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单调栈

顾名思义， 单调栈是一种栈。因此要学单调栈，首先要彻底搞懂栈。

栈是什么？

栈是一种受限的数据结构， 体现在只允许新的内容从一个方向插入或删除，这个方向我们叫栈顶，而从其他位置获取内容是不被允许的

栈最显著的特征就是 LIFO(Last In, First Out - 后进先出)

举个例子：

栈就像是一个放书本的抽屉，进栈的操作就好比是想抽屉里放一本书，新进去的书永远在最上层，而退栈则相当于从里往外拿书本，永远是从最上层开始拿，所以拿出来的永远是最后进去的哪一个

栈的常用操作

  1. 进栈 - push - 将元素放置到栈顶
  2. 退栈 - pop - 将栈顶元素弹出
  3. 栈顶 - top - 得到栈顶元素的值
  4. 是否空栈 - isEmpty - 判断栈内是否有元素

栈的常用操作时间复杂度

由于栈只在尾部操作就行了，我们用数组进行模拟的话，可以很容易达到 O(1)的时间复杂度。当然也可以用链表实现，即链式栈。

  1. 进栈 - O(1)
  2. 出栈 - O(1)

应用

  • 函数调用栈
  • 浏览器前进后退
  • 匹配括号
  • 单调栈用来寻找下一个更大（更小）元素

题目推荐

单调栈又是什么？

单调栈是一种特殊的栈。栈本来就是一种受限的数据结构了，单调栈在此基础上又受限了一次（受限++）。

单调栈要求栈中的元素是单调递增的或者单调递减的。

是否严格递增或递减可以根据实际情况来。

这里我用 [a,b,c] 表示一个栈。 其中 左侧为栈底，右侧为栈顶。单调增还是单调减取决于出栈顺序。如果出栈的元素是单调增的，那就是单调递增栈，如果出栈的元素是单调减的，那就是单调递减栈。

比如：

  • [1,2,3,4] 就是一个单调递减栈（因为此时的出栈顺序是 4，3，2，1。下同，不再赘述）
  • [3,2,1] 就是一个单调递增栈
  • [1,3,2] 就不是一个合法的单调栈

那这个限制有什么用呢？这个限制（特性）能够解决什么用的问题呢？

适用场景

单调栈适合的题目是求解下一个大于 xxx或者下一个小于 xxx这种题目。所有当你有这种需求的时候，就应该想到单调栈。

那么为什么单调栈适合求解下一个大于 xxx或者下一个小于 xxx这种题目？原因很简单，我这里通过一个例子给大家讲解一下。

这里举的例子是单调递减栈

比如我们需要依次将数组 [1,3,4,5,2,9,6] 压入单调栈。

  1. 首先压入 1，此时的栈为：[1]
  2. 继续压入 3，此时的栈为：[1,3]
  3. 继续压入 4，此时的栈为：[1,3,4]
  4. 继续压入 5，此时的栈为：[1,3,4,5]
  5. 如果继续压入 2，此时的栈为：[1,3,4,5,2] 不满足单调递减栈的特性， 因此需要调整。如何调整？由于栈只有 pop 操作，因此我们只好不断 pop，直到满足单调递减为止。
  6. 上面其实我们并没有压入 2，而是先 pop，pop 到压入 2 依然可以保持单调递减再 压入 2，此时的栈为：[1,2]
  7. 继续压入 9，此时的栈为：[1,2,9]
  8. 如果继续压入 6，则不满足单调递减栈的特性， 我们故技重施，不断 pop，直到满足单调递减为止。此时的栈为：[1,2,6]

注意这里的栈仍然是非空的，如果有的题目需要用到所有数组的信息，那么很有可能因没有考虑边界而不能通过所有的测试用例。 这里介绍一个技巧 - 哨兵法，这个技巧经常用在单调栈的算法中。

对于上面的例子，我可以在原数组 [1,3,4,5,2,9,6] 的右侧添加一个小于数组中最小值的项即可，比如 -1。此时的数组是 [1,3,4,5,2,9,6,-1]。这种技巧可以简化代码逻辑，大家尽量掌握。

