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Gmsh

Gmsh 是一款带有简单 CAD 和后处理功能的三维有限元网格生成软件。在遵守 GPL 条款的前提下，用户可以修改或重新发布其源代码。初学者可以直接下载运行预编译版。

本文档是基于《Gmsh Reference Manual》编写的阅读笔记，不是原文的完整翻译，也没有严格遵循原文的结构。部分术语保留英文是为了方便读者查阅原始文档。

Gmsh 可以按三种方式来使用：

人机互动的 GUI 程序
脚本驱动的 CLI 程序
C++、C、Python、Julia 程序库

其中脚本驱动程序是学习性价比最高的一种：

绝大多数 GUI 功能都有对应的脚本命令，每一条 GUI 操作都会被记录在脚本文件中。
在 GUI 中可以很容易地打开或加载脚本文件：
```
Modules
  Geometry
    Reload script
    Edit script
```
建议：在脚本文件中定义简单几何实体，在 GUI 中执行选择或变换等更加复杂的操作。

命令行参数

在终端中，可以直接令 Gmsh 完成网格生成和输出操作：

gmsh t1.geo -2

常用命令行参数：

参数	功能
`-1`/`-2`/`-3`	生成相应维数的网格
`-o filename`	将网格输出到指定文件
`-format string`	选择网格文件格式，例如 `msh4`、`msh2`、`vtk`
`-bin`	以二进制模式输出
`-part n`	将网格分割为 `n` 块 (用于并行计算)

详见《Gmsh command-line interface》。

脚本语法

Gmsh 自定义了一种脚本语言，用各种命令驱动主程序完成

几何建模
网格生成
网格输出

这些命令以字符形式存储于 GEO 文件（即 .geo 文件）中。当 GEO 文件被加载时，文本解析器 (parser) 会将字符形式的命令解析到对应的可执行代码。 GEO 命令的语法与 C++ 较为接近。在代码编辑器（如 Visual Studio Code）中，将 GEO 文件的语言设置为 C++，可以高亮显示一些信息，有助于提高可读性。

《Gmsh Reference Manual》采用如下符号约定：

关键词用 UpperCamelCase 或 Upper Camel Case 表示。
变量用 lowerCamelCase 表示。
变量与定义之间用 : 分隔。
可选项置于 < > 中。
可替换项用 | 分隔。
重复项用 ... 表示。

通用命令及选项

在这里，通用指的是某项功能不专属于几何、网格、求解器、后处理模块。

注释

注释是给人阅读的辅助信息，parser 会忽略这些内容。 GEO 文件里的注释采用 C++ 风格：

// 后一行以内的内容均为注释；
从 /* 到 */ 之间的所有内容均为注释。

除注释以外，所有空白字符（空格 ' '，制表符 \t，换行符 \n）也都被 parser 忽略。

表达式

GEO 表达式的取值有两种类型：字符型，浮点型（没有整型）。对于计算结果有确定取值类型的表达式，可以根据计算结果的类型将其归为浮点型表达式 (Floating Point Expressions) 或字符型表达式 (Character Expressions)。此外，还有一种计算结果类型不定的表达式，专门用于表示颜色信息，因此称为颜色表达式 (Color Expressions)。

浮点型表达式

符号后接 ~{floatExpr} 表示用 _ 将该符号和 floatExpr 的计算结果串接 (concatenate) 起来。例如：

For i In {1:3}
    x~{i} = i;
EndFor

其中 i 的取值为 1、2、3，所以 x~{i} 等价于 x_1、x_2、x_3，而上述循环等价于：

x_1 = 1;
x_2 = 2;
x_3 = 3;

