Initial release

examene/2018.md

@@ -0,0 +1,31 @@
+### Exercitiul 1
+In spatiul vectorial $M_2(\mathbb{R})$ consideram matricile:
+
+$A_1 = \begin{pmatrix}1&2\\4&-1\end{pmatrix}, A_2 = \begin{pmatrix}2&-1\\1&1\end{pmatrix}, A_3 = \begin{pmatrix}-9&17\\13&-12\end{pmatrix}$ si $A_4 = \begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$
+
+a) Sunt acestea liniar independente? Argumentati.<br>
+b) Determinati o baza in subspatiul $U$ generat de $A_1, A_2, A_3$ si $A_4$<br>
+c) Scrieti ecuatiile subspatiului $U^\bot$
+
+### Exercitiul 2
+Fie $V$ un subspatiu vectorial si $U_1, U_2, U_3 \subseteq V$ astfel incat: 
+ - $U_1 \cap U_2 = U_1 \cap U_3$
+ - $U_2 \cap U_3 = U_2$
+ - $U_1 + U_2 = U_1 + U_3$
+
+Aratati ca $U_2 = U_3$
+
+### Exercitiul 3
+Fie aplicatia liniara $f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3$ data prin:
+
+$[f]_{R_0, R_0} = \begin{pmatrix}-9&-6&2\\20&13&-4\\20&12&-3\end{pmatrix}$
+
+a) Determinati valorile si vectorii proprii pentru $f$<br>
+b) Este f diagonalizabila? Daca da, gasiti o baza in care $f$ are forma diagonala. Argumentati.<br>
+c) Determinati valorile proprii ale lui $f^{2015} = f \circ f \circ f ... $ de 2015 ori $...\circ f$
+
+### Exercitiul 4
+Fie forma patratica $Q:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}$ avand in baza canonica forma $Q(x) = 4x_1^2 - 12x_3^2 - 4x_1x_2 + 4x_1x_3 - 8x_2x_3$
+
+a) Gasiti o forma canonica pentru $Q$<br>
+b) Stabiliti daca $Q$ este pozitiv definita.

examene/2019-restanta.md

@@ -0,0 +1,31 @@
+### Exercitiul 1
+a) Consideram $tr:M_n(\mathbb{R})\rightarrow\mathbb{R}$, definita prin $tr(A) = \displaystyle\sum_{i=1}^n a_{ii}$. Sa se demonstreze ca aplicatia $tr$ este o aplicatie liniara si surjectiva.<br>
+b) Fie $(V, <>)$ un spatiu euclidian si $v\in V$ un vector nenul. Sa se demonstreze ca $s_v:V\rightarrow V$ prin formula $s_v(x) = x - {{<x,v>}\over{<v,v>}}v$ este o transformare liniara. Sa se arate ca $s_v(v) = -v$ si $s_v(x) = x$ pentru orice $x\in V, x\bot v$.
+
+### Exercitiul 2
+Pentru fiecare $n \ge 2$ consideram matricea $A_n \in M_n(\mathbb{R})$ pentru care elementele de pe pozitia $(i, i)$ sunt egale cu $i=-1$ si toate celelalte elemente ale matricei sunt egale cu 1. Notam cu $\Delta_n = det(A_n)$.
+
+a) Sa se calculeze $\Delta_2, \Delta_3$ si $\Delta_4$.<br>
+b) Sa se arate ca $\Delta_n = -(n-2)!$ pentru orice $n \ge 3$.<br>
+c) Sa se arate ca $A_3$ este inversabila si sa se calculeze inversa acestuia.
+
+### Exercitiul 3
+Consideram transformarea liniara $f:\mathbb{R}^4\rightarrow\mathbb{R}^4$, data prin $f(v) = A\cdot v, \forall v\in\mathbb{R}^4$, unde<br>
+
+$A = \begin{pmatrix}1&-1&0&0\\0&1&-1&0\\0&0&1&0\\-1&0&0&1\end{pmatrix}$
+
+a) Sa se gaseasca forma esalon a matricei $A$.<br>
+b) Fie $L=\{v\in\mathbb{R}^4 | Av = 0\}$. Sa se gaseasca $dim(L)$ si o baza pentru spatiul $L$.<br>
+c) Descrieti complementul ortogonal $L^\bot$ si gasiti o baza si apoi o baza ortogonala a acestuia.
+
+### Exercitiul 4
+a) Fie forma patratica $Q:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}$,<br>
+$Q(x_1,x_2,x_3) = (\alpha+2)x_2^2 + (\alpha+1)x_3^2 - 2x_1x_2 + 2x_1x_3 - 2x_2x_3$. Pentru ce valori ale lui $\alpha$ forma $Q$ este pozitiv definita?<br>
+b) Consideram forma patratica $Q(x_1,x_2,x_3) = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 2x_1x_2 - 2x_1x_3 -2x_2x_3$. Aduceti $Q$ la forma canonica folosind transformari ortogonale (gasiti matricea rotatiei care realizeaza transformarea formei patratice $Q$ la forma canonica).
+
+### Exercitiul 5
+Se considera ecuatia $2x^2 - 2xy + 2y^2 - 2x - 2y + 2 = 0$.
+
+a) Folosind invariantii metrici sa se determine natura conicei.<br>
+b) Sa se aduca conica la forma canonica.<br>
+c) Sa se reprezinte grafic conica.

