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正誤表

該当ページ 該当箇所 補足 対応
p.23 問題 2.1 下 3 行目 質量を一単位の質量を 一単位の質量を 4 刷で修正
p.38 証明中 (c) の説明 $\boldsymbol{Q}^* \in \mathcal{U}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ $\boldsymbol{Q}^* \in \mathcal{U}(\boldsymbol{b}, \boldsymbol{c})$ 3 刷で修正
p.54 下から 13 行目 $\boldsymbol{g}_i$ $\boldsymbol{g}_j$ 4 刷で修正
p.54 下から 7 行目 $\boldsymbol{g}_i$ $\boldsymbol{g}_j$ 3 刷で修正
p.73 定理 2.19 の証明中 2 行目 二重対角行列 二重確率行列
p.74 定理 2.19 の証明中下から 3 行目 二重対角行列 二重確率行列
p.83 式 (2.147) の直前 変数 辺数 3 刷で修正
p.104 3.4 節 3 行目 無限解の反復の後 無限回の反復の後 3 刷で修正
p.104 3.4 節 4 行目 有限解で打ち止め 有限回で打ち止め 4 刷で修正
p.107 式 (3.53) $\sum_i \sum_j (\boldsymbol{A}_{ij} - \boldsymbol{a}_i)$ $\sum_i \sum_j \boldsymbol{A}_{ij} - \boldsymbol{a}_i$ 3 刷で修正
p.107, p.108 式 (3.53), (3.55) $(\lVert\boldsymbol{A} 1_m - \boldsymbol{a}\rVert_1 + \lVert \boldsymbol{A} \rVert_1 - m)$ $(\lVert\boldsymbol{A} 1_m - \boldsymbol{a}\rVert_1 + \lVert \boldsymbol{A} \rVert_1 - 1)$ 3 刷で修正
p.108 式 (3.55) (c) の次の等号 $= \lVert\boldsymbol{A} 1_m - \boldsymbol{a}\rVert_1 + 2\lVert\boldsymbol{A}^\top 1_n - \boldsymbol{b}\rVert_1 + 1 - m$ トル 3 刷で修正
p.108 式 (3.55) (c) の次の等号の次の不等号 $\le \lVert\boldsymbol{A} 1_m - \boldsymbol{a}\rVert_1 + 2\lVert\boldsymbol{A}^\top 1_n - \boldsymbol{b}\rVert_1$ $= \lVert\boldsymbol{A} 1_m - \boldsymbol{a}\rVert_1 + 2\lVert\boldsymbol{A}^\top 1_n - \boldsymbol{b}\rVert_1$ 3 刷で修正
p.115, p.116 定理 3.11 および証明中 $\boldsymbol{u}^{(0)}, \boldsymbol{u}^*$ $\boldsymbol{v}^{(0)}, \boldsymbol{v}^*$ 3 刷で修正
p.125 式 (3.110) $\hat{\boldsymbol{P}}^*$ $\boldsymbol{P}^*$ 3 刷で修正
p.127 証明後 3 行目 また,この狭義凸性は定理 3.22 でシンクホーンダイバージェンスの公理を証明する際にも用いられます. トル 定理 3.22 の証明で用いるのはこの形ではなく、この表現は誤りでした。 3 刷で修正
p.140 図 3.7 の軸ラベル $x, y$ $y, x$ $x$$y$ の位置が逆 3 刷で修正
p.141, 142 定理 3.22 の証明 $\boldsymbol{u} \propto \boldsymbol{K}_{:, 1} / \boldsymbol{P}^*_{:, 1}$, $\boldsymbol{v} \propto \boldsymbol{K}_{1, :} / \boldsymbol{P}^*_{1, :}$ $\boldsymbol{u} \propto \boldsymbol{P}^*_{:, 1} / \boldsymbol{K}_{:, 1}$, $\boldsymbol{v} \propto \boldsymbol{P}^*_{1, :} / \boldsymbol{K}_{1, :}$
p.141, 142 定理 3.22 の証明 $\phi(\boldsymbol{a}) \stackrel{\text{def}}{=} - \frac{1}{2}\text{OT}_{\varepsilon}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{a}, \boldsymbol{C})$ $\phi(\boldsymbol{a}) \stackrel{\text{def}}{=} - \frac{1}{2}\text{OT}_{\varepsilon}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{a}, \boldsymbol{C}) - \varepsilon H(\boldsymbol{a})$ ※1 3 刷で修正
p.145 アルゴリズム 3.7 の 9 行目 $\text{Diag}(\boldsymbol{u}) \boldsymbol{K} \text{Diag}(\boldsymbol{v})$ $\text{Diag}(\boldsymbol{u}) \boldsymbol{L}^{(k)} \text{Diag}(\boldsymbol{v})$ 3 刷で修正
p.156 式 (4.16) の直後 $\lVert f(\boldsymbol{x})\rVert_* \le 1$ $\lVert \nabla f(\boldsymbol{x})\rVert_* \le 1$ 3 刷で修正
p.173 1 行目 $y_m$ $y_n$ 3 刷で修正
p.179 アルゴリズム 5.1 の 3 行目 $i < n$ または $j < m$ $i \le n$ または $j \le m$ 3 刷で修正
p.185 下から 3 行目 $C(x, y) = (x - y)^p$ $C(x, y) = |x - y|^p$ 3 刷で修正
p.193 下から 4 行目 $\nabla_{\theta} W_p(f_{\theta \sharp} \alpha, f_{\theta \sharp} \alpha)$ $\nabla_{\theta} W_p(f_{\theta \sharp} \alpha, f_{\theta \sharp} \beta)$ 3 刷で修正
p.200 最終行 特に,直接接続されている先祖を親,直接接続されている子孫を子といいます. 特に,直接接続されている先祖を親,直接接続されている子孫を子といいます.頂点 $v$ の親を $p(v)$ と表記します.
p.229 式 (6.49) ※2 ※3
p.233 表 6.1 全変動距離の sup の範囲 $\|f\|_1 \le 1$ $\|f\|_\infty \le 1$
p.248 定理 6.27 下から 2 行目 $\{x_1, \ldots, x_n \{y_1, \ldots, y_n\}$ $\{x_1, \ldots, x_n\}, \{y_1, \ldots, y_n\}$ 3 刷で修正
p.262 アルゴリズム 7.1 の入力 確率ベクトル $\boldsymbol{a} \in \Sigma_n, \boldsymbol{b} \in \Sigma_m$ 非負ベクトル $\boldsymbol{a} \in \mathbb{R}^n_{\ge 0}, \boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^m_{\ge 0}$ 3 刷で修正
p.266 例 8.1 $W_p^p(\delta_x, \delta_y)$ $W_p(\delta_x, \delta_y)^p$ 3 刷で修正
p.286 1 行目と式 (9.7) $U(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ $\mathcal{U}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ 3 刷で修正
p.293 式 (9.25), (9.26) $\mathcal{U}(\alpha, \beta)$ $\mathcal{U}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ 3 刷で修正

