unmarkedFrameOccu` avec `detHist`

&lt;br&gt;


```r
detHist(borchi_data) # package `AICcmodavg`
```

Output:

```
Summary of detection histories: 
          000 010 011 100 101 110 111
Frequency  26   3   5   2   1   4  19

Proportion of sites with at least one detection:
 0.57 

Frequencies of sites with detections:
         sampled detected
Season-1      60       34
```

---

# 2. Création et exécution des modèles

##### 2.1 Création des modèles

&lt;br&gt;

Utilisation de la fonction `occu()` du package `unmarked`

&lt;br&gt;

Elements :  occu(~ `\(p(.)\)` ~ `\(\psi(.)\)` , data)

&lt;br&gt;

-  Modèles candidats:


```r
mod_null  &lt;- occu( ~ 1 ~ 1,     data = borchi_data)

mod_occ   &lt;- occu( ~ 1 ~ conifer_std, data = borchi_data)

mod_det   &lt;- occu( ~ temp_std + jj_std  ~ 1, data = borchi_data)

mod_complet   &lt;- occu(  ~ temp_std + jj_std ~ conifer_std, data = borchi_data)
```

---
# 2. Création et exécution des modèles

##### 2.2 Inspecter les modèles

```
summary(mod_null)
```
```
Call:
occu(formula = ~1 ~ 1, data = borchi_data)

Occupancy (logit-scale):
 Estimate    SE    z P(&gt;|z|)
    0.288 0.264 1.09   0.275

Detection (logit-scale):
 Estimate    SE   z  P(&gt;|z|)
     1.37 0.258 5.3 1.17e-07

AIC: 186.5302 
Number of sites: 60
optim convergence code: 0
optim iterations: 12 
Bootstrap iterations: 0 
```
---
# 2. Création et exécution des modèles

##### 2.2 Inspecter les modèles

.alert[**1. Quelle est la probabilité de détecter une mésange à tête brune dans une série de sites?**]

```
Call:
occu(formula = ~1 ~ 1, data = borchi_data)


Detection (logit-scale):
 Estimate    SE   z  P(&gt;|z|)
     1.37 0.258 5.3 1.17e-07
     
```

**Réponse** : 


```r
plogis(1.37)
```

```
## [1] 0.7973802
```

---
# 2. Création et exécution des modèles

##### 2.2 Inspecter les modèles
```
summary(mod_complet)

```
```
Call:
occu(formula = ~temp_std + jj_std ~ conifer_std, data = borchi_data)

Occupancy (logit-scale):
            Estimate   SE    z P(&gt;|z|)
(Intercept)     1.26 1.09 1.15  0.2496
conifer_std     6.73 2.66 2.53  0.0114

Detection (logit-scale):
            Estimate    SE     z P(&gt;|z|)
(Intercept)    0.794 0.358  2.22  0.0266
temp_std       1.085 0.489  2.22  0.0266
jj_std        -0.642 0.330 -1.95  0.0512

AIC: 115.2416 
Number of sites: 60
optim convergence code: 0
optim iterations: 33 
Bootstrap iterations: 0
```


---
# 3. Test d'ajustement

&lt;br&gt;

Nous pouvons utilise le test de MacKenzie et Bailey pour vérifier l'ajustement du modèle global dans le package `AICcmodavg`

.alert[Attention!] Cette étape peut prendre quelques minutes a rouler (ou heures si le jeu de données et le nombre de simulations sont très grands)

--


```
gof &lt;- mb.gof.test(mod_complet, nsim = 10000, plot.hist = TRUE)
save(gof, file = "mod_complet_gof.Rdata")
gof$chisq.tab
```

--


|  |  Cohort |Observed | Expected | Chi-square|
|:-----: |:-----: |:-----: |:-----: |:-----: |
|000|      0|       26| 26.188171 |0.001352074|
|010|      0|        3|  1.710503 |0.972112572|
|011|      0|        5|  4.221074 |0.143737277|
|100|      0|        2|  1.262803 |0.430358910|
|101|      0|        1|  3.276477 |1.581682865|
|110|      0|       4 | 5.463913 |0.392217345|
|111|      0|       19| 16.969619 |0.242930967|

---

# 3. Test d'ajustement


Graphique de la distribution du `\(x^2\)` observés par rapport aux `\(x^2\)` 
obtenus par bootstrap paramétrique (ĉ = 1.11)


