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一文看懂《最大子序列和问题》

最大子序列和是一道经典的算法题， leetcode 也有原题《53.maximum-sum-subarray》，今天我们就来彻底攻克它。

题目描述

求取数组中最大连续子序列和，例如给定数组为 A = [1， 3， -2， 4， -5]， 则最大连续子序列和为 6，即 1 + 3 +（-2）+ 4 = 6。 去

首先我们来明确一下题意。

  • 题目说的子数组是连续的
  • 题目只需要求和，不需要返回子数组的具体位置。
  • 数组中的元素是整数，但是可能是正数，负数和 0。
  • 子序列的最小长度为 1。

比如：

  • 对于数组 [1, -2, 3, 5, -3, 2], 应该返回 3 + 5 = 8
  • 对于数组 [0, -2, 3, 5, -1, 2], 应该返回 3 + 5 + -1 + 2 = 9
  • 对于数组 [-9, -2, -3, -5, -3], 应该返回 -2

解法一 - 暴力法（超时法）

一般情况下，先从暴力解分析，然后再进行一步步的优化。

思路

我们来试下最直接的方法，就是计算所有的子序列的和，然后取出最大值。 记 Sum[i,....,j]为数组 A 中第 i 个元素到第 j 个元素的和，其中 0 <= i <= j < n， 遍历所有可能的 Sum[i,....,j] 即可。

我们去枚举以 0,1,2...n-1 开头的所有子序列即可， 对于每一个开头的子序列，我们都去枚举从当前开始到 n-1 的所有情况。

这种做法的时间复杂度为 O(N^2), 空间复杂度为 O(1)。

代码

JavaScript:

function LSS(list) {
  const len = list.length;
  let max = -Number.MAX_VALUE;
  let sum = 0;
  for (let i = 0; i < len; i++) {
    sum = 0;
    for (let j = i; j < len; j++) {
      sum += list[j];
      if (sum > max) {
        max = sum;
      }
    }
  }

  return max;
}

Java：

class MaximumSubarrayPrefixSum {
  public int maxSubArray(int[] nums) {
      int len = nums.length;
      int maxSum = Integer.MIN_VALUE;
      int sum = 0;
      for (int i = 0; i < len; i++) {
        sum = 0;
        for (int j = i; j < len; j++) {
          sum += nums[j];
          maxSum = Math.max(maxSum, sum);
        }
      }
      return maxSum;
  }
}

Python 3:

import sys
class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        maxSum = -sys.maxsize
        sum = 0
        for i in range(n):
            sum = 0
            for j in range(i, n):
                sum += nums[j]
                maxSum = max(maxSum, sum)

        return maxSum

空间复杂度非常理想，但是时间复杂度有点高。怎么优化呢？我们来看下下一个解法。

解法二 - 分治法

思路

我们来分析一下这个问题， 我们先把数组平均分成左右两部分。

此时有三种情况：

  • 最大子序列全部在数组左部分
  • 最大子序列全部在数组右部分
  • 最大子序列横跨左右数组

对于前两种情况，我们相当于将原问题转化为了规模更小的同样问题。

对于第三种情况，由于已知循环的起点（即中点），我们只需要进行一次循环，分别找出 左边和右边的最大子序列即可。

所以一个思路就是我们每次都对数组分成左右两部分，然后分别计算上面三种情况的最大子序列和， 取出最大的即可。

举例说明，如下图：

(by snowan)

这种做法的时间复杂度为 O(N*logN), 空间复杂度为 O(1)。

代码

JavaScript:

function helper(list, m, n) {
  if (m === n) return list[m];
  let sum = 0;
  let lmax = -Number.MAX_VALUE;
  let rmax = -Number.MAX_VALUE;
  const mid = ((n - m) >> 1) + m;
  const l = helper(list, m, mid);
  const r = helper(list, mid + 1, n);
  for (let i = mid; i >= m; i--) {
    sum += list[i];
    if (sum > lmax) lmax = sum;
  }

  sum = 0;

  for (let i = mid + 1; i <= n; i++) {
    sum += list[i];
    if (sum > rmax) rmax = sum;
  }

  return Math.max(l, r, lmax + rmax);
}

function LSS(list) {
  return helper(list, 0, list.length - 1);
}

Java:

class MaximumSubarrayDivideConquer {
  public int maxSubArrayDividConquer(int[] nums) {
      if (nums == null || nums.length == 0) return 0;
      return helper(nums, 0, nums.length - 1);
    }
    private int helper(int[] nums, int l, int r) {
      if (l > r) return Integer.MIN_VALUE;
      int mid = (l + r) >>> 1;
      int left = helper(nums, l, mid - 1);
      int right = helper(nums, mid + 1, r);
      int leftMaxSum = 0;
      int sum = 0;
      // left surfix maxSum start from index mid - 1 to l
      for (int i = mid - 1; i >= l; i--) {
        sum += nums[i];
        leftMaxSum = Math.max(leftMaxSum, sum);
      }
      int rightMaxSum = 0;
      sum = 0;
      // right prefix maxSum start from index mid + 1 to r
      for (int i = mid + 1; i <= r; i++) {
        sum += nums[i];
        rightMaxSum = Math.max(sum, rightMaxSum);
      }
      // max(left, right, crossSum)
      return Math.max(leftMaxSum + rightMaxSum + nums[mid], Math.max(left, right));
    }
}