[] 用于从列表中抽取一项，# 用于获取列表长度。

Entity{:} 表示提取所有同类实体。其中 Entity 可以是 Point、Curve、Surface、Volume 之一。

预定义的浮点型表达式：

Pi  // 3.1415926535897932
GMSH_MAJOR_VERSION  // Gmsh 主版本号
GMSH_MINOR_VERSION  // Gmsh 次版本号
GMSH_PATCH_VERSION  // Gmsh 补丁版本号
MPI_Size  // 总进程数，通常为 1, 除非编译时设置了 ENABLE_MPI
MPI_Rank  // 当前进程的 rank
Cpu          // 当前 CPU 时间，单位为 second
Memory       // 当前内存用量，单位为 MB
TotalMemory  // 可用内存总量，单位为 MB
newp    // 下一个可用的 Point tag
newl    // 下一个可用的 Curve tag，较早的版本里将 Curve 称为 Line，因此这里为 l
news    // 下一个可用的 Surface tag
newv    // 下一个可用的 Volume tag
newll   // 下一个可用的 Curve Loop tag，较早的版本里将 Curve 称为 Line，因此这里为 l
newsl   // 下一个可用的 Surface Loop tag
newreg  // 下一个可用的 REGion tag，即 max(new*，physicalTags)

字符型表达式

预定义的字符型表达式：

Today  // 以字符形式表示的当前日期
GmshExecutableName  // 当前所用 Gmsh 可执行文件的完整路径
CurrentDirectory | CurrentDir  // 当前 GEO 文件所在目录

预定义的返回字符型结果的函数：

// 提取文件名前缀，即除去扩展名：
StrPrefix("hello.geo")  // 返回 "hello"
// 提取相对路径，即除去文件名前的路径：
StrRelative("/usr/bin/gcc")  // 返回 "gcc"
// 串接字符串：
StrCat("hello", ", ", "world")  // 返回 "hello, world"
// 串接字符串，但字符串之间添加换行符 '\n'
Str("hello", ", ", "world")     // 返回 "hello\n, \nworld"
// 根据第一个表达式的值是否为零，输出后两个字符串之一：
StrChoice(1, "hello", "world")  // 返回 "hello"
StrChoice(0, "hello", "world")  // 返回 "world"
// 提取子字符串：
StrSub("hello, world", 7, 11)  // 返回 "world"
StrSub("hello, world", 7)      // 返回 "world"
// 转换为大写形式：
UpperCase("hello, world")  // 返回 "HELLO, WORLD"
// 类似于 C 标准库函数 sprintf：
Sprintf("%g", Pi)  // 返回 "3.14159"
// 获取环境变量的值：
GetEnv("HOME")  // 返回当前用户家目录绝对路径
// 子字符串替换：
StrReplace("hello, world", "o", "O")  // 返回 "hellO, wOrld"
// 其他一些不常用的函数：
AbsolutePath(filename) 
DirName(filename)
GetString(charExpr<, charExpr>)
GetStringValue(charExpr, charExpr)
NameToString(string)
N2S(string)
DefineString(charExpr, onelabOptions)

颜色表达式

颜色表达式 (Colors Expressions) 用于表示颜色信息，可以是以下任意一种形式：

colorName
{red, green, blue}  // [0, 255] 之间的整数，表示红绿蓝分量数值
{red, green, blue, alpha}  // 前三个同上，最后一个表示透明度
colorOption

运算符

GEO 文件里的运算符与 C/C++ 里的同名运算符类似。但有一个例外：这里的逻辑或 (logical or) 运算符 || 总是会对其两侧的表达式求值；而在 C/C++ 里，只要第一个表达式的值为 true，则不会对第二个表达式求值。

运算符优先级：

(), [], ., #
^
!, ++, --, -（单目）
*, /, %
+, -（双目）
<, >, <=, >=
==, !=
&&
||
?:
=, +=, -=, *=, /=

