h09centrumspreiding.Rmd

# Centrum en spreiding {#ch-centrumenspreiding}

## Inleiding

In het vorige hoofdstuk hebben we geleerd om observaties te tellen en te
classificeren. Daarmee kunnen we de observaties van een variabele
samenvatten, bijvoorbeeld in een tabel, een frequentieverdeling, of in
een histogram. Vaak kunnen we de observaties nog verder samenvatten, in
kenmerken die aangeven op welke wijze de observaties verdeeld zijn. In
dit hoofdstuk maken we kennis met een aantal van dergelijke kenmerken.
Sommige van die kenmerken zijn van toepassing op variabelen van alle
meetniveau's (bv. modus), andere alleen op variabelen van interval- of
ratio-niveau (bv. gemiddelde). Na een inleiding over het gebruik van
symbolen bespreken we eerst hoe we het centrum van een verdeling kunnen
beschrijven, en hoe we de spreiding kunnen beschrijven.

## Symbolen

In de beschrijvende statistiek wordt veel gewerkt met symbolen. Die
symbolen zijn verkorte aanduidingen voor een reeks van handelingen.
Sommige van die symbolen zijn je reeds bekend: de exponent ${}^2$ in de
uitdrukking $x^2$ is een symbool met de betekenis "vermenigvuldig $x$
met zichzelf", ofwel $x^2 = x \times x$ (waarin ook $\times$ weer een
symbool is).

Vaak wordt een hoofdletter gebruikt om een variabele aan te duiden
($X$), en een kleine letter om een afzonderlijke score van die variabele
aan te duiden ($x$). Als we de afzonderlijke scores willen
onderscheiden, dan doen we dat met een subscript index: $x_1$ is de
eerste observatie, $x_2$ is de tweede observatie, enz. Op deze manier
geeft $x_i$ de $i$'de score aan, of de score van proefpersoon nummer
$i$, van variabele $X$. Als we willen generaliseren over alle scores,
dan kunnen we de index weglaten, maar we kunnen ook een punt gebruiken
als "lege" index: in de uitdrukking $x_.$ staat de punt-index voor
iedere willekeurige index.

Het aantal observaties in een bepaalde groep geven we aan met kleine
letter $n$, en het totaal aantal observaties van een variabele met de
hoofdletter $N$. Als er maar één groep is, zoals in de voorbeelden in
dit hoofdstuk, dan geldt dat $n=N$.

In de beschrijvende statistiek wordt veel opgeteld, en daarvoor is dan
ook een apart symbool, $\sum$, de griekse hoofdletter Sigma, waarmee een
sommering of optelling wordt aangeduid. We zouden kunnen zeggen "tel
alle geobserveerde waarden van variabele $X$ bij elkaar op", maar dat
doen we doorgaans korter:
$$\sum\limits_{i=1}^n x_i, \textrm{of korter} \sum x
%   \Sigma_i^N x_i, \textrm{of nog korter} \Sigma X$$ 
Op deze wijze
wordt aangegeven dat alle scores $x_i$ bij elkaar moeten worden opgeteld
(gesommeerd), voor alle waarden van $i$ (vanaf $i=1$, tenzij anders
aangegeven) tot $i=n$. Alle $n$ scores van de variabele $x$ moeten dus
worden opgeteld.

Als er haakjes gebruikt worden, let dan goed op: handelingen beschreven
binnen een paar haakjes hebben voorrang, die moet je dus eerst
uitvoeren. Ook als dat niet strikt nodig is, zullen we vaak haakjes
gebruiken ter verduidelijking, zoals in $(2\times3)+4=10$.

## Centrummaten

### gemiddelde {#sec:gemiddelde}

De meest bekende maat voor het centrum van een verdeling is wel het
gemiddelde. Het gemiddelde is eenvoudig uit te rekenen door alle scores
bij elkaar op te tellen, en vervolgens die som weer te delen door het
aantal observaties. In symbolen: 
\begin{equation} 
  \overline{x} = \frac{\sum x}{n} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i}^n x_i
  (\#eq:gemiddelde)
\end{equation} 

We maken hier meteen kennis met een nieuw symbool, $\overline{x}$, vaak
"x-bar" genoemd, waarmee het gemiddelde van $x$ wordt aangeduid. Het gemiddelde
wordt ook vaak aangeduid met het symbool $M$ (Eng. mean), o.a. in
artikelen in de APA-stijl.

---

> *Voorbeeld 9.1*: In
een winkel wordt bijgehouden hoe lang klanten moeten wachten bij de
kassa, voordat ze aan de beurt zijn. Voor $N=10$ klanten worden de
volgende wachttijden geobserveerd, in minuten:\
1, 2, 5, 2, 2, 2, 3, 1, 1, 3.\
De gemiddelde wachttijd is $(\sum X)/N = 22/10 = 2.2$ minuten.

---

Het gemiddelde van $X$ wordt meestal uitgedrukt met één decimaalcijfer meer dan
de scores van $X$ (zie ook §\@ref(sec:significantecijfers-gemiddelde) hieronder over het aantal decimaalcijfers waarmee het gemiddelde wordt weergegeven).

Het gemiddelde is op te vatten als het "balanspunt" van een verdeling:
de observaties aan weerszijden houden elkaar "in evenwicht", zoals
geïllustreerd in Figuur \@ref(fig:wachttijden-hist), waar de "blokken" van het histogram
precies "in evenwicht" zijn op het "balanspunt" bij het gemiddelde van
2.2. Het gemiddelde is ook de waarde ten opzichte waarvan de $N$
observaties tezamen het minste verschillen, en het vormt dus een goed
kenmerk voor het centrum van een kansverdeling.

Het gemiddelde is alleen bruikbaar bij variabelen van het interval- of
ratio-meetniveau.

```{r wachttijden-hist, echo=FALSE, fig.cap="Histogram van N=10 wachttijden, met markering van het gemiddelde.", fig.width=4}
# voorbeeld wachttijden, ter illustratie van gemiddelde
# HQ 20160228 en 20160302
x <- c( 1, 2, 5, 2, 2, 2, 3, 1, 1, 3 ) # zie voorbeeld 9.1
hist(x, breaks=seq(min(x),max(x)+1,1)-0.5, col="grey80", 
     main="", xlab="Wachttijd (minuten)", ylab="Aantal" )
# axis(side=1, at=mean(x), labels=expression(symbol("\220")), 
#      cex=5, lwd.ticks=3, tcl=1, col="maroon")
axis(side=1, at=mean(x), labels="", lwd.ticks=6, tcl=1.3, col="maroon")
```

### mediaan {#sec:mediaan}

De mediaan (symbool $Md$ of $\tilde{x}$) is de observatie in het midden
van de rangorde van observaties [^fn09-1]. Als we de scores van $X$
rangschikken van klein naar groot, dan is de mediaan het middenpunt van
die gerangschikte reeks. De helft van de observaties is kleiner dan de
mediaan, en de andere helft is groter dan de mediaan.