examene/2019.md

@@ -0,0 +1,26 @@
+### Exercitiul 1
+a) Consideram $(V, <>)$ un spatiu euclidian peste corpul $\mathbb{R}$ si $U \subset V$ un subspatiu al sau. Definim $U^\bot = \{v \in V | <v, w> = 0, \forall w \in U\}$. Sa se determine ca $U^\bot$ este subspatiu vectorial al lui $V$.<br>
+b) Sa se arate ca nu exista $A, B \in M_n(\mathbb{R})$ astfel incat $AB-BA = I_n$, unde $I_n$ este matricea identitate.<br>
+c) Sa se calculeze $A^n$ unde $A=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\in M_2(\mathbb{R})$
+
+### Exercitiul 2
+Fie $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$. Pentru fiecare $n \ge 2$ consideram matricea $A_n(\alpha, \beta)\in M_n(\mathbb{R})$ in care elementele de pe diagonala princiapala sunt egale cu 1. Elementele de pe pozitiile $(1,2), (2,3), ...(n-1, n)$ sunt egale cu $\alpha$, elementele de pe pozitiile $(2,1), (3,2),...(n, n-1)$ sunt egale cu $\beta$. Celelalte elemente ale matricii sunt 0. $A_1(\alpha, \beta) = 1 \in M_1(\mathbb{R}) = \mathbb{R}$. Notam $\Delta_n(\alpha, \beta) = \Delta_n = det(A_n(\alpha, \beta))$.
+
+a) Sa se calculeze $\Delta_2, \Delta_3$ si $\Delta_4$<br>
+b) Sa se arate ca $\Delta_n = \Delta_{n-1} - \alpha \beta \Delta_{n-2}$<br>
+c) Sa se afle inversa matricii $A_3(1,1)$
+
+### Exercitiul 3
+Consideram transformarea liniara $f:\mathbb{R}^4\rightarrow\mathbb{R}^3, f\begin{pmatrix}x\\y\\z\\t\end{pmatrix} = A\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\\t\end{pmatrix}$, unde $A = \begin{pmatrix}1&2&2&4\\3&1&6&2\\4&5&8&10\end{pmatrix}$
+
+a) Sa se gaseasca $dim(Ker(f))$ si $dim(Im(f))$.<br>
+b) Sa se gaseasca o baza atat pentru $Ker(f)$ cat si pentru complementul ortogonal al acestuia, $Ker(f)^\bot$, in $\mathbb{R}^4$.<br>
+c) Sa se gaseasca o baza pentru $Im(f)$. Argumentati daca vectorul $v=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\in Im(f)$?
+
+### Exercitiul 4
+Fie forma patratica $Q:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}$, <br>
+$Q(x_1,x_2,x_3) = (\alpha-2)x_1^2 + (\alpha-2)x_2^2 + (\alpha+1)x_3^2 - 2x_1x_2 + 4x_1x_3 - 4 x_2x_3$
+
+a) Pentru ce valori ale lui $\alpha$ forma $Q$ este pozitiv definita?<br>
+b) Pentru $\alpha = 3$ aduceti $Q$ la forma canonica folosind transformari ortogonale (gasiti matricea rotatiei care realizeaza transformarea formei patratice $Q$ la forma canonica).<br>
+c) Consideram forma $Q$ de la punctul anterior. Ce cuadrica reprezinta $Q(x_1, x_2, x_3) = 0$