.center[![:scale 50%](images/GOF.png)]

.xsmall[- Si ĉ &lt; 1, le modèle est bien ajusté

- Si  ĉ se trouve entre 1 et 4, le modèle est moyennement bien ajusté, il faudra ajuster pour cette valeur

- Si ĉ &gt; 4, le modèle n'est pas bien ajusté. Changer de modèle ou d'approche.]
---

# 4. Sélection de modèles

##### Sélection AICc avec la fonction  `aictab()` 

&lt;br&gt;


--

- Étape 1: Mettre les modèles dans une liste


&lt;br&gt;


- Étape 2: Assigner le nom des modèles

&lt;br&gt;


- Étape 3: Appliquer la fonction de sélection AICc (Avec la correction du  ĉ = `c.hat` si besoin)

--

&lt;br&gt;


```
Modeles &lt;- list(mod_null,mod_occ,mod_det,mod_complet)
Names   &lt;- list("mod_null","mod_occ","mod_det","mod_complet")
aictab(cand.set = Modeles, modnames = Names, c.hat = 1.11)
```
---

# 4. Sélection de modèles


Model sélection based on QAICc:


&lt;br&gt;

(c-hat estimate = 1.11)

&lt;br&gt;

 |    |       K|  QAICc |Delta_QAICc |QAICcWt |Cum.Wt| Quasi.LL|
|:-----: |:-----: |:-----: |:-----: |:-----: |:-----: |
|mod_complet| 6 |108.40   |     0.00 |   0.56 |  0.56 |  -47.41|
|mod_occ    | 4| 108.84   |     0.44 |   0.44 |  1.00 |  -50.06|
|mod_det    | 5 |134.52   |    26.13 |   0.00 |  1.00 |  -61.71|
|mod_null   | 3 |170.87   |    62.47 |   0.00 |  1.00 |  -82.22|

&lt;br&gt;


**Interprétation**: 

-  Le "*mod_complet*" est le modèle plus plausible

-  Le "*mod_occ*" est aussi très plausible (équivalent); Detla AIC &lt; 2. 


---

# 5. Inférence multimodèle

##### Estimation pondérée de chaque variable du modèle - `modavgShrink()`. 

--


```r
modavgShrink(cand.set = Modeles, modnames = Names, c.hat = 1.11, 
             parm = "Conif_std", parm.type = "psi")
```

--

&lt;br&gt;

```
Multimodel inference on "psi(conifer_std)" based on QAICc

QAICc table used to obtain model-averaged estimate with shrinkage:
	(c-hat estimate = 1.11)

            K  QAICc Delta_QAICc QAICcWt Estimate   SE
mod_null    3 170.87       62.47    0.00     0.00 0.00
mod_occ     4 108.84        0.44    0.44     6.97 2.82
mod_det     5 134.52       26.13    0.00     0.00 0.00
mod_complet 6 108.40        0.00    0.56     6.73 2.80

Model-averaged estimate with shrinkage: 6.84 
Unconditional SE: 2.81 
95% Unconditional confidence interval: 1.33, 12.35
```
---
# 5. Inférence multimodèle - Question ![:cube]()

.alert[Est-ce qu'il y a un effet du *pourcentage de conifères* dans l'occupation de la mésange?]

```
Multimodel inference on "psi(conifer_std)" based on QAICc

QAICc table used to obtain model-averaged estimate with shrinkage:
	(c-hat estimate = 1.11)

            K  QAICc Delta_QAICc QAICcWt Estimate   SE
mod_null    3 170.87       62.47    0.00     0.00 0.00
mod_occ     4 108.84        0.44    0.44     6.97 2.82
mod_det     5 134.52       26.13    0.00     0.00 0.00
mod_complet 6 108.40        0.00    0.56     6.73 2.80

Model-averaged estimate with shrinkage: 6.84 
Unconditional SE: 2.81 
95% Unconditional confidence interval: 1.33, 12.35
```
--
&lt;br&gt;

**Réponse** : *Oui!* Le 0 n'est pas inclus dans l'interval de confiance (1.33, 12.35), on peut dire qu'il y a un effet positif du pourcentage de conifères dans la probabilité d'occupation de  la mésange. 
---

# 5. Inférence multimodèle - Défi ![:cube]()

--

.alert[**1. Est-ce qu'il y a un effet de la *température* dans la probabilité de détection?**]

.alert[**2. Est-ce qu'il y a un effet du *jour d'échantillonage* dans la probabilité de détection?**]


Indice, faites attention au   `parm.type =...` on travaille avec la probabilité de détection (`detect`).