内置函数

所有函数名的首字母均为大写，除以下几个函数以 F 为首字母外，其余函数均为其本名（如 Sin、Cos、Tan）：

函数	功能
`Fabs(x)`	绝对值
`Fmod(X, y)`	`x % y`，结果与 `x` 同号

详见《Built-in functions》。

自定义宏

暂时不用。

控制流

从 begin 到 end，含起止项，步进为 step（默认值为 1）：

// 不使用循环指标时：
For (begin : end : step)
    ...
EndFor
// 使用循环指标时：
For i In {begin : end : step}
    ...
EndFor

条件分支：

If (condition)
    ...
ElseIf (condition)
    ...
Else
    ...
EndIf

通用命令

一些常用命令：

Abort;  // 中断解析当前脚本
Exit;   // 退出 Gmsh
Merge filename;  // 将指定文件中的数据合并到当前模型
// 相当于 C 标准库函数 printf：
Printf("%g", Pi);  // 在终端或 GUI 信息栏输出 "3.14159"
Printf("%g", Pi) > "temp.txt";  // 输出到指定文件

详见《General scripting commands》

通用选项

暂时不用。

几何模块

CAD 内核

CAD 内核可以在 GEO 文件头部通过以下命令之一设定：

SetFactory("Built-in");
SetFactory("OpenCASCADE");

第一种为 Gmsh 自带的简易 CAD 内核，只支持一些简单几何对象的创建和操作。由于采用了边界表示法 (Boundary Representation)，所有几何实体必须自底向上 (bottom-up) 创建：

先创建 Point，
再以 Points 为边界或控制点创建 Curve，
再以 Curves 为边界创建 Surface，
最后以 Surfaces 为边界创建 Volume。

第二种为开源 CAD 系统 OpenCASCADE 的内核，支持一些高级几何对象的创建和操作。如果没有特殊的需求，建议使用这种内核。

创建初等实体

只具有几何意义的对象称为初等实体 (elementary entity)。初等实体在创建时，被赋予一个正整数（非正整数为系统保留）编号，《Gmsh Reference Manual》称其为标签 (tag)。这些 tag 满足：

每个初等 Point 具有唯一的 tag
每个初等 Curve 具有唯一的 tag
每个初等 Surface 具有唯一的 tag
每个初等 Volume 具有唯一的 tag

多数命令的语法与 C++ 相同，尤其要注意：每个语句最后的 ; 不能省略。

圆括号 () 中的编号表示创建一个新的实体。
花括号 {} 中的编号表示引用一个已有的实体。
尖括号 <> 中的内容为可选项。

`Point`s

创建三维点：

Point(pointTag) ={
    x, y, z  // 直角坐标分量
    <, /* 单元尺寸 */elementSize>
};

`Curve`s

通过连接两点创建直线段：

Line(curveTag) = {startPointTag, endPointTag};

通过一组点创建样条曲线：

 Bezier(curveTag) = {pointTagList};
BSpline(curveTag) = {pointTagList};
 Spline(curveTag) = {pointTagList};

创建圆弧：

// Built-in 或 OpenCASCADE 均可。
// 如果使用 Built-in 内核，则弧度必须严格小于 Pi：
Circle(curveTag) ={
    startPointTag,
    centerPointTag,
    endPointTag
};
// 必须用 OpenCASCADE 内核：
Circle(curveTag) ={
    centerX, centerY, centerZ,
    radius<, startAngle, endAngle>
};

`Surface`s

如果使用 built-in 内核，必须按以下流程：

// 先创建一个或多个“曲线环 (Curve Loop)”：
Curve Loop(curveLoopTag) = {curveTagList};
// 再创建平面区域：
Plane Surface(surfaceTag) = {curveLoopTagList};

其中，第一个曲线环表示外边界，其余曲线环表示内边界。一个有效的曲线环必须满足：

封闭;
列表中的曲线有序 (ordered) 并且具有相同取向 (oriented)，曲线标签前加负号表示反向。

如果使用 OpenCASCADE 内核，可以通过以下命令快速创建平面区域：

Disk(surfaceTag) = {
    centerX, centerY, centerZ,
    radius  // 圆
};
Disk(surfaceTag) = {
    centerX, centerY, centerZ,
    radiusX, radiusY  // 椭圆
};
Rectangle(surfaceTag) = {
    cornerX, cornerY, cornerZ,  // 左下角
    width, height<, /* 圆角半径 */radius>
};