[^fn09-1]: In het Engels wordt de streep of middenberm in het midden van een weg aangeduid als de "median" (Am.Eng.) of "central reservation" (Br.Eng.); deze streep verdeelt de weg in twee meestal even grote helften.

Bij een oneven aantal observaties is de middelste observatie de mediaan.
Bij een even aantal observaties wordt de mediaan gevormd door het
gemiddelde van de middelste twee observaties.

---

> *Voorbeeld 9.2*: De wachttijden uit Voorbeeld 9.1
worden als volgt gerangschikt:\
1, 1, 1, 2, *2, 2*, 2, 3, 3, 5.\
De mediaan is het gemiddelde van de middelste twee (cursieve)
observaties, dus 2 minuten.

---

De mediaan is minder gevoelig dan het gemiddelde voor extreme waarden
van $x$. In het bovenstaande voorbeeld is de extreme wachttijd van 5
minuten van aanzienlijke invloed op het gemiddelde. Als we die waarde
zouden verwijderen, dan verandert het gemiddelde van 2.2 naar 1.9, maar
de mediaan blijft nog steeds 2. Extreme waarden hebben dus een minder
grote invloed op de mediaan dan op het gemiddelde. Pas als de
rangschikking van de observaties verandert, kan ook de mediaan
veranderen.

De mediaan is bruikbaar bij variabelen van het ordinale, interval- of
ratio-meetniveau.

### modus

De modus (bijv.nw. 'modaal') is de waarde of score van $X$ die het
meeste voorkomt.

---

> *Voorbeeld 9.3*: Bij de wachttijden uit Voorbeeld 9.1
komt de score 2 het meeste voor
($4\times$); dit is de modus.

---

> *Voorbeeld 9.4*: In 2022 was het gemiddelde besteedbare inkomen per huishouden in Nederland ca €35000. 
Het modale inkomen (per huishouden) was tussen €22000 en €24000 [^fn09-2]: in deze inkomenscategorie vielen de meeste huishoudens. 

[^fn09-2]: https://www.cbs.nl/nl-nl/visualisaties/inkomensverdeling

---

De modus is nog minder gevoelig dan de mediaan voor extreme waarden van
$x$. In het bovenstaande voorbeeld 9.2 maakt het niet uit wat de waarde
van de langste wachttijd is: ook al zou die observatie de waarde $10$ of
$1000$ hebben, de modus blijft onveranderlijk $2$ (ga dat zelf na).

De modus is bruikbaar bij variabelen van alle meetniveau's.

### harmonisch gemiddelde {#sec:harmonischgemiddelde}

Als de afhankelijke variabele een breuk of verhouding of ratio
voorstelt, zoals de snelheid waarmee een taak verricht wordt, dan vormt
het (rekenkundig) gemiddelde van formule \@ref(eq:gemiddelde) 
eigenlijk niet een goede aanduiding voor de
meest kenmerkende of centrale waarde. In dat geval kan je beter het
harmonisch gemiddelde gebruiken: 

\begin{equation}
  H = \frac{1}{\frac{1}{n} \sum\limits_{i}^n \frac{1}{x_i} } = \frac{n}{\sum\limits_{i}^n \frac{1}{x_i}}
  (\#eq:harmonischgemiddelde)
\end{equation}

---

> *Voorbeeld 9.5*: 
Een student schrijft $n=3$ teksten. Over de eerste tekst (500 woorden)
doet hij 2.5 uur, over de tweede tekst (1000 woorden) doet hij 4 uur, en
over de derde tekst (300 woorden) doet hij 0.6 uur. Wat is de gemiddelde
schrijfsnelheid van deze student? De schrijfsnelheden zijn resp. 200,
250, en 500 woorden per uur, en het "normale" (rekenkundig) gemiddelde
daarvan is 317 woorden per uur. 
Maar, het kostte 7.1 uur om 1800 woorden te schrijven, dus 
het "eigenlijke" gemiddelde is 
$(500+1000+300)/(2.5+4+0.6)$ $=1800/7.1=254$ woorden per uur. De hoge
schrijfsnelheid van de korte tekst telt voor $1/n$ deel mee in het
rekenkundig gemiddelde, hoewel die tekst slechts $300/1800=1/6$ van het
totaal aantal woorden bevat.

> Omdat de afhankelijke variabele een breuk is (snelheid, woorden/uur),
vormt het harmonische gemiddelde hier een betere centrummaat. Eerst
rekenen we de snelheid (woorden per tijdseenheid) om naar de inverse
daarvan (zie \@ref(eq:harmonischgemiddelde), in noemer, binnen somteken),
d.w.z. naar *tijd* per woord: 0.005, 0.004, en 0.002 (tijdseenheden per
woord, zie voetnoot[^fn09-3]). Ten tweede middelen we deze tijden, tot
gemiddeld 0.00366 uur per woord (13.2 seconden per woord), en tenslotte nemen we daarvan wederom
de inverse. De harmonisch gemiddelde schrijfsnelheid is dan $1/0.00366=273$
woorden per uur, dichter bij het "eigenlijke" gemiddelde van 254 woorden
per uur.

---

### gewinsoriseerde gemiddelde

De grote gevoeligheid van het gewone (rekenkundige) gemiddelde voor
uitbijters kan ingeperkt worden, door de meest extreme observaties te
wijzigen naar de minder extreme, meer centrale observaties. Het
gemiddelde van deze (deels gewijzigde) observaties wordt het
*gewinsoriseerde* gemiddelde genoemd ("winsorized mean"; ).

---

> *Voorbeeld 9.6*: De wachttijden uit Voorbeeld 9.1
worden als volgt gerangschikt:\
1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 5.\
Voor het 10% gewinsoriseerde gemiddelde worden (na rangordening) de 10%
kleinste observaties gelijk gesteld aan de eerstvolgende grotere waarde,
en de 10% grootste observaties worden gelijk gesteld aan de laatst
voorafgaande kleinere waarde (gewijzigde waarden zijn hier cursief):\
*1*, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, *3*.\
Het winsorized gemiddelde over deze gewijzigde waarden is
$\overline{x}_w=2$ minuten.