---

# 5. Inférence multimodèle - Défi  ![:cube]()


.alert[**1.  Est-ce qu'il y a un effet de la *température* dans la probabilité de détection?**]

**Solution : **


```r
modavgShrink(cand.set = Modeles, modnames = Names, c.hat = 1.11, 
             parm = "temp_std", parm.type = "detect")
```

Output:

```
Model-averaged estimate with shrinkage: 0.6 
Unconditional SE: 0.66 
95% Unconditional confidence interval: -0.7, 1.9
```

--

**Response : ** Le 0 se trouve dans l'interval de confiance. Il n'y a pas un effet de la température dans la probabilité de détection.

---

# 5. Inférence multimodèle - Défi  ![:cube]()


.alert[**2. Est-ce qu'il y a un effet du *jour julien* dans la probabilité de détection?**]

**Solution :**


```r
modavgShrink(cand.set = Modeles, modnames = Names, c.hat = 1.11,
             parm = "jj_std", parm.type = "detect")
```

Output:

```
Model-averaged estimate with shrinkage: -0.36 
Unconditional SE: 0.41 
95% Unconditional confidence interval: -1.16, 0.45
```

--

**Response:** Le 0 se trouve dans l'interval de confiance Il n'y a pas un effet du jour julien dans la probabilité de détection.


---

# 6. Prédictions
&lt;br&gt;

Pour faire des prédictions pondérées en utilisant tous les modèles, il faut suivre les suivants étapes:

&lt;br&gt;

**6.1. Crée un nouveau jeu de données**

&lt;br&gt;

**6.2. Calculer les prédictions avec `modavgPred()`**

&lt;br&gt;

**6.3. Résumer les résultats dans un graphique**

---

# 6. Prédictions

### 6.1. Crée un nouveau jeu de données

Utiliser une séquence de la variable d'intérêt  (min - max)  et ajouter les valeurs standardisées pour faire les estimations


```r
new_dats &lt;- data.frame(temp = 
                         seq(from = min(temp),
                             to = max(temp), 
                             length.out = 30), # Séquence de la variable d'intérêt
                       jj_std = 0)  # Variables fixées
                       
new_dats$temp_std &lt;- (new_dats$temp - temp_mean)/temp_sd # Valeurs standardisées
```
---

# 6. Prédictions

### 6.2. Calculer les prédictions avec `modavgPred()`


```r
preds &lt;- modavgPred(cand.set = Modeles, modnames = Names,
                    c.hat = 1.11, newdata = new_dats, 
                    type = "response", parm.type = "detect")
```

--

Ajouter les estimations au jeu de données qu'on a crée


```r
new_dats$mod_avg_pred &lt;- preds$mod.avg.pred
new_dats$uncond_se &lt;- preds$uncond.se
new_dats$low95 &lt;- preds$lower.CL
new_dats$upp95 &lt;- preds$upper.CL
```

---

# 6. Prédictions

### 6.3. Résumer les résultats dans un graphique


```r
ggplot(new_dats, aes(temp)) + 
  geom_line(aes(y = mod_avg_pred), colour = "blue") + 
  geom_ribbon(aes(ymin = low95, ymax = upp95), alpha = 0.2) +
  ylim(0,1) +   labs(y = expression("Probabilité de détection" (p)), 
                     x = "Température de l'air") +
  theme_bw()
```


.center[![:scale 60%](images/Ptemp.png)]


---
#  6. Prédictions -Défi  ![:cube]()

Représente l'effet du pourcentage de conifères (conif) sur la probabilité d'occupation de la mésange à tête brune.

