-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
calculo_cheat_sheet
219 lines (146 loc) · 7.52 KB
/
calculo_cheat_sheet
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
\documentclass[a4paper,10pt,landscape]{article}
\usepackage{multicol}
\usepackage{calc}
\usepackage{ifthen}
\usepackage[landscape]{geometry}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{blindtext}
\newcommand{\Lim}[1]{\raisebox{0.5ex}{\scalebox{0.8}{$\displaystyle \lim_{#1}\;$}}}
\ifthenelse{\lengthtest { \paperwidth = 11in}}
{ \geometry{top=.5in,left=.5in,right=.5in,bottom=.5in} }
{\ifthenelse{ \lengthtest{ \paperwidth = 297mm}}
{\geometry{top=1cm,left=1cm,right=1cm,bottom=1cm} }
{\geometry{top=1cm,left=1cm,right=1cm,bottom=1cm} }
}
\pagestyle{empty}
\makeatletter
\renewcommand{\section}{\@startsection{section}{1}{0mm}%
{-1ex plus -.5ex minus -.2ex}%
{0.5ex plus .2ex}%x
{\normalfont\large\bfseries}}
\renewcommand{\subsection}{\@startsection{subsection}{2}{0mm}%
{-1explus -.5ex minus -.2ex}%
{0.5ex plus .2ex}%
{\normalfont\normalsize\bfseries}}
\renewcommand{\subsubsection}{\@startsection{subsubsection}{3}{0mm}%
{-1ex plus -.5ex minus -.2ex}%
{1ex plus .2ex}%
{\normalfont\small\bfseries}}
\makeatother
\def\BibTeX{{\rm B\kern-.05em{\sc i\kern-.025em b}\kern-.08em
T\kern-.1667em\lower.7ex\hbox{E}\kern-.125emX}}
\setcounter{secnumdepth}{0}
\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\parskip}{0pt plus 0.5ex}
% -----------------------------------------------------------------------
\begin{document}
\raggedright
\footnotesize
\begin{multicols}{3}
\setlength{\premulticols}{1pt}
\setlength{\postmulticols}{1pt}
\setlength{\multicolsep}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2pt}
\begin{center}
\Large{\textbf{Resumo Cálculo}} \\
\end{center}
\section{Propriedades dos limites}
\begin{enumerate}[leftmargin=*]
\item \textbf{Propriedade da unicidade do limite}
Se $\Lim{x\rightarrow a}f(x)=L$ e $\Lim{x\rightarrow a}f(x)=M$, então $L=M$
\item \textbf{Propriedade do limite de uma função constante}
Se $f(x)=k$ para todo $x$ real, então para qualquer $a$ real:\\
$\Lim{x\rightarrow a}f(x)=\Lim{x\rightarrow a}k=k$
\item \textbf{Propriedade da soma e subtração de limites}
Se $\Lim{x\rightarrow a}f(x)=L$ e $\Lim{x\rightarrow a}g(x)=M$ então:\\
$\Lim{x\rightarrow a}(f(x)\pm g(x))=\Lim{x\rightarrow a}f(x)\pm\Lim{x\rightarrow a}g(x)=L\pm M$
\item \textbf{Propriedade da multiplicação por escalar do limite}
Para qualquer constante $k$ e $\Lim{x\rightarrow a}f(x)=L$:\\
$\Lim{x\rightarrow a}(k\cdot f(x))=k\cdot\Lim{x\rightarrow a}f(x)=k\cdot L$
\item \textbf{Propriedade da multiplicação de limites}
Se $\Lim{x\rightarrow a}f(x)=L$ e $\Lim{x\rightarrow a}g(x)=M$ então:\\
$\Lim{x\rightarrow a}(f(x)\times g(x))=\Lim{x\rightarrow a}f(x)\times\Lim{x\rightarrow a}g(x)=L\times M$
\item \textbf{Propriedade da divisão de limites}
Se $\Lim{x\rightarrow a}f(x)=L$ e $\Lim{x\rightarrow a}g(x)=M$ e $M\neq 0$ então:\\
$\Lim{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\Lim{x\rightarrow a}f(x)}{\Lim{x\rightarrow a}g(x)}=\frac{L}{M}$
\item \textbf{Propriedade da potência de limites}
Se $\Lim{x\rightarrow a}f(x)=L$ então:\\
$\Lim{x\rightarrow a}(f(x))^n=(\Lim{x\rightarrow a}f(x))^n=L^n$
\item \textbf{Propriedade da exponencial do limite}
Se $\Lim{x\rightarrow a}f(x)=L$ e $b\in R$ então:\\
$\Lim{x\rightarrow a}b^{f(x)}=b^{\Lim{x\rightarrow a}f(x)}=b^L$
\item \textbf{Propriedade do logarítmo do limite}
Se $\Lim{x\rightarrow a}f(x)=L$, $L>0$, $b\in R$, $b>0$ e $b\neq 1$ então:\\
$\Lim{x\rightarrow a}(\log_b{f(x)})=\log_b{(\Lim{x\rightarrow a}f(x))}=\log_b{L}$
\item \textbf{Propriedade da raiz do limite}
Se $\Lim{x\rightarrow a}f(x)=L$, $n \in N$ e $L>0$ quando $n$ for par:\\
$\Lim{x\rightarrow a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\Lim{x\rightarrow a}f(x)}=\sqrt[n]{L}$
\item \textbf{Propriedade do confronto do limite}
