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nash_equilibrium.Rmd
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title: The Game of Priest and Klein
# to produce blinded version set to 1
blinded: 0
authors:
- name: Fernando Correa
thanks: The authors gratefully acknowledge the support of the Brazilian Jurimetrics Association for the support of this research.
affiliation: Department of Statistics, University of São Paulo
- name: Julio Trecenti
affiliation: Department of Statistics, University of São Paulo
- name: Milene Farhat
affiliation: Department of Statistics, University of São Paulo
keywords:
- jurimetrics, selection, litigation
abstract: |
The results obtained by Priest and Klein on 1984 may be interpreted as a game of two players.
bibliography: bibliography.bib
output: rticles::asa_article
---
```{r setup, include=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)
```
# A omissão de Priest & Klein
A condição LPG para o litígio define que a acusação e a defesa litigam apenas no caso em que as suas expectativas sobre o ganho são diferentes. Isso pressupõe que existe um canal de negociação entre as duas partes.
É possível definir esse jogo de tal forma que a condição LPG defina a existência de um equilíbro em que há litígio.
## O jogo
A negociação anterior ao eventual litígio pode ser modelada como um jogo jogado da seguinte forma:
1. A acusação apresenta à defesa uma certa proposta $v$.
2. A defesa aceita (escolhe $d=1$) ou rejeita (escolhe $d=0$) a proposta $v$.
3. Se $d=1$, a acusação inicia um litígio.
Nesse contexto, a função de utilidade da acusação é dada por
$$U_p = d(v-s_p) + (1-d)\mathbb{I}(y_p < y^*)(J-c_p).$$
A função de utilidade da defesa analogamente é dada por
$$U_d = -d(v+s_d)-(1-d)\mathbb{I}(y_d < y^*)(J+c_d)$$
As utilidades esperada, então, são dadas por:
$$\mathbb{E}[U_p] = d(v-s_p) + (1-d)q_p(J-c_p)$$
$$\mathbb{E}[U_d] = -d(v+s_d) - (1-d)q_p(J+c_d)$$
## O equilíbrio de Nash
Pode-se visualizar as utilidades esperadas em função de $v$ e de $d$ em um gráfico como este abaixo.
```{r, echo = FALSE, warning = FALSE, comment = FALSE, error = FALSE}
library(tidyverse)
s_p = 1
s_d = 2.3
c_p = 1.9
c_d = 2.1
q_p = 0.5
q_d = 0.5
J = 5
utilidade_p <- function(v, d){
d*(v-s_p) + (1-d)*q_p*(J - c_p)
}
utilidade_d <- function(v, d){
(-d)*(v+s_d) - (1-d)*q_d*(J+c_d)
}
nome_grafico <- sprintf("s_p = %s, s_d = %s, c_p = %s, c_d = %s, J = %s, q_p = q_d = %s", s_p, s_d, c_p, c_d, J, q_p)
v = rep(seq(0, 3, by = 0.5), 2)
d = rep(c(0,1), length(v)/2)
d <- tibble(v, d) %>%
mutate(up = utilidade_p(v, d),
ud = utilidade_d(v, d))
d %>%
gather(utilidade, valor, up, ud) %>%
mutate(d = factor(d)) %>%
ggplot(aes(x = v, y = valor,
colour = utilidade, linetype = d)) +
geom_line() +
theme_minimal() +
scale_x_continuous(breaks = c(0, q_d*(J + c_d) - s_d, q_p*(J-c_p)+s_p, 3),
labels = c('0', 'q_p(J + c_p)-s_d', 'q_d(J-c_d)+s_p', '3')) +
scale_y_continuous(breaks = c(q_p*(J-c_p), -q_d*(J+c_d)),
labels = c('q_d(J + c_d)', 'q_p(J-c_p)')) +
ggtitle(nome_grafico)
```
Por essa visualização, identifica-se que, se $q_p(J+c_p)-s_d < q_d(J-c_d)+s_p$, então o equilíbrio de Nash do jogo é $d = 0, v = q_p(J+c_p)-s_d$. Se $q_p(J+c_p)-s_d > q_d(J-c_d)+s_p$, então o equilíbrio de Nash do jogo é $d = 1, v = q_d(J-c_d)+s_p$.