---

### getrimde gemiddelde

Een nog drastischer ingreep is om de meest extreme observaties geheel te
verwijderen. Het gemiddelde van de overblijvende observaties wordt het
*getrimde* gemiddelde genoemd ("trimmed mean"). Bij een 10% trim
verwijderen we de onderste 10% *en* de bovenste 10% van de observaties;
er resteren dan dus nog slechts $(1- (2 \times (10/100))\times n$
observaties [@Wilcox12].

---

> *Voorbeeld 9.7*: De wachttijden uit Voorbeeld 9.1
worden weer als volgt gerangschikt:\
1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 5.\
Voor het 10% getrimde gemiddelde worden (na rangordening) de 10%
kleinste observaties verwijderd, en de 10% grootste observaties worden
eveneens verwijderd:\
1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3.\
Het getrimde gemiddelde over deze $10-(.2)(10)=8$ resterende waarden is
hier $\overline{x}_t=2$ minuten.

---

### vergelijking van centrummaten

Figuur \@ref(fig:centrummaten) illustreert de verschillen tussen de
diverse centrummaten, voor asymmetrisch verdeelde observaties.

```{r centrummaten, echo=FALSE, fig.cap="Histogram van een variabele met positief scheve (asymmetrische) frequentieverdeling, met daarin aangegeven (1) de mediaan, (2) het 10% getrimde gemiddelde, (3) het 10% gewinsoriseerde gemiddelde, en (4) het rekenkundig gemiddelde. De geobserveerde scores zijn gemarkeerd langs de horizontale as."}
# centrummaten.R
set.seed(2015) # datum eerste versie
xx <- rlnorm(100, meanlog=3,sdlog=0.8)*5; 
# hist(xx) # xx is indeed lognormally distributed
# require(scales) # for alpha
# require(psych) # for winsor.mean
nbreaks <- 20 # number of bins in histogram
xupper <- 500
maxfreq <- max( hist(xx, breaks=nbreaks*1.5, plot=F)$counts )
hist(xx, col="grey90", xlab="Score", ylab="Aantal", main="", 
     breaks=nbreaks*1.5, xlim=c(0,xupper) )
# rug(xx,side=1,col=scales::alpha("black",.5), quiet=TRUE) # causes error
# 4 rekenkundig gemiddelde
abline(v=mean(xx),lwd=2,col="red")
axis(side=1,at=mean(xx),labels=F, col="red", lwd=2, line=0, cex=0.75, las=2, padj=1)
text( x=mean(xx), y=maxfreq-3, 
      paste("4 rekenkundig gemiddelde =",round(mean(xx))), cex=0.75, adj=0 )
# 3 winsorized mean
abline(v=psych::winsor.mean(xx, trim=.10),lwd=2,col="red")
axis(side=1,at=psych::winsor.mean(xx,trim=.10),labels=F, col="red", lwd=2, 
     line=0, cex=0.75, las=2, padj=0.5)
text( x=psych::winsor.mean(xx,trim=.10), y=maxfreq-2, 
      paste("3 gewinsor. gemiddelde =",round(psych::winsor.mean(xx,trim=.10))), cex=0.75, adj=0 )
# 2 trimmed mean
abline(v=mean(xx,trim=.10),lwd=2,col="red")
axis(side=1,at=mean(xx,trim=.10),labels=F, col="red", lwd=2, line=0, cex=0.75, las=2, padj=0.5)
text( x=mean(xx,trim=.10), y=maxfreq-1, 
      paste("2 getrimd gemiddelde =",round(mean(xx,trim=.10))), cex=0.75, adj=0 )
# 1 mediaan
abline(v=median(xx),lwd=2,col="red")
axis(side=1,at=median(xx),labels=F, col="red", lwd=2, line=0, cex=0.75, las=2, padj=0)
text( x=median(xx), y=maxfreq, 
      paste("1 mediaan =",round(median(xx))), cex=0.75, adj=0)
```

Het rekenkundig gemiddelde is het meest gevoelig voor extreme waarden:
de extreme waarden "trekken" erg hard aan het gemiddelde. Deze invloed
van extreme waarden wordt getemperd in het gewinsoriseerde gemiddelde,
en wordt nog meer getemperd in het getrimde gemiddelde. Naarmate de
trimfactor (het percentage van de observaties dat wordt gewijzigd of
verwijderd) toeneemt, gaan de gewinsoriseerde en getrimde gemiddelden
meer lijken op de mediaan. Immers, bij een trimfactor van 50% resteert
er van alle observaties nog maar één (ongewijzigde) observatie, en dat
is de mediaan (ga dat zelf na). In
§\@ref(sec:robuustefficient)  gaan we verder in op de keuze voor een
passende maat voor het centrum van een verdeling.

## Kwartielen en boxplots {#sec:kwartielen-en-boxplots}

De verdeling van een variabele wordt niet alleen gekenmerkt door het
centrum van die verdeling, maar ook door de mate van spreiding rondom
het centrum, d.w.z. hoe groot het verschil is van de observaties t.o.v.
het gemiddelde. We willen bijvoorbeeld niet alleen weten wat het
gemiddelde inkomen is, maar ook hoe groot de *verschillen* in inkomen
zijn.

### Kwartielen

Een eenvoudige en bruikbare maat daarvoor zijn de kwartielen [@Tukey77].
We delen de gerangschikte observaties in twee helften op; de grens
daartussen is de mediaan. Vervolgens halveren we weer elke helft, tot
kwarten. De kwartielen worden gevormd door de grenzen tussen deze
kwarten; er zijn dus drie kwartielen. Het eerste kwartiel $Q_1$ is de
mediaan van de onderste helft, $Q_2$ is de mediaan van alle $n$
observaties, en het derde kwartiel $Q_3$ is de mediaan van de bovenste
helft. De helft van de observaties (nl. het tweede en derde kwart) ligt
tussen $Q_1$ en $Q_3$. De afstand tussen $Q_1$ en $Q_3$ wordt de
"interquartile range" genoemd (IQR). Deze IQR vormt een eerste bruikbare
maat voor de spreiding van observaties ten opzichte van hun centrale
waarde.

Voor de uitleg maken we gebruik van de fictieve scores op een leestoets,
gegeven in Tabel \@ref(tab:cito).

Table: (#tab:cito) Scores van N=10 leerlingen op drie onderdelen van de CITO-toets,
  afgenomen in groep 8 van het basisonderwijs.

