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300. 最长递增子序列

English Version

题目描述

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

 

示例 1：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例 2：

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4

示例 3：

输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1

 

提示：

• 1 <= nums.length <= 2500
• -104 <= nums[i] <= 104

 

进阶：

• 你可以设计时间复杂度为 O(n2) 的解决方案吗？
• 你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log(n)) 吗?

解法

动态规划求解。

定义 dp[i] 为以 nums[i] 结尾的最长子序列的长度。即题目求的是 dp[i] （i ∈[0, n-1]）的最大值。

状态转移方程为：

dp[i] = max(dp[j]) + 1，其中 0≤j<i 且 nums[j]<nums[i]。

Python3

class Solution:
    def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        if n < 2:
            return n
        dp = [1] * n
        res = 1
        for i in range(1, n):
            for j in range(i):
                if nums[j] < nums[i]:
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
            res = max(res, dp[i])
        return res

Java

class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int[] dp = new int[n];
        Arrays.fill(dp, 1);
        int res = 1;
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            for (int j = 0; j < i; ++j) {
                if (nums[j] < nums[i]) {
                    dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
                }
            }
            res = Math.max(res, dp[i]);
        }
        return res;
    }
}

...