Построение и программная реализация алгоритма сплайн-интерполяции табличных функций Полное условие задания можно найти здесь .
Понятные лекции с материалом по теме — здесь .
Примерные вопросы при защите лабораторной работы:
Получить выражения для коэффициентов кубического сплайна, построенного на двух точках.
Кубический сплайн вида
$\psi(x) = a_i + b_i(x - x_{i - 1}) + c_i(x - x_{i - 1})^2 + d_i(x - x_{i - 1})^3$ ,
построенный на двух точках, будет иметь следующие коэффициенты:
$a = y_0;$
$b = \frac {(y_1 - y_0)} {(x_1 - x_0)} \cdot (x - x_0);$
$c = 0;$
$d = 0.$
Выписать все условия для определения коэффициентов сплайна, построенного на 3-х точках.
Кубический сплайн вида
$\psi(x) = a_i + b_i(x - x_{i - 1}) + c_i(x - x_{i - 1})^2 + d_i(x - x_{i - 1})^3$ ,
построенный на трех точках, будет иметь следующие коэффициенты:
$a_1 = y_0;$
$b_1 = \frac {(y_1 - y_0)} {(x_1 - x_0)} - (x_1 - x_0) \cdot \frac {с_2} 3;$
$c_1 = 0;$
$d_1 = \frac {c_2} {3(x_1 - x_0)};$
$a_2 = y_1;$
$b_2 = \frac {(y_2 - y_1)} {(x_2 - x_1)} - (x_2 - x_1) \cdot \frac {2с_2} 3;$
$c_2 = \frac {fi} {2(x_1 -x_0 + x_2 - x_1)}, где fi = 3(\frac {y_2 - y_1} {x_2 - x_1} - \frac {y_1 - y_0} {x_1 - x_0} );$
$d_2 = \frac {-c_2} {3(x_1 - x_0)}.$
Определить начальные значения прогоночных коэффициентов, если принять, что для коэффициентов сплайна справедливо $C_1=C_2$ .
Если $C_1=C_2$ , то в формуле $c_i = \xi_{i + 1} c_{i + 1} + \eta_{i +1}$ , приняв $i = 1$ , можно заменить $c_i$ на $c_{i + 1}$ . Получим $\xi = 1$ , $\eta = 0$ .
Где минимальная точность у сплайна? Почему?
На концах сплайна, потому что там мы искуственно приравниваем производные к нулю, чтобы хватило уравнений для построения полинома 3 степени.
Можно ли построить сплайн по двум точкам?
Можно, это будет прямая.
Есть три точки. Сколько нужно условий для построения сплайна?
8 условий — $a_1, b_1, c_1, d_1, a_2, b_2, c_2, d_2$ , описаны выше.