      Leerling      Lezen   Rekenen   Wereldoriëntatie
  ---------------- ------- --------- ------------------
         1           18       22             55
         2           32       36             55
         3           45       34             38
         4           25       25             40
         5           27       29             48
         6           23       20             44
         7           29       27             49
         8           26       25             42
         9           20       25             57
         10          25       27             47
      $\sum x$       270      270           475
   $\overline{x}$   27.0     27.0           47.5

---

> Voorbeeld 9.8:
> De scores bij het onderdeel Lezen in
Tabel \@ref(tab:cito) zijn
als volgt gerangschikt:\
18, 20, 23, 25, 25, 26, 27, 29, 32, 45.\
De mediaan is $Q_2=25.5$ (tussen de 5e en 6e observatie in deze
ranglijst). De mediaan van de onderste helft is $Q_1=23$ en die van de
bovenste helft is $Q_3=29$. De interquartile range is
$\textrm{IQR}=29-23=6$.

---

### Uitbijters {#sec:uitbijters}

In de leesscores in Tabel  \@ref(tab:cito) treffen we een extreme waarde aan, nl. de score
45, die opvallend veel verschilt van het gemiddelde. Zo'n opvallende
waarde wordt aangeduid als een "uitbijter" (in het Engels als
"outlier"). De grens voor wat we beschouwen als een uitbijter ligt
doorgaans bij $1.5 \times \textrm{IQR}$. Als een waarde meer dan
$1.5 \times \textrm{IQR}$ boven $Q_3$ of onder $Q_1$ ligt, dan
beschouwen we die observatie als een uitbijter. Controleer deze
observaties nog eens (denk aan het principe van zorgvuldigheid, zie
§\@ref(sec:integriteit-inleiding)).

---

> Voorbeeld 9.9:
> Voor de eerder genoemde leesscores in
Tabel \@ref(tab:cito) vonden
we $Q_1=23$, $Q_3=29$, en $\textrm{IQR}=Q_3-Q_1=29-23=6$. De bovenste
grenswaarde voor uitbijters is
$Q_3 + 1.5 \times \textrm{IQR} = 29 + 1.5 \times 6 = 29+9 = 38$. De
observatie met score 45 ligt boven deze grenswaarde, en wordt daarom
beschouwd als uitbijter.

---

### Boxplots {#sec:boxplot}

De frequentieverdeling van een variabele kunnen we nu weergeven met vijf
kenmerken, de zgn. "five-number summary", nl. de kleinste waarde, $Q_1$,
mediaan, $Q_3$, en grootste waarde. Deze vijf kenmerken worden grafisch
weergegeven in een zgn. "boxplot", zie
Figuur \@ref(fig:cito-boxplot) voor een voorbeeld [@Tukey77 §2C].

```{r cito-boxplot, echo=FALSE, fig.cap="Boxplots van scores van $N=10$ leerlingen op de onderdelen Lezen en Rekenen van de CITO-toets (zie Tabel 9.1), met uitbijters als open cirkels gemarkeerd. De geobserveerde scores zijn gemarkeerd langs de verticale assen.", fig.width=4}
require(foreign)
cito <- read.spss("data/cito.sav")
# cito.R
op <- par(mar=c(4,4,1,2)+0.1) # smaller margins
with(cito, 
  boxplot(Lezen, Rekenen, col="grey80", lwd=2, lty=1, ylab="Score", ylim=c(17,45) )
)
axis(side=1, at=c(1,2), labels=c("Lezen","Rekenen") )
# require(plotrix)
plotrix::axis.break(axis=2)
rug(cito$Lezen, side=2)
rug(cito$Rekenen, side=4)
# saved as cito_boxplot.pdf
```

De box omspant het gebied van (bij benadering) $Q_1$ tot $Q_3$, en
omspant dus de centrale helft van de observaties. De dikkere lijn in de
box markeert de mediaan. De lijnen strekken zich uit naar de kleinste en
grootste waarden *die géén uitbijters zijn* [^fn09-4]. De afzonderlijke
uitbijters worden hier met een apart symbool aangeduid.

## Spreidingsmaten {#sec:spreidingsmaten}

### variantie {#sec:variantie}

Een andere
manier om de spreiding van de observaties aan te geven, zou zijn om te
kijken naar de afwijking van iedere observatie ten opzichte van het
gemiddelde, dus $(x_i-\overline{x})$. Maar als we al die afwijkingen
optellen, dan is de som daarvan altijd nul! De positieve en negatieve
afwijkingen heffen elkaar immers op (ga dat zelf na in
Tabel \@ref(tab:cito)).
Daarom middelen we niet de afwijkingen zelf, maar de kwadraten van die
afwijkingen. Zowel de positieve als de negatieve afwijkingen resulteren
in positieve gekwadrateerde-afwijkingen. Van al die
gekwadrateerde-afwijkingen berekenen we het gemiddelde, d.w.z. we tellen
ze op en delen door $(n-1)$, zie voetnoot[^fn09-5]. Het resultaat noemen we
de *variantie*, aangeduid met symbool $s^2$: 
\begin{equation}
  s^2 = \frac{ \sum (x_i - \overline{x})^2 } {n-1}
  (\#eq:variantie)
\end{equation}

De teller van
deze breuk wordt wel aangeduid als de "sum of squared deviations" of
"sum of squares" (SS) en de noemer wordt wel aangeduid als het aantal
vrijheidsgraden of "degrees of freedom" van de teller (d.f.; zie
§\@ref(sec:ttoets-vrijheidsgraden)).

De variantie rekenen we tegenwoordig altijd uit met een rekenmachine of
computer.

### standaarddeviatie {#sec:standaarddeviatie}

Om de bovenstaande variantie te berekenen, hebben we de afwijkingen van
de observaties gekwadrateerd. De variantie is dus een grootheid die niet
wordt uitgedrukt in de oorspronkelijke eenheden (bijv. seconden, cm,
score), maar in gekwadrateerde eenheden (bijv. $\textrm{s}^2$,
$\textrm{cm}^2$, $\textrm{score}^2$). Teneinde weer terug te keren naar
de oorspronkelijke eenheden, nemen we de wortel uit de variantie. Het
resultaat noemen we de *standaarddeviatie*, aangeduid met symbool $s$:

\begin{equation}
  s = \sqrt{s^2} = \sqrt{ \frac{ \sum (x_i - \overline{x})^2 } {n-1} }
  (\#eq:standaarddeviatie)
\end{equation}

---

> Voorbeeld 9.10:
> Het gemiddelde van de eerder genoemde leesscores in
Tabel \@ref(tab:cito) is
$27.0$, en de afwijkingen zijn als volgt:\
-9, 5, 18, -2, 0, -4, 2, -1, -7, -2.\
De gekwadrateerde afwijkingen zijn 81, 25, 324, 4, 0, 16, 4, 1, 49, 4.\
De som van deze gekwadrateerde afwijkingen is 508, en de variantie is
dan $s^2=508/9=56.44$. De standaarddeviatie is de wortel van de
variantie, dus $s=\sqrt{508/9}=7.5$.