Se $\Lim{x\rightarrow a} h(x) = \Lim{x\rightarrow a} g(x) = L$ tal que $h(x)\leq f(x) \leq g(x)$ então:\\
$\Lim{x\rightarrow a}f(x)=L$
\item \textbf{Propriedade dos polinômios}
Seja $p(x)=b_n x^n + b_{n-1} x^{n-1} + \ldots + b_1 x + b_0$ um polinômio qualquer onde $b_n$ são constantes arbitrárias, temos:\\
$\Lim{x\rightarrow a}p(x)=\Lim{x\rightarrow a}(b_n x^n + b_{n-1} x^{n-1} + \ldots + b_1 x + b_0)=$\\
$=\Lim{x\rightarrow a}b_n x^n + \Lim{x\rightarrow a}b_{n-1} x^{n-1}+\ldots+\Lim{x\rightarrow a}b_1 x+\Lim{x\rightarrow a}b_0=$\\
$=b_n\Lim{x\rightarrow a}x^n + b_{n-1}\Lim{x\rightarrow a}x^{n-1}+\ldots+b_1\Lim{x\rightarrow a}x+b_0\Lim{x\rightarrow a}=p(a)$\\
Portanto:\\
$\Lim{x\rightarrow a}p(x)=p(a)$
\item \textbf{Propriedade da divisão de polinômios}
Nos limites na forma $\Lim{x\rightarrow \pm\infty}\frac{p(x)}{q(x)}$ em que $p$ e $q$ são polinômios em $x$ prevalecem os termos de maior grau de ambos os polinômios quando formos calcular o limite ou seja se:\\
$p(x)=a_m x^m + a_{m-1} x^m + \ldots + a_1 x + a_0$\\
$q(x)=b_n x^n + b_{n-1} x^n + \ldots + b_1 x + b_0$\\
então:
$\Lim{x\rightarrow \pm\infty}\frac{p(x)}{q(x)}=\Lim{x\rightarrow \pm\infty}\frac{a_m x^m}{b_n x^n}$
\end{enumerate}
\section{Limites fundamentais}
\begin{enumerate}[leftmargin=*]
\item $\Lim{x\rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{x}=1$
\item $\Lim{x\rightarrow \pm\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$
\item $\Lim{x\rightarrow 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln{a}$
\end{enumerate}
\section{Indeterminação de limites}
A indeterminação de limites ocorre quando nos deparamos com as seguintes situações
\begin{center}
\begin{tabular}{cccc}
$\frac{0}{0}$ & $0^0$ & $1^\infty$ & $\infty^0$\\[0.2cm]
$\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$ & $(+\infty)-(+\infty)$ & $(-\infty)+(+\infty)$ & $0\cdot(\pm\infty)$
\end{tabular}
\end{center}
Existem 3 modos de eliminar as indeterminações:
\begin{enumerate}[leftmargin=*]
\item \textbf{Fatoração (Briot-Rufini)}\\
Exemplo: $\Lim{x\rightarrow 2}\frac{x^3-8}{x-2}=\frac{0}{0}$\\
Fatorando obtemos: $\Lim{x\rightarrow 2}\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2}$\\
Simplificando temos: $\Lim{x\rightarrow}(x^2+2x+4)=12$
\item \textbf{Racionalização}
Exemplo: $\Lim{x\rightarrow 1}\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}=\frac{0}{0}$\\
Nesse caso multiplicamos o numerador e o denominador pelo termo com a raíz, porém com sinal trocado:\\
$\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}=\frac{(x-1)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\frac{(x-1)(\sqrt{x}-1)}{(x-1)}=\sqrt{x}+1$\\
Portanto: $\Lim{x\rightarrow 1}\sqrt{x}+1$=2
\item \textbf{Mudança de variável}
Podemos utilizar um método algébrico de substituição de variáveis.\\
Exemplo: $\Lim{x\rightarrow +\infty}\frac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x}=\frac{+\infty}{+\infty}$\\
Fazemos $y=\sqrt[3]{x+1}$, elevando ao cubo temos $y^3=x+1$ e $x=y^3-1$\\
Precisamos também converter o ponto que se quer saber o limite de $x$ para $y$. Podemos dizer que, a partir da equação $y=\sqrt[3]{x+1}$, que quando $x\rightarrow +\infty$, $y\rightarrow +\infty$\\
Substituindo temos: $\Lim{y\rightarrow +\infty}\frac{y-1}{(y-1)(y^2+y+1)}=\frac{1}{+\infty}=0$
\item \textbf{Regra de L'Hospital}
Usada para resolver indeterminações do tipo $\frac{\infty}{\infty}$ ou $\frac{0}{0}$
\end{enumerate}
\section{Continuidade de uma função}
Uma função $f(x)$ é contínua em $x=0$ apenas se as condições abaixo forem satisfeitas:\\
\begin{enumerate}[leftmargin=*]
\item $f(a)$ está definida
\item $\Lim{x\rightarrow a}f(x)$ existir
\item $\Lim{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$
\end{enumerate}
\subsection{Fatoração}
\blindtext
\subsection{Racionalização}
\blindtext
\subsection{Mudança de variável}
\blindtext
\end{multicols}
\end{document}