&lt;br&gt;

1. Crée un nouveau jeu de données

2. Calculer les prédictions avec `modavgPred()`

3. Résumer les résultats dans un graphique

---
#  6. Prédictions -Défi  ![:cube]()

**Solution :**

Création d´un nouveau jeu de données: 


```r
new_dats &lt;- data.frame(conif = seq(from = min(borchi$conif),
                                   to   = max(borchi$conif), 
                                   length.out = 30)) 
new_dats$conifer_std &lt;- (new_dats$conif - conifer_mean)/conifer_sd
```

--

Calculer les prédictions avec `modavgPred()`


```r
preds &lt;- modavgPred(cand.set = Modeles, modnames = Names, c.hat = 1.11, 
                    newdata  = new_dats, type = "response", parm.type = "psi")

new_dats$mod_avg_pred &lt;- preds$mod.avg.pred
new_dats$uncond_se &lt;- preds$uncond.se
new_dats$low95 &lt;- preds$lower.CL 
new_dats$upp95 &lt;- preds$upper.CL
```

---
#  6. Prédictions -Défi  ![:cube]()

Résumer les résultats dans un graphique


```r
ggplot(new_dats, aes(conif)) + 
  geom_line(aes(y = mod_avg_pred), colour = "blue") + 
  geom_ribbon(aes(ymin = low95, ymax = upp95), alpha = 0.2) +
  ylim(0,1) +   labs(y = expression("Probabilité d'occupation" (psi)), 
                     x = "% Conifères dans la parcelle") +
  theme_bw()
```


.center[![:scale 70%](images/Rplot.png)]


---
# Questions de recherche 

--

.alert[**1. Quelle est la probabilité d'observer une mésange à tête brune dans notre série de sites?**]

--

**Réponse** : ~ 80%  (Intercept detection modèle null)


--

&lt;br&gt;

.alert[**2. Est-ce que la présence de la mésange à tête brune dans une parcelle de forêt augmente avec le pourcentage de conifères?**]

--

.pull-left[
**Réponse** : Oui, l'occupation de la mésange à tête brune augmente  avec le pourcentage de conifères. 

]

.pull-right[
![:scale 70%](images/Rplot.png)

]
--

&lt;br&gt;

.alert[**3. Est-ce que la détection de cette espèce est affectée par le jour de l'échantillonnage ou la température?**]

--

**Réponse** : Non, dans les deux cas, le 0 se trouve dans l'IC. 

---
class: inverse, center, middle

# Introduction aux modèles d'occupation dynamique 

---

# Modèles d'occupation dynamique


**Permet de quantifier les changements d’occupation entre saisons** (MacKenzie et al. 2003)

&lt;br&gt;

4 groupes de paramètres à estimer: 

.pull-left[

* ( `\(\psi\)` init) Probabilité d’occupation à la première saison 

* ( `\(\gamma\)` )  Probabilité de colonisation 

* ( `\(\epsilon\)` ) Probabilité d’extinction 

* ( `\(p\)` ) Probabilité de détection 


]

.pull-right[
![:scale 100%](images/FIGUREPARAMETERS.png)
]


.footnote[.center[[MacKenzie, D. I., Nichols, J. D., Hines, J. E., Knutson, M. G., &amp; Franklin, A. B. (2003). Estimating site occupancy, colonization, and local extinction when a species is detected imperfectly. Ecology, 84(8), 2200-2207](https://esajournals.onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1890/02-3090)]]
---
# Modèles d'occupation dynamique

## Exemple: Étude de l'expansion de la grue du Canada au Québec

.pull-left[
**Question de recherche** : Quels sont les facteurs qui ont une influence sur la colonisation de la grue du Canada sur le territoire Québécois?
]


.pull-right[

![:scale 80%](images/grue.jpg)

]

.footnote[.center[[ Casabona I Amat, C., Adde, A., Mazerolle, M. J., Lepage, C., &amp; Darveau, M. (2022). Breeding expansion of sandhill cranes in Quebec. The Journal of Wildlife Management, 86(3), e22169.](https://wildlife.onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1002/jwmg.22169)]]

---

# Modèles d'occupation dynamique

#### Données

.center[![:scale 60%](images/studyarea.png)]

---

# Modèles d'occupation dynamique

#### Données

.center[![:scale 80%](images/table.png)]
---

# Modèles d'occupation dynamique

#### Données

.center[![:scale 80%](images/occdyn.png)]

---

# Modèles d'occupation dynamique

####  Formatage des données à l’aide de `unmarkedMultFrame()` dans `unmarked`


```r
grue_data &lt;- unmarkedMultFrame(y = det, 
                               siteCovs = SiteCovs_s,
                               obsCovs  = list(Met = Met, ..., JJ = JJ),
                               yearlySiteCovs = list(year = year, ...), 
                               numPrimary = 16)
```

Dans la fonction:

.xsmall[
- `y` :  contient les données d'observation (0, 1).  *Matrice ou un data frame.*  
- `siteCovs` :  contient les variables liées au site. *Matrice ou un data frame.* 
- `obsCovs` :  contient c les variables liées à l'observation.  *Liste de matrices ou un data frames.* 
- `yearlySiteCovs` :  contient les variables liées au site et année *Liste de matrices ou un data frames.* 
- `numPrimary`:  contient  le nombre d'années *Valeur numerique* 
]
---
# Modèles d'occupation dynamique


####  Création des modèles

Utilizant la fonction `colex()`, elements :  

&lt;br&gt;
&lt;br&gt;

.center[occu(~ `\(\psi(.)\)` ~ `\(\gamma(.)\)` ~ `\(\epsilon(.)\)` ~ `\(p(.)\)` , data)]

&lt;br&gt;
&lt;br&gt;


```r
model &lt;-colext(psiformula   =  ~ MHo_p,
               gammaformula =  ~ MAt.s + MAt2,
               epsilonformula = ~ MHo_p,
               pformula = ~JJ + Met_eff,
               data = grue_data) 
```

---
# Modèles d'occupation dynamique

#### Attention aux problèmes de convergence !

Exemple message d'erreur:

```
In function (object) :
Model did not converge. Try providing starting values or increasing maxit control argment.
```

Détection des problèmes de convergence :

- `\(\beta\)` très grand (|20|)

- SE des estimés démesurées par rapport à l’estimé (&gt; 50)

- `\(\beta\)` ou SE avec NaN

-- 

Causes:

- Variables non standardisées

- Classification parfaite

- Modèle trop complexe pour les données 


---
# Modèles d'occupation dynamique

####  Sélection AICc

![:scale 100%](images/aic.png)


---
# Modèles d'occupation dynamique

####  Résultats (Inférence multimodèle + figures)

.pull-left[
![:scale 100%](images/occdyndet.png)
![:scale 100%](images/psidyn.png)
]

.pull-right[
![:scale 100%](images/epsdyn.png)
![:scale 100%](images/coldyn.png)
]


---
class: inverse, center, middle

# Autres modèles qui considèrent la probabilité de détection

---

# Autres modèles (estimant les abondances)


&lt;br&gt;

* Modèle d’hétérogénéité de Royle-Nichols

* Modèle N-mixture pour décomptes à une saison

* Modèle N-mixture dynamique pour décomptes (multiples saisons)

* Occupation avec identification erronée lorsque l’espèce n’est pas bien identifiée (false-positive occupancy model)

* Distance sampling

Ces modèles seront présentés  lors des prochains ateliers R du CSBQ. 


---

# Recommandations

.center[![:scale 30%](images/occupancybook.jpeg)]
.footnote[.center[[ MacKenzie, D. I., Nichols, J. D., Royle, J. A., Pollock, K. H., Bailey, L. L., &amp; Hines, J. E. (2017). Occupancy estimation and modeling: inferring patterns and dynamics of species occurrence. Elsevier.](https://www.elsevier.com/books/occupancy-estimation-and-modeling/mackenzie/978-0-12-407197-1)]]
---

##### Developers and contributors

Cette présentation a été dévelopé par [Clara Casabona Amat](mailto:)

Ce template a été développé à l'origine par [Marie Hélène Brice](mailto:) and [Kevin Cazelles](mailto:) et amélioré avec le CSS et le JS par [Pedro H. P. Braga](mailto:).

Voir [here and below](https://github.com/QCBSRworkshops/templateWorkshops/graphs/contributors) pour trouver tous les contributeurs et développeurs de ce template.
]


.footnote[.center[[This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License. ![License: CC BY-SA 4.0](https://img.shields.io/badge/License-CC%20BY--SA%204.0-lightgrey.svg)](https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.fr)]]
---
class: inverse, center, bottom

# Merci pour votre implication!

&lt;hr&gt;

![:scale 50%](images/qcbs_logo.png)

&lt;br&gt;
    </textarea>
<style data-target="print-only">@media screen {.remark-slide-container{display:block;}.remark-slide-scaler{box-shadow:none;}}</style>
<script src="https://remarkjs.com/downloads/remark-latest.min.js"></script>
<script src="qcbsR-macros.js"></script>
<script>var slideshow = remark.create({
"ratio": "4:3",
"highlightStyle": "github",
"highlightLines": true,
"countIncrementalSlides": false
});
if (window.HTMLWidgets) slideshow.on('afterShowSlide', function (slide) {
  window.dispatchEvent(new Event('resize'));
});
(function(d) {
  var s = d.createElement("style"), r = d.querySelector(".remark-slide-scaler");
  if (!r) return;
  s.type = "text/css"; s.innerHTML = "@page {size: " + r.style.width + " " + r.style.height +"; }";
  d.head.appendChild(s);
})(document);