---

De variantie en standaarddeviatie zijn alleen bruikbaar bij variabelen
van het interval- of ratio-meetniveau. Ook de variantie en
standaarddeviatie kunnen weer gebaseerd zijn op de gewinsoriseerde of
getrimde verzameling van observaties.

De standaarddeviatie hebben we nodig 
(a) als we de ruwe observaties
willen omzetten naar standaardscores (zie §\@ref(sec:standaardscores) hieronder), 
(b) als we een variabele
willen beschrijven die normaal verdeeld is (zie §\@ref(sec:normaalverdeling), en 
(c) als we hypotheses willen toetsen met behulp van een normaal verdeelde variabele (zie §\@ref(sec:ttoets-onesample) e.v.).

### MAD

Behalve de standaarddeviatie is er ook een robuuste tegenhanger daarvan,
die niet gebruik maakt van het gemiddelde. Deze maat is daarom minder
gevoelig voor uitbijters (robuuster), wat soms handig is.

We kijken hiervoor naar de afwijking van iedere observatie ten opzichte
van de mediaan (niet t.o.v. het gemiddelde). Van deze afwijkingen nemen
we de absolute waarde[^fn09-6] (niet het kwadraat). Van deze absolute
afwijkingen bepalen we tenslotte weer de mediaan (niet het gemiddelde).
Het resultaat noemen we de "median absolute deviation" (MAD):
\begin{equation}
  \textrm{MAD} = k ~~ Md ( |x_i - Md(x) |)
  (\#eq:MAD)
\end{equation}

Hierbij gebruiken we meestal $k=1.4826$ als constante; door deze schaalfactor komt de MAD
ruwweg overeen met de standaarddeviatie $s$ indien $x$ normaal verdeeld
zou zijn (§\@ref(sec:normaalverdeling)).

---

> Voorbeeld 9.11:
> De mediaan van de eerder genoemde leesscores in
Tabel \@ref(tab:cito) is
25.5, en de afwijkingen van die mediaan zijn als volgt:\
-7.5, 6.5, 19.5, -0.5, 1.5, -2.5, 3.5, 0.5, -5.5, -0.5.\
De gerangschikte, absolute afwijkingen zijn\
0.5, 0.5, 0.5, 1.5, *2.5, 3.5*, 5.5, 6.5, 7.5, 19.5.\
De mediaan van deze 10 absolute afwijkingen is 3, en
$\textrm{MAD} = 1.4826 \times 3 = 4.4478$. Merk op dat de MAD kleiner is
dan de standaarddeviatie, o.a. omdat de MAD minder gevoelig is voor de
extreme waarde $x_3=45$.

---


## Over significante cijfers {#sec:significantecijfers}

### Gemiddelde en standaarddeviatie {#sec:significantecijfers-gemiddelde}

Een gemiddelde uitkomst wordt weergegeven in een beperkt aantal
significante cijfers, d.i. een beperkt aantal cijfers, van links naar
rechts geteld, zonder acht te slaan op het decimaalteken. Het aantal
significante cijfers van een gemiddelde uitkomst moet gelijk zijn aan
het aantal significante cijfers van het *aantal observaties* waarover is
gemiddeld. (Overige cijfers in de gemiddelde uitkomst zijn niet
nauwkeurig bepaald.) De gemiddelde uitkomst moet eerst afgerond worden
tot het gepaste aantal significante cijfers, voordat de uitkomst verder
geïnterpreteerd wordt, zie
Tabel \@ref(tab:signifcijfersgemiddelde).

Table: (#tab:signifcijfersgemiddelde) Het aantal significante cijfers in het gerapporteerde gemiddelde is gelijk aan het aantal significante cijfers van het aantal observaties. 

       aant.obs.     aant.signif.cijfers    voorbeeld gemiddelde    rapporteer als
  ----------------- --------------------- -----------------------  ----------------
      $1\dots9$              1                  21/8 = 2.625              3
     $10\dots99$             2                 57/21 = 2.714286          2.7
    $100\dots999$            3               317/120 = 2.641667          2.64
   $1000\dots9999$           4             3179/1234 = 2.576175         2.576

Het aantal significante cijfers in de gerapporteerde standaarddeviatie
is hetzelfde als in het gemiddelde, volgens
Tabel \@ref(tab:signifcijfersgemiddelde).

#### Achtergrond

Laten we aannemen dat ik de afstand van mijn huis naar mijn werk langs
een vaste route een aantal keren heb gemeten. Het gemiddelde van die
metingen bedraagt zogenaamd $2.954321$ km. Door het gemiddelde te
rapporteren met 7 cijfers suggereer ik hier dat ik precies weet dat de
afstand $2954321$ millimeter is, en ten hoogste $1$ mm meer of minder:
het laatste cijfer is geschat of afgerond. Het aantal significante
cijfers (in dit voorbeeld 7) geeft de mate van nauwkeurigheid aan. In
dit voorbeeld is de gesuggereerde nauwkeurigheid van 1 mm duidelijk
onjuist, o.a. omdat beginpunt en eindpunt niet tot op de millimeter
bepaald zijn. Het is daarom gebruikelijk om de gemiddelde gemeten
afstand te rapporteren met een aantal significante cijfers dat de
nauwkeurigheid van die metingen en van het gemiddelde aangeeft, bijv.
$3.0$ km (per auto of fiets) of $2.95$ km (te voet).

Dezelfde gedachtengang is van toepassing bij de meting van een kenmerk
door middel van een enquête-vraag. Met $n=15$ respondenten zou de
gemiddelde score $43/15 \approx 2.86667$ kunnen zijn. Maar de
nauwkeurigheid is in dit voorbeeld niet zo goed als dit decimale getal
suggereert. In feite zorgt hier één afwijkend antwoord al voor een
afwijking van $\pm0.06667$ in het gemiddelde. Bovendien is een
gemiddelde score altijd het resultaat van een deling, en "(bij) delen
en vermenigvuldigen geldt de regel dat de uitkomst evenveel significante
cijfers bevat als de meetwaarde met het kleinste aantal significante
cijfers."[^fn09-7] In dit voorbeeld bestaan de teller ($43$) en de noemer
($15$) van het gemiddelde beide uit 2 significante cijfers, en dient de
uitkomst dus ook uit 2 significante cijfers te bestaan. De gemiddelde
score dient gerapporteerd te worden als $2.9$ punten, met slechts één
cijfer achter het decimaalteken.