examene/2022.md

@@ -0,0 +1,27 @@
+### Exercitiul 1
+Fie $(\mathbb{R}_2[X], +, \times)$ si $S=\{x+1, x^2-2x+3, x^2-x+4\}$. Sa se extraga $S'\subset S$ un SLI maximal si sa se extinda la o baza.
+
+### Exercitiul 2
+Fie $f\in End(\mathbb{R}^3)$ si $[f]_{R_0, R_0} = A = \begin{pmatrix}-3&10&0\\-2&6&0\\0&0&3\\\end{pmatrix}$.
+
+a) Determinati $Ker f$, $Im f$<br>
+b) Aflati valorile proprii si subspatiile proprii<br>
+c) Calculati $A^n$
+
+### Exercitiul 3
+Fie $(\mathbb{R}^3, g_0)$ spatiu vectorial euclidian canonic.<br>
+$U = \{x\in\mathbb{R}^3 | \begin{cases}x_1-x_2+x_3=0\\x_1+x_2+3x_3=0\end{cases}\}$<br>
+a) Determinati $U^\bot$. Precizati cate un reper ortonormat in $U$ si $U^{\bot^2}$<br>
+b) Fie $p:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3$ proiectia ortogonala pe $U$. Calculati $p(1,2,-3)$
+
+### Exercitiul 4
+Fie $Q:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}$, $Q(x) = x_1^2 + 2x_2^2 - x_3^2 + 2x_1x_2 + x_2x_3 + 2x_3x_1$.<br>
+Fie $g$ forma polara asociata formei patratice $Q$. Este $(\mathbb{R}^3, g)$ un spatiu vectorial euclidian? 
+
+### Exercitiul 5
+Fie $(\mathbb{R}^3, (\mathbb{R}^3, g_0), \phi)$ spatiul afin euclidian canonic.<br>
+$\displaystyle D_1: {{x_1-1}\over -1} = {{x_2+2}\over 4} = {x_3\over 1}$<br>
+$\displaystyle D_2: {{x_1}\over 3} = {x_2\over 1} = {{x_3-1}\over 2}$
+
+a) Sa se arate ca dreptele $D_1$, $D_2$ sunt necoplanare. Aflati ecuatia perpendicularei comune.<br>
+b) Determinati ecuatia planului care trece prin $A(0,1,2)$ si contine $D_1$.

