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[motrellin]

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Fehler gefunden und ausgebessert

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Sei $M = (Q, \Sigma, \delta, q_0, F)$ ein nichtdeterministischer endlicher Automat (NEA), sei $v \in \Sigma^$ und sei $L = { w \in \Sigma^ \mid w \in L(M) \text{ und } w \text{ enthält } v }$. Wir konstruieren einen NEA $M' = (Q', \Sigma, \delta', q_0', F')$, für den $L(M') = L$ gilt, wie folgt:

\begin{itemize}
	\item $Q' = Q \times \{0, 1, \ldots, k\}$, wobei $k$ die Länge von $v$ ist.
	\item $\delta'$ ist definiert durch:
	\begin{align*}
		\delta'((q, i), \sigma) &= \begin{cases}
			\{ (q', 0) \mid q' \in \delta(q, \sigma) \} & \text{falls } \sigma \neq v_{i+1}\text{ und } i < k\\
			\{ (q', i) \mid q' \in \delta(q, \sigma) \} & \text{falls } i = k \\
			\{ (q', i),(q', i+1) \mid q' \in \delta(q, \sigma) \} & \text{falls } \sigma = v_{i+1} \text{ und } i = 0 \\
			\{ (q', i+1) \mid q' \in \delta(q, \sigma) \} & \text{falls } \sigma = v_{i+1} \text{ und } 0 < i < k
		\end{cases}
	\end{align*}
	\item $q_0' = (q_0, 0)$
	\item $F' = \{ (q, k) \mid q \in F \}$
\end{itemize}

\textbf{Erklärung:}\\
Die Zustände von $M'$ sind Paare $(q, i)$, wobei $q$ ein Zustand von $M$ ist und $i$ die Position im Wort $v$ darstellt. Wenn der Automat ein Zeichen $\sigma$ liest, das nicht das nächste erwartete Zeichen von $v$ ist, wird $i$ zurückgesetzt. Wenn $\sigma$ das nächste erwartete Zeichen von $v$ ist, wird $i$ inkrementiert. Im Fall $i=0$ wird nichtdeterministisch geraten, ob das erste Zeichen von $v$ gelesen wird oder nicht ($\delta'((q, i), \sigma)=\{(q', 0),(q', 1)\}$). Sobald $i$ die Länge von $v$ erreicht hat (d.h. $i = k$), bleibt der Automat im Zustand $k$ und simuliert weiterhin $M$.

Der Startzustand von $M'$ ist $(q_0, 0)$, und die akzeptierenden Zustände sind die Paare $(q, k)$, wobei $q$ ein akzeptierender Zustand von $M$ ist. Dies stellt sicher, dass das Wort $v$ in $w$ enthalten ist und dass $w$ von $M$ akzeptiert wird.

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Irgendwie hab ich wieder nicht gecheckt, wie ich es selber ausbessere...