### Percentages

Een percentage is een verhouding of breuk, vermenigvuldigd met $100$.
Gebruik en rapporteer een afgerond percentage (d.i. twee significante
cijfers) alleen indien de noemer van de verhouding of breuk groter is
dan 100. Deze noemer geeft het aantal waarnemingen of gevallen. Als de
noemer kleiner is dan 100 (waarnemingen, gevallen), dan zijn percentages
misleidend, zie Tabel \@ref(tab:signifcijferspercentage).

Table: (#tab:signifcijferspercentage) Het aantal significante cijfers in de gerapporteerde  proportie (of percentage) hangt samen met het aantal significante cijfers van het aantal observaties in de noemer van de breuk.

   aant.obs.(noemer)   aant.signif.cijfers    voorbeeld breuk      rapporteer als
  ------------------- --------------------- --------------------  ----------------
      $1\dots9$              1                     3/8 = 0.4            3/8
     $10\dots99$             2                   21/57 = 0.36          21/57
    $100\dots999$            3                 120/317 = 0.378          38\%
   $1000\dots9999$           4               1234/3179 = 0.3882         38.8\%


#### Achtergrond

De regels voor percentages vloeien voort uit die in
§\@ref(sec:significantecijfers-gemiddelde) toegepast op delingen.
Als de noemer groter is dan 100 is het percentage (met twee significante
cijfers) het gevolg van een schaalverandering "naar beneden" (van een
noemer groter dan 100 naar een noemer van precies 100 percentagepunten).
De percentageschaal is minder nauwkeurig dan de oorspronkelijke
verhouding; de percentages zijn afgerond tot op twee significante
cijfers; het laatste significante cijfer van het percentage is dus
geborgd.

Als de noemer echter kleiner is dan 100 dan is het percentage (met twee
significante cijfers) het gevolg van een "oprekking naar boven" (van een
noemer kleiner dan 100 naar een noemer van precies 100
percentagepunten). De percentageschaal suggereert dan een
pseudo-nauwkeurigheid die er niet was in de oorspronkelijke verhouding,
en de nauwkeurigheid van de percentageschaal is vals. Als de noemer
kleiner is dan 100, zijn percentages dus misleidend.

---

> Voorbeeld 9.12:
> In een cursus van 29 studenten zijn er 23 studenten geslaagd. We spreken
dan vaak van een cursusrendement van $23/29=$ 79%. Toch is zo'n weergave
als percentage in dit geval misleidend. Laten we daarvoor eens kijken
naar de 6 gezakten. Je kunt beredeneren dat het aantal van 6 gezakten
een eigen afrondingsfout heeft van $1/2$ student; bij omzetting naar de
percentageschaal wordt ook deze afrondingsfout mee vergroot, zodat de
percentages minder nauwkeurig zijn dan de hele percentages (2
significante cijfers) suggereren. Of anders gezegd: het aantal van 6
gezakten (d.i. een getal met één significant cijfer) noopt ons om ook de
verhouding weer te geven met slechts één significant cijfer, en dus niet
als percentage. Rapporteer bij voorkeur de verhouding zelf ($23/29$), of
eventueel de "odds" ($23/6=4$) afgerond tot het juiste aantal
significante cijfers[^fn09-8].

---

Op grond van dezelfde overwegingen is een percentage met een decimaal
cijfer (d.i. met drie significante cijfers, bv. "36.1%") alleen zinnig
als de noemer van de verhouding of breuk groter is dan 1000.

---

> Voorbeeld 9.13:
> In 2013 startten 154 studenten met een tweejarige research master. Na 2
jaar waren 69 daarvan afgestudeerd. Het nominaal rendement voor dit
cohort is dan $69/154=$ 0.448052, af te ronden en te rapporteren als 45%
(niet als 44.81%).

---

## Keuzemoment {#sec:robuustefficient}

De verdeling van een variabele kun je op verschillende manieren
beschrijven. 
Als variabele $X$ gemeten is op het interval- of ratio-meetniveau, 
begin dan altijd met een histogram (§\@ref(sec:histogrammen)) 
en een boxplot (§\@ref(sec:boxplot)). 

De centrummaten en spreidingsmaten zijn te ordenen zoals in
Tabel \@ref(tab:centrumspreidingsmaten). 

Table: (#tab:centrumspreidingsmaten) Overzicht van besproken centrummaten en spreidingsmaten.

  Verdeling           Centrummaat                  Spreidingsmaat
  ------------------- ---------------------------  ----------------------
  alle                mediaan                      kwartielen, IQR, MAD
  ...                 getrimde of gewins.gemidd.   getrimde of gewins.std.dev.
  (a & b & c)         gemiddelde                   standaarddeviatie                     

De meest **robuuste** maten staan
bovenin (mediaan, kwartielen, IQR, MAD). Deze maten zijn robuust: ze
zijn weinig gevoelig voor uitbijters of voor eventuele *a*symmetrie in de
frequentieverdeling, zoals de voorbeelden in dit hoofdstuk laten zien.

De meest **efficiënte** maten staan onderin in
Tabel \@ref(tab:centrumspreidingsmaten): gemiddelde en standaarddeviatie.
Deze maten zijn efficiënt: ze geven het centrum en de spreiding het
beste weer, ze hebben zelf de kleinste standaarddeviatie, en ze hebben
daarvoor relatief het kleinste aantal observaties nodig. De andere maten
nemen een tussenpositie in: de getrimde maten zijn wat robuuster, en de
gewinsoriseerde maten wat efficiënter.

De meest efficiënte maten vereisen echter ook de meest vèrgaande
assumpties (en de meest robuuste maten vereisen de minste assumpties). 
Deze efficiënte maten zijn alleen zinnig, indien de verdeling van $X$
voldoet aan drie assumpties: (a) de verdeling is min of meer
symmetrisch, d.w.z. de linker- en rechter-helft van het histogram resp.
de bovenste en onderste helft van de boxplot lijken elkaars
spiegelbeeld, (b) de verdeling is unimodaal, d.w.z. de verdeling heeft
één modus, en (c) de verdeling bevat geen of nauwelijks uitbijters.
Inspecteer deze assumpties in het histogram en de boxplot van $X$. Als
aan één van deze assumpties niet is voldaan, dan doe je er beter aan om
meer robuuste maten te gebruiken om de verdeling te beschrijven.