resurse/aplicatii-tip.md

@@ -0,0 +1,164 @@
+### Aplicatia 1
+Fie $R=\{(2,1),(3,0)\}$ si $x=(1,2)$. Sa se afle coordonatele lui $x$ in raport cu $R$.<br>
+
+### Aplicatia 2
+Fie $(\mathbb{R}^4, +, \times)_\mathbb{R}, V' = <\{(1,1,0,0), (1,0,1,-1)\}>$ <br>
+
+a) Sa se descrie $V'$ printr-un sistem de ecuatii liniare<br>
+b) $\mathbb{R}^4 = V' \oplus V'', V''=?$ sa se gaseasca subspatiu complementar lui $V'$<br>
+
+### Aplicatia 3
+Fie $(\mathbb{R}^4, +, \times)_\mathbb{R},$<br>
+$V'=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4|x+y-z+3t=0\}$<br>
+$V''=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4|x+y+z+2t=0\}$<br>
+a) Aflati $dim(V'\cap{V''})$<br>
+b) Demonstrati ca $V'+V''=\mathbb{R}^4$<br>
+
+### Aplicatia 4
+Fie $f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3, f(x) = (x_1 + x_2-x_3, x_1+x_2, x_1+x_2+x_3)$<br>
+a) Demonstrati ca $f$ este aplicatie liniara<br>
+b) Precizati cate un reper in $kerf$ si $Imf$<br>
+
+### Aplicatia 5
+Fie $F:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2, f(x) = (x_1+x_2, 2x_2)$<br>
+Sa se scrie matricea lui $f$ in functie de reperul canonic si fata de $R'=\{(1,-2), (1,1)\}$
+
+### Aplicatia 6
+Fie $f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3, f(x) = (2x_1+2x_2, x_1+x_3, x_1+3x_2-2x_3)$<br>
+
+a) Demonstrati ca f nu este izomorfism de spatii vectoriale<br> 
+b)$f|_{V'}:V'\rightarrow{V''}$ izomorfism de spatii vectoriale<br>
+$V'=\{x\in\mathbb{R}^3|x_1+x_2-x_3=0\}$<br>
+$V''=\{x\in\mathbb{R}^3|3x_1-4x_2-2x_3=0\}$<br>
+c)$f(V'\cap{V''})=?$
+
+### Aplicatia 7
+Fie $(\mathbb{R}^3,+,\times)_\mathbb{R}$,
+$V'=\{x\in\mathbb{R}^3|x_1+x_2-2x_3=0\}$<br>
+Fie $s:V'\oplus{V''}\rightarrow V'\oplus{V''}, s(x'+x'') = x'-x''$<br>
+Calculati $s(1,2,5)$
+
+<pb/>
+
+### Aplicatia 8
+Fie $f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3, f(x) = (x_1,x_2+x_3, 2x_3)$<br>
+Determinati un reper $R$ astfel incat $[f]_{R,R}$ sa fie diagonala.
+
+### Aplicatia 9
+Fie $f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2, f(x) = (3x_1+2x_2, -x_1), A=[f]_{R_0,R_0}$, calculati $A^n$
+
+### Aplicatia 10
+Fie $g:\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}$ forma biliniara,<br>
+$G=[g]_{R_0,R_0} = \begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&-1\\0&-1&0\\\end{pmatrix}$<br>
+a) Demonstrati ca $g\in{L^S(\mathbb{R}^3,\mathbb{R}^3;\mathbb{R})}$<br>
+b) Sa se determine $Q:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}$ forma patratica asociata lui $g$<br>
+c) Sa se aduca $Q$ la o forma canonica. Este $Q$ pozitiv definita?
+
+### Aplicatia 11
+Fie $g:\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}$,<br>
+$g(x,y) = x_1y_2 + x_2y_1 + 2x_1y_3 + 2x_3y_1 = X^TGY$<br>
+a) $G=[g]_{R_0,R_0}=?$<br>
+b) $Q=?$ forma patratica asociata lui $g$<br>
+c) sa se aduca $Q$ la forma normala
+
+### Aplicatia 12 
+Sa se determine o baza in raport cu care forma patratica $Q$ are forma canonica.<br>
+a)$Q(x)=x_1^2 + 4x_1x_2 + 2x_2^2 - x_3^2 + 2x_1x_3$<br>
+b)$Q(x)=x_1^2+x_2^2-2x_3^2+2x_1x_2-2x_2x_3$<br>
+c)$Q(x)=3x_1^2+3x_2^2+2x_3^2+4x_1x_2-2x_2x_3$
+
+### Aplicatia 13
+Fie $g:\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R},$<br>
+$g(x,y) = x_1y_1 + x_1y_2 + x_1y_3 + 2x_2y_1 + 3x_2y_3 + x_3y_1 - x_3y_2 +2x_3y_3$<br>
+a) Sa se calculeze $Rad_S(g), Rad_D(g)$<br>
+b) Sa se calculeze $Q(x)=B_S(x,x)$ stiind ca $B_S(x,y) = {{1\over{2}}(B(x,y) + B(y,x))}$ si sa fie adusa la forma canonica
+
+<pb/>
+
+### Aplicatia 14
+Fie $g_0:\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}, g_0(x,y) = \sum\limits_{i=1}^nx_iy_i$ produsul scalar canonic.<br>
+$(\mathbb{R}^3,g_0)$ spatiu euclidian, $u=(1,-1,2), v=(0,1,3), w=(1,1,0)$<br>
+a) Calculati $u\times{v}$<br>
+b) Calculati $u\land{v}\land{w}$
+
+### Aplicatia 15
+$(\mathbb{R}^3,g_0), u=(1,2-1)$<br>
+a) Calculati $u^\bot$<br>