※1 定理 3.22 の証明で用いるべき $\phi$ の定義が誤りでした。また、定理 3.22 の証明中の議論も併せて変更する必要があります。具体的には、 $\phi$ の凸性の証明は定理 3.17 ではなく、Feydy [29, Proposition 4] によります。また、 $\nabla_{\boldsymbol{a}} \phi(\boldsymbol{a}) = - \nabla_1 \text{OT}_{\varepsilon}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{a}, \boldsymbol{C}) - \varepsilon \nabla_{\boldsymbol{a}} H(\boldsymbol{a})$ となります。式 (3.142) とその直前の議論においては、勾配を取る対象は $\text{OT}_{\varepsilon}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{C})$ ではなく $\text{OT}_{\varepsilon}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{C}) + \varepsilon H(\boldsymbol{a})$ となります。これが $\boldsymbol{a}$ について凸であることは Feydy [29] より従います。式 (3.143) においては、両辺から引くのは $\frac{1}{2} \text{OT}_{\varepsilon}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{a}, \boldsymbol{C}) + \frac{1}{2} \text{OT}_{\varepsilon}(\boldsymbol{b}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{C})$ ではなく、 $\frac{1}{2} \text{OT}_{\varepsilon}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{a}, \boldsymbol{C}) + \frac{1}{2} \text{OT}_{\varepsilon}(\boldsymbol{b}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{C}) + \varepsilon H(\boldsymbol{a})$ となります。

※2

$$ \phi^*(x) = \begin{cases} x & (-1 \le x \le 1) \\ -1 & (x < -1) \\ \infty & (x > 1)\end{cases} $$

※3

$$\phi^*(x) = \begin{cases} x & (-1 \le x \le 1) \\ \infty & (|x| > 1)\end{cases}$$