## Standaardscores {#sec:standaardscores}

Soms kan het handig zijn om scores te vergelijken die gemeten zijn op
verschillende schalen. Bijvoorbeeld: Jan had een 8 als eindcijfer voor
wiskunde op het VWO, en zijn IQ is 136. Is de afwijking van Jan ten
opzichte van het gemiddelde even groot op beide schalen? Om zo'n vraag
te beantwoorden moeten we de scores van de twee variabelen uitdrukken op
dezelfde meetschaal. Dat doen we door de ruwe scores om te rekenen naar
standaard-scores, of z-scores. Hiervoor nemen we de afwijking van iedere
score ten opzichte van het gemiddelde, en we delen die afwijking door de
standaarddeviatie: 

\begin{equation}
    z_i = \frac{(x_i-\overline{x})}{s_x}
   (\#eq:zscores)
\end{equation}

De standaardscore of z-score
representeert dus de afstand van de $i$'de observatie tot het gemiddelde
van $x$, uitgedrukt in eenheden standaarddeviatie. Bij een
standaardscore van $z=-1$ is de geobserveerde score precies $1 \times s$
beneden het gemiddelde $\overline{x}$. Bij een standaardscore van $z=+2$
dan is de geobserveerde score precies $2 \times s$ boven het
gemiddelde[^fn09-9].

De z-scores zijn ook handig om twee variabelen te vergelijken die
weliswaar op dezelfde schaal gemeten zijn (bijvoorbeeld een schaal van
$1 \dots 100$), maar die toch verschillende gemiddelden en/of
verschillende standaarddeviaties hebben, zoals de scores in
Tabel \@ref(tab:cito). 
In Hoofdstuk \@ref(ch-kansverdelingen) zullen we verder werken met z-scores.

De standaardscore of z-score heeft twee handige eigenschappen die je
moet onthouden. Ten eerste is het gemiddelde altijd gelijk aan nul:
$\overline{z}=0$, en ten tweede is de standaarddeviatie gelijk aan 1:
$s_z = 1$. (Deze eigenschappen volgen uit de definitie in
formule \@ref(eq:zscores); het wiskundige bewijs laten we hier
achterwege.) Dus de transformatie van een verzameling observaties naar
standaardscores of z-scores levert altijd een verdeling op met een
gemiddelde van nul en een standaarddeviatie van één. Bedenk wel dat deze
transformatie naar standaardscores alleen zinnig is, indien en voor
zover het gemiddelde en de standaarddeviatie ook zinnige maten zijn om
de verdeling van $x$ te beschrijven (zie §\@ref(sec:robuustefficient)).

## SPSS

Voor **histogram, percentielen en boxplot**:
```
Analyze > Descriptive Statistics > Explore...
```

Selecteer variabele (sleep naar Variable(s) paneel)\
Kies `Plots`, vink aan: `Histogram`, en bevestig met `Continue`\
Kies `Options`, vink aan: `Percentiles`, en bevestig met `Continue` en
daarna met `OK`.\
De uitvoer bevat zowel beschrijvende statistiek als histogram en
boxplot.

Voor **kenmerkende getallen**:\
```
Analyze > Descriptive Statistics > Descriptives...
```

Selecteer variabele (sleep naar Variable(s) paneel)\
Kies `Options`; vink aan:
`Mean, Sum, Std.deviation, Variance, Minimum, Maximum`, en bevestig met
`Continue` en daarna met `OK`.\
De uitvoer bevat de gevraagde statistische kenmerken van de verdeling
van de variabele.\

Voor **mediaan**:\
```
Analyze > Compare Means > Means...
```

Selecteer variabele (sleep naar Variable(s) paneel)\
Kies `Options`; vink aan:
`Mean, Number of cases, Standard deviation, Variance, Minimum, Maximum`
en ook `Median`, en bevestig met `Continue` en daarna met `OK`.\
De uitvoer bevat de gevraagde statistische kenmerken van de verdeling
van de variabele.\

**Standaardscores** uitrekenen en bewaren in nieuwe kolom:\
```
Analyze > Descriptive Statistics > Descriptives...
```

Selecteer variabele (sleep naar Variable(s) paneel)\
Vink aan: `Save standardized values as variables` en bevestig met `OK`.\
De nieuwe variabele(n) met z-scores worden toegevoegd als nieuwe
kolom(men) aan het databestand.\

## JASP

Voor **histogram en boxplot**:\
Klik in de bovenbalk op `Descriptives`. Selecteer vervolgens de gewenste variabele(n) en plaats ze in het veld "Variables". Klik de balk `Plots` open en vink `Distribution plots` aan onder "Basic plots" voor een histogram (of staafdiagram, afhankelijk van het meetniveau). Vink `Boxplots` (met `Boxplot element`) aan onder "Customizable plots" voor een boxplot.

Voor **kenmerkende getallen en kwartielen/percentielen**:\
Klik in de bovenbalk op `Descriptives`. Selecteer vervolgens de gewenste variabele(n) en plaats ze in het veld "Variables". Klik de balk `Statistics` open en vink `Quartiles` aan onder "Percentile Values" om kwartielen te krijgen. Door `Cut points for:` aan te vinken en een getal in te vullen, kun je ook andere fractielen krijgen (bijvoorbeeld sextielen als je 6 invult). Door `Percentiles:` aan te vinken en een getal in te vullen, kun je ook een specifiek percentiel krijgen (bijvoorbeeld 44e percentiel als je 44 invult).\
Voor kenmerkende getallen, zoals centrummaten en spreidingsmaten, vink je `Mean`, `Median`, `Mode` en `Sum` aan onder "Central Tendency", en `Variance`, `Std.deviation`, `MAD Robust` (bij `MAD` is de constante op 1 gezet), `IQR`, `Minimum` en `Maximum` aan onder "Dispersion".\
De uitvoer is een tabel met alle opgevraagde beschrijvende statistiek van de variabele(n). 