+b) Determinati un reper ortonormat in $u^\bot$
+
+### Aplicatia 16
+Fie $(\mathbb{R}^4,g_0), U=\{x\in\mathbb{R}^4|\begin{cases}x_1-x_2+x_3=0\\x_1+x_2-x_4=0\end{cases}\}$<br>
+a) $U^\bot$<br>
+b) $R=R_1\cup{R_2}$ reper ortonormat in $\mathbb{R}^4$
+
+### Aplicatia 17
+Fie $f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3$, $(\mathbb{R}^3, g_0)$<br>
+$f(x) = {1\over{3}}(2x_1+x_2-2x_3, -2x_1+2x_2-x_3, x_1+2x_2+2x_3)$<br>
+a) $f\in{O(E)}$<br>
+b) Sa se determine daca exista un reper ortogonal $R$ in $\mathbb{R}^3$ astfel incat<br> 
+$[f]_{R,R} = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&cos(\phi)&-sin(\phi)\\0&sin(\phi)&cos(\phi)\end{pmatrix}$
+
+### Aplicatia 18
+Fie $L=<\{(1,1,1,1), (0,1,0,-1)\}>\subset\mathbb{R}^4$<br>
+a) Gasiti o baza in $L^\bot$<br>
+b) Descompuneti $x = (1,0,0,1)$ in raport cu $\mathbb{R}^4=L\oplus{L^\bot}$<br>
+c) Determinati $p:\mathbb{R}^4\rightarrow\mathbb{R}^4$ proiectie ortogonala pe $L$<br>
+d) Determinati simetria ortogonala $s:\mathbb{R}^4\rightarrow\mathbb{R}^4$ fata de $L$
+
+### Aplicatia 19
+Fie $L\subset\mathbb{R}^4$ subspatiu, $x\in\mathbb{R}^4$<br>
+Determinati vectorul $x_0\in{L}$ astfel incat $||x-x_0|| = min ||x-y||, y\in{L}$<br>
+
+<pb/>
+
+### Aplicatia 20
+Fie sistemul $\begin{cases}2x+3y=1\\x+y=2\\x+2y=7\end{cases}$<br>
+Sa se determine $(x,y)$ astfel incat $v=(2,1,1)x + (3,-1,2)y$ sa aiba distanta fata de $b=(1,2,7)$ minima.
+
+### Aplicatia 21
+Fie $(\mathbb{R}^3, g_0)$ spatiu vectorial euclidian real si $f\in{End(\mathbb{R}^3)}$.<br>
+$[f]_{R_0,R_0} = \begin{pmatrix}1&1&-1\\1&1&-1\\-1&-1&1\\\end{pmatrix}$<br>
+a) Demonstrati ca $f\in{Sim(\mathbb{R}^3)}$<br>
+b) Fie $Q:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}$ forma patratica asociata ($Q(x) = <f(x),x>$). Sa se aduca $Q$ la o forma canonica printr-o transformare ortogonala.
+
+### Aplicatia 22
+a) Fie hiperplanele $\pi_1, \pi_2$ cu ecuatiile $\pi_1 = x_1 + x_2 + x_3 = 1$, respectiv $\pi_2 = 2x_1 - x_3 = 0$. Determinati $\pi_1\cap\pi_2$.<br>
+b) Determinati coordonatele punctului de intersectie dintre hiperplanul $\pi = x_1 + x_2 + x_3 = 2$ si dreapta $D: {x_1-3} = {x_2\over{3}} = {x_3}$.
+
+### Aplicatia 23
+Fie dreptele $D_1, D_2$ de forma<br>
+$D_1: x_1-2 = {x_2\over{2}} = x_3-3$<br>
+$D_2: {{x_1-1}\over{2}} = x_2-3 = x_3$<br>
+a) Demonstrati ca cele doua drepte sunt necoplanare.<br>
+b) Determinati distanta dintre cele doua drepte, respectiv formula dreptei perpendiculare comune intre $D_1$ si $D_2$.
+
+### Aplicatia 24
+Determinati distanta de la punctul $A=(1,2,3)$ la hiperplanul $\pi=x_1 - 2x_2 + 3x_3 + 1 = 0$
+
+### Aplicatia 25
+In spatiul euclidian $\epsilon_2$ se considera conica<br>
+$\Gamma = 7x_1^2 - 8x_1x_2 + x_2^2 - 6x_1 - 12x_2 - 9 = 0$<br>
+a) Sa se aduca la o forma canonica utilizand izometrii.<br>
+b) Reprezentare grafica.
+
+### Aplicatia 26
+Fie $V=\{A\in{M_2} | A=A^T\}, g:V\times{V}\rightarrow\mathbb{R}, g(A,B) = Tr(AB)$<br>
+Este $(V, g)$ spatiu vectorial euclidian?
+
+### Aplicatia 27
+Fie $(\mathbb{R}_2[x], +, \times)/_\mathbb{R}$ spatiu vectorial al polinoamelor de grad cel mult 2.<br>
+Fie $S=\{-x+\alpha{x^2}, \alpha{x} + 2x^2, 1+x^2\}$<br>
+Aratati ca S este baza a lui $\mathbb{R}_2[X], \forall\alpha\in\mathbb{R}$
+
+### Aplicatia 28
+$(\mathbb{R}^3, g_0), u=(1,1,0)$<br>
+a) $<\{u\}>^\bot=?$ precizati un reper ortonormat.<br>
+b) Sa se determine transformarea ortogonala de speta 1, care are unghiul de rotatie $\phi={\pi\over{2}}$ si axa $<\{u\}>$
+
+### Aplicatia 29
+Fie $(\mathbb{R}_2[x], g_0)$, $g_0(P, Q) = \displaystyle\sum_{i=0}^2a_ib_i, P=a_0 + a_1x + a_2x^2, Q=b_0 + b_1x + b_2x^2$<br>
+Sa se ortonormeze $R=\{x, x-x^2, 1+x+x^2\}$
+
+### Aplicatia 30
+Fie $V=\{a+bx+cx^2 | (a,b,c)\in\mathbb{R}^3,a+b+c=0\}$<br>
+Aratati ca $S=\{1-x^2, x-x^2\}$ este baza a lui $V$.