上面的例子如果你明白了，就不难理解为啥单调栈适合求解下一个大于 xxx或者下一个小于 xxx这种题目了。比如上面的例子，我们就可以很容易地求出在其之后第一个小于其本身的位置。比如 3 的索引是 1，小于 3 的第一个索引是 4，2 的索引 4，小于 2 的第一个索引是 0，但是其在 2 的索引 4 之后，因此不符合条件，也就是不存在在 2 之后第一个小于 2 本身的位置。

上面的例子，我们在第 6 步开始 pop，第一个被 pop 出来的是 5，因此 5 之后的第一个小于 5 的索引就是 4。同理被 pop 出来的 3，4，5 也都是 4。

如果用 ans 来表示在其之后第一个小于其本身的位置，ans[i] 表示 arr[i] 之后第一个小于 arr[i] 的位置， ans[i] 为 -1 表示这样的位置不存在，比如前文提到的 2。那么此时的 ans 是 [-1,4,4,4,-1,-1,-1]。

第 8 步，我们又开始 pop 了。此时 pop 出来的是 9，因此 9 之后第一个小于 9 的索引就是 6。

这个算法的过程用一句话总结就是，如果压栈之后仍然可以保持单调性，那么直接压。否则先弹出栈的元素，直到压入之后可以保持单调性。 这个算法的原理用一句话总结就是，被弹出的元素都是大于当前元素的，并且由于栈是单调增的，因此在其之后小于其本身的最近的就是当前元素了

下面给大家推荐几道题，大家趁着知识还在脑子来，赶紧去刷一下吧~

伪代码

上面的算法可以用如下的伪代码表示，同时这是一个通用的算法模板，大家遇到单调栈的题目可以直接套。

建议大家用自己熟悉的编程语言实现一遍，以后改改符号基本就能用。

class Solution:
    def monostoneStack(self, arr: List[int]) -> List[int]:
        stack = []
        ans = 定义一个长度和 arr 一样长的数组，并初始化为 -1
        循环 i in  arr:
            while stack and arr[i] > arr[栈顶元素]:
                peek = 弹出栈顶元素
                ans[peek] = i - peek
            stack.append(i)
        return ans

复杂度分析

  • 时间复杂度：由于 arr 的元素最多只会入栈，出栈一次，因此时间复杂度仍然是 $O(N)$，其中 N 为数组长度。
  • 空间复杂度：由于使用了栈， 并且栈的长度最大是和 arr 长度一致，因此空间复杂度是 $O(N)$，其中 N 为数组长度。

代码

这里提高两种编程语言的单调栈模板供大家参考。

Python3：

class Solution:
    def monostoneStack(self, T: List[int]) -> List[int]:
        stack = []
        ans = [0] * len(T)
        for i in range(len(T)):
            while stack and T[i] > T[stack[-1]]:
                peek = stack.pop(-1)
                ans[peek] = i - peek
            stack.append(i)
        return ans

JS:

var monostoneStack = function (T) {
  let stack = [];
  let result = [];
  for (let i = 0; i < T.length; i++) {
    result[i] = 0;
    while (stack.length > 0 && T[stack[stack.length - 1]] < T[i]) {
      let peek = stack.pop();
      result[peek] = i - peek;
    }
    stack.push(i);
  }
  return result;
};

题目推荐

下面几个题帮助你理解单调栈， 并让你明白什么时候可以用单调栈进行算法优化。

总结

单调栈本质就是栈， 栈本身就是一种受限的数据结构。其受限指的是只能在一端进行操作。而单调栈在栈的基础上进一步受限，即要求栈中的元素始终保持单调性。

由于栈中都是单调的，因此其天生适合解决在其之后第一个小于其本身的位置的题目。大家如果遇到题目需要找在其之后第一个小于其本身的位置的题目，就可是考虑使用单调栈。

单调栈的写法相对比较固定，大家可以自己参考我的伪代码自己总结一份模板，以后直接套用可以大大提高做题效率和容错率。