**Standaardscores** moeten zelf worden uitgerekend als nieuwe variabele. Maak de nieuwe variabele aan door op de **+**-button te klikken rechts van de naam van de laatste kolom in de dataset. Er verschijnt een paneel "Create Computed Column", waar je een naam voor de nieuwe variabele kunt invullen, bijvoorbeeld `zLezen`. Ook kun je kiezen uit `R` en een aanwijshandje. Dit zijn de twee opties in JASP om formules te definiëren waarmee de nieuwe (lege) variabele wordt gevuld; met R code of met drag-and-drop in JASP. Hieronder wordt voor allebei de opties uitgelegd hoe we hiermee de variabele met standaardscores maken. Als laatste kun je aanvinken welk meetniveau de variabele moet krijgen; dat is in dit geval "Scale", net als de originele variabele. Klik vervolgens op `Create Column` om de nieuwe variabele aan te maken. De nieuwe variabele (kolom) verschijnt als meest rechtse in de data en is nog leeg.

Als `computed with R code` is gekozen als optie om de nieuwe variabele te definiëren, dan verschijnt er boven de data een veld met de tekst "Enter your R code here". Hier kan R code worden ingevoerd die met behulp van R functies de nieuwe variabele definieert. Om een standaardscore te berekenen kan de volgende code worden gebruikt (hier voor de variabele 'Lezen'):
```
((Lezen - mean(Lezen)) / sd(Lezen))
```
Vul de R code in, vul de overige velden ook in, en klik onderaan op `Compute column` om de lege variabele te vullen met de standaardscores.

*Rekenkundige bewerkingen op de variabelen zijn in JASP alleen mogelijk indien het meetniveau van alle gebruikte variabelen is ingesteld op 'Scale'.*

Als `drag-and-drop` (aanwijshandje) is gekozen als optie om de nieuwe variabele te definiëren, dan verschijnt er boven de data een veld met links daarvan de variabelen, boven wiskundige symbolen, en rechts een aantal functies. Hier kan handmatig de functie worden geselecteerd die de nieuwe variabele definieert. Om standaardscores te berekenen sleep je de variabele die je wilt omzetten in het lege veld. Klik dan bovenaan op $-$ en selecteer daarna uit het rechter menu de functie `mean(y)`. Sleep de om te zette variabele naar "values" en klik daarna bovenaan op $\div$. Selecteer in het rechter menu de functie `σy` voor op de puntjes onder het breukteken (als noemer) en sleep ook hier de om te zette variabele naar "values". Voor de variabele 'Lezen' zou dit er zo uitzien in het werkblad: \[\frac{(Lezen-mean(Lezen)}{\sigma Lezen}\]
Vul ook de overige velden in, en klik dan onderaan op `Compute column` om de lege variabele te vullen met de standaardscores.

*Rekenkundige bewerkingen op de variabelen zijn in JASP alleen mogelijk indien het meetniveau van alle gebruikte variabelen is ingesteld op 'Scale'.*

Als je een fout hebt gemaakt of als je de code of formule voor de nieuwe variabele wilt aanpassen, dan kan je altijd terugkeren naar dit 'Computed Column' veld door te klikken op het formule-symbool $f_x$ naast de variabele-naam, of door te klikken op de variabele-naam zelf. 

## R

Voor **kwartielen en boxplot** zoals Figuur \@ref(fig:cito-boxplot) gebruiken we de commando's `fivenum`, `quantile`, en `boxplot`: 
```{r cito-summary-boxplot}
require(foreign) # for foreign::read.spss
cito <- read.spss("data/cito.sav")
fivenum(cito$Lezen) # minimum, Q1, mediaan, Q3, maximum
quantile(cito$Lezen, c( 1/4, 3/4 ) ) # Q1 en Q3, anders berekend
op <- par(mar=c(4,4,1,2)+0.1) # smaller margins
with(cito, 
  boxplot(Lezen, Rekenen, col="grey80", lwd=2, lty=1, ylab="Score", ylim=c(17,45) )
)
axis(side=1, at=c(1,2), labels=c("Lezen","Rekenen") )
plotrix::axis.break(axis=2) # break in linker Y-as
rug(cito$Lezen, side=2) # markeringen linker Y-as
rug(cito$Rekenen, side=4) # markeringen rechter Y-as
```

Veel **centrummaten** zijn als functie in R voorgeprogrammeerd:
```{r cito-centrummaten}
mean(cito$Lezen) # gemiddelde
psych::winsor.mean(cito$Lezen, trim=.1) # gewinsoriseerde gemiddelde, uit psych package
mean(cito$Lezen, trim=.1) # getrimde gemiddelde
median(cito$Lezen)   # mediaan
```

Ook diverse **spreidingsmaten** zijn voorgeprogrammeerd:
```{r cito-spreidingsmaten}
var(cito$Lezen)  # variantie
sd(cito$Lezen)   # standaarddeviatie, sd(x) = sqrt(var(x))
mad(cito$Lezen)  # MAD
```

Daarentegen moeten we **standaardscores** zelf uitrekenen, en zelf bewaren als nieuwe variabele, hier  `zLezen` genoemd (let op de haakjes in de eerste regel):
```{r cito-zscores}
zLezen <- (cito$Lezen-mean(cito$Lezen)) / sd(cito$Lezen) # z-scores
head(zLezen) # eerste paar observaties van variabele zLezen
```



[^fn09-3]: Dit is vergelijkbaar met sporten als roeien, zwemmen, wielrennen, schaatsen, e.d., waar ook de tijd over een afgesproken afstand gemeten en vergeleken wordt, en niet de snelheid over een afgesproken tijd.

[^fn09-4]: In een klassieke boxplot strekken de lijnen zich uit naar het minimum en maximum [@Tukey77] en worden uitbijters niet apart aangeduid.

[^fn09-5]: We delen door $n-1$ en niet door $n$, om een betere schatting te krijgen van de spreiding in de *populatie*. Op deze manier houden we rekening met het feit dat we één kenmerk van de steekproef (nl. het gemiddelde) gebruiken om de spreiding te bepalen. Als je alleen geïnteresseerd bent in de spreiding in je *steekproef* van observaties, en niet in de populatie, deel dan door $n$.

[^fn09-6]: Positieve afwijkingen blijven ongewijzigd, van negatieve afwijkingen wordt het teken omgekeerd.

[^fn09-7]: <https://nl.wikipedia.org/wiki/Significant_cijfer>

[^fn09-8]: Deze "odds" geeft aan dat er 23 geslaagden zijn op 6 gezakten, d.i. afgerond 4 geslaagden voor iedere gezakte.

[^fn09-9]: Check: $z = +2 = \frac{(x_i-\overline{x})}{s_x}$, dus $2 s = (x_i-\overline{x})$, dus $x_i = \overline{x}+2s$.