(function(d) {
  var el = d.getElementsByClassName("remark-slides-area");
  if (!el) return;
  var slide, slides = slideshow.getSlides(), els = el[0].children;
  for (var i = 1; i < slides.length; i++) {
    slide = slides[i];
    if (slide.properties.continued === "true" || slide.properties.count === "false") {
      els[i - 1].className += ' has-continuation';
    }
  }
  var s = d.createElement("style");
  s.type = "text/css"; s.innerHTML = "@media print { .has-continuation { display: none; } }";
  d.head.appendChild(s);
})(document);
// delete the temporary CSS (for displaying all slides initially) when the user
// starts to view slides
(function() {
  var deleted = false;
  slideshow.on('beforeShowSlide', function(slide) {
    if (deleted) return;
    var sheets = document.styleSheets, node;
    for (var i = 0; i < sheets.length; i++) {
      node = sheets[i].ownerNode;
      if (node.dataset["target"] !== "print-only") continue;
      node.parentNode.removeChild(node);
    }
    deleted = true;
  });
})();
(function() {
  "use strict"
  // Replace <script> tags in slides area to make them executable
  var scripts = document.querySelectorAll(
    '.remark-slides-area .remark-slide-container script'
  );
  if (!scripts.length) return;
  for (var i = 0; i < scripts.length; i++) {
    var s = document.createElement('script');
    var code = document.createTextNode(scripts[i].textContent);
    s.appendChild(code);
    var scriptAttrs = scripts[i].attributes;
    for (var j = 0; j < scriptAttrs.length; j++) {
      s.setAttribute(scriptAttrs[j].name, scriptAttrs[j].value);
    }
    scripts[i].parentElement.replaceChild(s, scripts[i]);
  }
})();
(function() {
  var links = document.getElementsByTagName('a');
  for (var i = 0; i < links.length; i++) {
    if (/^(https?:)?\/\//.test(links[i].getAttribute('href'))) {
      links[i].target = '_blank';
    }
  }
})();
// adds .remark-code-has-line-highlighted class to <pre> parent elements
// of code chunks containing highlighted lines with class .remark-code-line-highlighted
(function(d) {
  const hlines = d.querySelectorAll('.remark-code-line-highlighted');
  const preParents = [];
  const findPreParent = function(line, p = 0) {
    if (p > 1) return null; // traverse up no further than grandparent
    const el = line.parentElement;
    return el.tagName === "PRE" ? el : findPreParent(el, ++p);
  };

  for (let line of hlines) {
    let pre = findPreParent(line);
    if (pre && !preParents.includes(pre)) preParents.push(pre);
  }
  preParents.forEach(p => p.classList.add("remark-code-has-line-highlighted"));
})(document);</script>

<script>
slideshow._releaseMath = function(el) {
  var i, text, code, codes = el.getElementsByTagName('code');
  for (i = 0; i < codes.length;) {
    code = codes[i];
    if (code.parentNode.tagName !== 'PRE' && code.childElementCount === 0) {
      text = code.textContent;
      if (/^\\\((.|\s)+\\\)$/.test(text) || /^\\\[(.|\s)+\\\]$/.test(text) ||
          /^\$\$(.|\s)+\$\$$/.test(text) ||
          /^\\begin\{([^}]+)\}(.|\s)+\\end\{[^}]+\}$/.test(text)) {
        code.outerHTML = code.innerHTML;  // remove <code></code>
        continue;
      }
    }
    i++;
  }
};
slideshow._releaseMath(document);
</script>
<!-- dynamically load mathjax for compatibility with self-contained -->
<script>
(function () {
  var script = document.createElement('script');
  script.type = 'text/javascript';
  script.src  = 'https://mathjax.rstudio.com/latest/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML';
  if (location.protocol !== 'file:' && /^https?:/.test(script.src))
    script.src  = script.src.replace(/^https?:/, '');
  document.getElementsByTagName('head')[0].appendChild(script);
})();
</script>
  </body>
</html>