Added restanta 2024

examene/2024/1-restanta.md

@@ -0,0 +1,58 @@
+```
+An: 2024
+Data: 05/07/2024
+Nr: 1
+```
+
+## Subiectul I
+
+Intr-un grup de studenti 5 persoane au un nivel inalt de pregatire, 20 de persoane au un nivel mediu si 5 persoane au un nivel scazut. Probabilitatile de promovare cu succes a examenului pentru acesti studenti sunt respectiv: 0.9, 0.6 si 0.3.
+
+a) (0,5p) Care este probabilitatea ca un student ales la intamplare sa promoveze examenul?
+
+b) (0,5p) Se stie ca un student a promovat examenul. Care este probabilitatea ca era foarte bine pregatit?
+
+## Subiectul II
+
+Fie $X$ si $Y$ doua variabile aleatoare de tip discret pentru care functia masa de probabilitate comuna este definita in tabel.
+
+X/Y|1|2|3
+---|---|---|---
+0|0.2|0.1|0
+1|0.1|0.3|0
+2|0|0|0.3
+
+a) (0.5p) Determinati repartitiile marginale ale variabilelor $X$ si $Y$. Sunt $X$ si $Y$ independente?
+
+b) (0,5p) Determinati $Cov(X,Y)$.
+
+## Subiectul III
+
+Fie $X$ si $Y$ variabile aleatoare independente repartizate $Exp(2)$, respectiv $Exp(3)$.
+
+a) (0,5p) Determinati densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare $Z = X + Y$.
+
+b) (0,5p) Calculati $E\left(Z^2\right)$.
+
+## Subiectul IV
+
+Vectorul aleator $(X,Y)$ de tip continuu este uniform repartizat pe discul $D = \{(x,y) \in R^2 | x^2 + y^2 \le 2\}$, adica functia de densitate de repartitie comuna este data de 
+
+$f(x,y) = \begin{cases}\displaystyle\frac{1}{2\pi}, \text{ daca } x^2 + y^2 \le 2,\\0, \text{ in rest }\end{cases}$
+
+a) (0,5p) Determinati functiile de densitate marginala.
+
+b) (1p) Calculati $Cov(X,Y)$.
+
+<pb/>
+
+## Subiectul V
+
+(0,5p) Estimarea intervalului de incredere pentru media de sondaj. 
+
+Rezultatele unui studiu efectuat pe un esantion de 64 de clienti ai unei banci referitor la timpul mediu de realizare a operatiunilor bancare solicitate de catre acestia sunt: timpul mediu de realizare al operatiunilor bancare este de 32 de minute, cu o dispersie de 400. Estimati timpul mediu de realizare al operatiunilor bancare pentru o probabilitate de 95% de garantare a rezultatelor.
+
+## Subiectul VI
+
+(1p) Fie functia de densitate de repartitie $f(x) = \displaystyle\frac{1}{2\alpha} e^{\displaystyle\frac{|x - \theta|}{\alpha}}, x\in\R$. Estimati parametrii $\alpha$ si $\theta$ prin metoda momentelor.
+

examene/2024/2-restanta.md

@@ -0,0 +1,53 @@
+```
+An: 2024
+Data: 05/07/2024
+Nr: 2
+```
+
+## Subiectul I
+
+Un magazin a primit produse noi de la trei intreprinderi. Compozitia procentuala a acestor produse este urmatoare: 10% produse provin de la prima intreprindere, 30% produse provin de la a doua intreprindere si 60% produse vin de la a treia intreprindere. De cea mai buna calitate sunt 15% dintre produsele fabricate de prima intreprindere, 10% dintre produsele fabricate de a doua intreprindere si 30% dintre produsele fabricate de a treia intreprindere.
+
+a) (0,5p) Gasiti probabilitatea ca un produs nou achizitionat, ales aleatoriu, sa fie de cea mai buna calitate.
+
+b) (0,5p) Daca produsul e de cea mai buna calitate, care e probabilitatea sa provina de la intreprinderea 1?
+
+## Subiectul II
+
+Fie $X$ si $Y$ doua variabile aleatoare de tip discret pentru care functia masa de probabilitate comuna este definita ca in tabel.
+
+a) (0,5p) Determinati repartitiile marginale ale variabilelor $X$ si $Y$. Sunt $X$ si $Y$ independente?
+
+b) (0,5p) Determinati $Cov(X,Y)$.
+
+## Subiectul III
+
+Fie $X$ si $Y$ variabile aleatoare independente repartizate $Exp(3)$, respectiv $Exp(4)$. 
+
+a) (0,5p) Determinati densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare $Z = X + Y$.
+
+b) (0,5p) Calculati $E\left(Z^2\right)$.
+
+## Subiectul IV
+
+Vectorul aleator $(X,Y)$ de tip continuu are functia de densitate de repartitie comuna data de 
+
+$f(x,y) = \begin{cases}\displaystyle\frac{1}{2}, \text{ daca } 0 \le x \le y \le 2 \\ 0, \text{ in rest}\end{cases}$
+
+a) (0,5p) Determinati functiile de densitate marginale.
+
+b) (1p) Calculati $Cov(X,Y)$.
+
+<pb/>
+
+## Subiectul V
+
+(0,5p) Estimarea intervalului de incredere pentru media de sondaj. 
+
+Rezultatele unui studiu efectuat pe un esantion de 70 de clienti ai unei banci referitor la timpul mediu de realizare a operatiunilor bancare solicitate de catre acestia sunt: timpul mediu de realizare al operatiunilor bancare este de 35 de minute, cu o dispersie de 225. Estimati timpul mediu de realizare al operatiunilor bancare pentru o probabilitate de 95% de garantare a rezultatelor.
+
+## Subiectul VI
+
+a) (0,5p) Variabila $X$ este repartizata $N(\mu, 1)$. Estimati parametrul $\mu$ prin metoda momentelor.
+
+b) (0,5p) Variabila $X$ este repartizata $N(0, \sigma^2)$. Estimati parametrul $\sigma^2$ prin metoda momentelor.