Python 3 :

import sys
class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
        return self.helper(nums, 0, len(nums) - 1)
    def helper(self, nums, l, r):
        if l > r:
            return -sys.maxsize
        mid = (l + r) // 2
        left = self.helper(nums, l, mid - 1)
        right = self.helper(nums, mid + 1, r)
        left_suffix_max_sum = right_prefix_max_sum = 0
        sum = 0
        for i in reversed(range(l, mid)):
            sum += nums[i]
            left_suffix_max_sum = max(left_suffix_max_sum, sum)
        sum = 0
        for i in range(mid + 1, r + 1):
            sum += nums[i]
            right_prefix_max_sum = max(right_prefix_max_sum, sum)
        cross_max_sum = left_suffix_max_sum + right_prefix_max_sum + nums[mid]
        return max(cross_max_sum, left, right)

解法三 - 动态规划

思路

我们来思考一下这个问题， 看能不能将其拆解为规模更小的同样问题，并且能找出 递推关系。

我们不妨假设问题 Q(list, i) 表示 list 中以索引 i 结尾的情况下最大子序列和， 那么原问题就转化为 Q(list, i), 其中 i = 0,1,2...n-1 中的最大值。

我们继续来看下递归关系，即 Q(list, i)和 Q(list, i - 1)的关系， 即如何根据 Q(list, i - 1) 推导出 Q(list, i)。

如果已知 Q(list, i - 1)， 我们可以将问题分为两种情况，即以索引为 i 的元素终止， 或者只有一个索引为 i 的元素。

  • 如果以索引为 i 的元素终止， 那么就是 Q(list, i - 1) + list[i]
  • 如果只有一个索引为 i 的元素，那么就是 list[i]

分析到这里，递推关系就很明朗了，即Q(list, i) = Math.max(0, Q(list, i - 1)) + list[i]

举例说明，如下图：

53.maximum-sum-subarray-dp.png (by snowan)

这种算法的时间复杂度 O(N), 空间复杂度为 O(1)

代码

JavaScript:

function LSS(list) {
  const len = list.length;
  let max = list[0];
  for (let i = 1; i < len; i++) {
    list[i] = Math.max(0, list[i - 1]) + list[i];
    if (list[i] > max) max = list[i];
  }

  return max;
}

Java:

class MaximumSubarrayDP {
  public int maxSubArray(int[] nums) {
     int currMaxSum = nums[0];
     int maxSum = nums[0];
     for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
       currMaxSum = Math.max(currMaxSum + nums[i], nums[i]);
       maxSum = Math.max(maxSum, currMaxSum);
     }
     return maxSum;
  }
}

Python 3:

class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        max_sum_ending_curr_index = max_sum = nums[0]
        for i in range(1, n):
            max_sum_ending_curr_index = max(max_sum_ending_curr_index + nums[i], nums[i])
            max_sum = max(max_sum_ending_curr_index, max_sum)

        return max_sum

解法四 - 数学分析

思路

我们来通过数学分析来看一下这个题目。

我们定义函数 S(i) ，它的功能是计算以 0（包括 0）开始加到 i（包括 i）的值。

那么 S(j) - S(i - 1) 就等于 从 i 开始（包括 i）加到 j（包括 j）的值。

我们进一步分析，实际上我们只需要遍历一次计算出所有的 S(i), 其中 i 等于 0,1,2....,n-1。 然后我们再减去之前的 S(k),其中 k 等于 0，1，i - 1，中的最小值即可。 因此我们需要 用一个变量来维护这个最小值，还需要一个变量维护最大值。

这种算法的时间复杂度 O(N), 空间复杂度为 O(1)。

其实很多题目，都有这样的思想， 比如之前的《每日一题 - 电梯问题》。

代码

JavaScript:

function LSS(list) {
  const len = list.length;
  let max = list[0];
  let min = 0;
  let sum = 0;
  for (let i = 0; i < len; i++) {
    sum += list[i];
    if (sum - min > max) max = sum - min;
    if (sum < min) {
      min = sum;
    }
  }

  return max;
}

Java:

class MaxSumSubarray {
  public int maxSubArray3(int[] nums) {
      int maxSum = nums[0];
      int sum = 0;
      int minSum = 0;
      for (int num : nums) {
        // prefix Sum
        sum += num;
        // update maxSum
        maxSum = Math.max(maxSum, sum - minSum);
        // update minSum
        minSum = Math.min(minSum, sum);
      }
      return maxSum;
  }
}

Python 3:

class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        maxSum = nums[0]
        minSum = sum = 0
        for i in range(n):
            sum += nums[i]
            maxSum = max(maxSum, sum - minSum)
            minSum = min(minSum, sum)

        return maxSum

总结

我们使用四种方法解决了《最大子序列和问题》, 并详细分析了各个解法的思路以及复杂度，相信下次你碰到相同或者类似的问题 的时候也能够发散思维，做到一题多解，多题一解。

实际上，我们只是求出了最大的和，如果题目进一步要求出最大子序列和的子序列呢？ 如果要题目允许不连续呢？ 我们又该如何思考和变通？如何将数组改成二维，求解最大矩阵和怎么计算？ 这些问题留给读者自己来思考。