Un ensemble c'est un grand "sac" contenant des éléments.
Une structure, c'est rajouté quelque chose en plus pour structurer notre ensemble. Une structure algébrique est le fait que l'on va rajouter une ou plusieurs opérations.
Ces opérations sont normalement appelées lois de composition interne. (Interne car nous restons toujours dans le même ensemble après une composition, et composition parceque nous composons deux éléments ensemble pour en faire un troisième.)
C'est un ensemble quelconque avec une opération quelconque. C'est le minimum de ce que l'on peut faire avec une structure algébrique.
Magma(E, *)
Pour dénifir une opération, nous pouvons définir une table (comme pour les tables de multiplications).
Un monoïde est un magma associatif et unifère (qui admet un élément neutre).
Résumé
Pour (M, *)
la loi * est interne
la loi * est associative
Il y a un élement neutre e
Exemple
(N, +) --> entiers naturels
Composition de fonction
(R^R, ∘) f: x -> 2x, g: x ->x^2. f∘g = 2x^2 (d'abord on applique g puis f).
L'élément neutre étant la fonction identité (Id)
f: x -> x
On dit qu'un élément a ∈ E est simplifiable si à chaque fois qu'on a
a * x = a * y
on peut en déduire que
x = y
On dit qu'un élément a ∈ E est symétrisable s'il existe un autre élément _a ∈ E tel que
a * _a = _a * a = e
_a est appelé le symétrique de a.
Si a ∈ E est symétrisable alors il est simplifiable.
Un group G est un monoïde avec une rêgle supplémentaire tel que : Tout élément de G a un symétrique
∀x ∈ G, ∃x' ∈ G, x * x' = x' * x = e
Dans un groupe fini, si on compose un certain nombre de fois un élément avec lui-même, on finit par tomber sur l'élément neutre
(A, +, x)
(A, +) est un groupe
(A, x) est un monoïde