`Volume`s

如果使用 built-in 内核，必须按以下流程：

// 先创建一个或多个“曲面环 (Surface Loop)”：
Surface Loop(surfaceLoopTag) = {surfaceTagList};
// 再创建空间区域（三维流形）：
Volume(volumeTag) = {surfaceLoopTagList};

其中，第一个曲面环表示外边界，其余曲面环表示内边界。一个有效的曲面环必须满足：

封闭；
列表中的曲面有序 (ordered) 并且具有相同取向 (oriented)，曲面标签前加负号表示反向。

如果使用 OpenCASCADE 内核，可以通过以下命令快速创建空间区域（三维流形）：

Sphere(volumeTag) = { 
    centerX, centerY, centerZ,
    radius
};
Box(volumeTag) = {
    cornerX, cornerY, cornerZ,
    dX, dY, dZ
};
Cylinder(volumeTag) = { 
    centerX, centerY, centerZ,
    axisX, axisY, axisZ,
    radius<, angle>
};
Torus(volumeTag) = { 
    centerX, centerY, centerZ,
    radiusOuter, radiusInner<, angle>
};
Cone(volumeTag) = { 
    centerX, centerY, centerZ,
    axisX, axisY, axisZ,
    radiusOuter, radiusInner<, angle>
};
Wedge(volumeTag) = { 
    cornerX, cornerY, cornerZ,
    dX, dY, /* 延伸方向 */dZ<, /* 顶面宽度 */topX>
};

复合实体

复合实体仍然是几何实体，它由多个具有相同维度的初等实体组成。在生成网格时，这些初等实体的整体将被视作一个几何实体，即允许一个单元跨越多个初等实体的边界。

Compound Curve(curveTag) = {curveTagList};
Compound Surface(surfaceTag) = {surfaceTagList};

通过拉伸创建

通过拉伸低维实体来创建高维实体：

// 通过 平移 拉伸：
Extrude{
    vectorX, vectorY, vectorZ  // 平移向量
}{
    entityList  // 被拉伸对象
}
// 通过 旋转 拉伸：
Extrude{
    {axisX, axisY, axisZ},     // 旋转轴
    {pointX, pointY, pointZ},  // 旋转轴上任意一点
    angle
}{
    entityList  // 被拉伸对象
}
// 通过 平移 + 旋转 拉伸：
Extrude{
    {vectorX, vectorY, vectorZ},  // 平移向量
    {axisX, axisY, axisZ},        // 旋转轴
    {pointX, pointY, pointZ},     // 旋转轴上任意一点
    angle
}{
    entityList  // 被拉伸对象
}

创建物理实体

一组相同维度的初等实体可以组合成一个物理实体 (physical entity)，以便赋予它们物理意义。例如：材料属性、载荷分布、边界条件等。

每个物理实体也有唯一的 tag，这里的唯一也是针对同一维度的物理实体而言的。除此之外，每个物理实体还可以有一个字符串表示的名称。

Physical Entity(tag | name<, tag>) <+|->= {entityTagList};

这里的 Entity 可以是 Point、Curve、Surface、Volume 中的任意一个。

编辑几何实体

布尔运算

布尔运算 (Boolean Operation) 就是将几何区域看作点集的集合运算。只有 OpenCASCADE 内核支持布尔运算。所有布尔运算都是通过一条作用在两个实体列表上的指令来完成的：

BooleanOperation{passiveEntityList}{toolEntityList}

BooleanOperation 代表某种布尔运算，可以是 BooleanIntersection、BooleanUnion、BooleanDifference 之一。

passiveEntityList 代表被动 (passive) 实体列表，toolEntityList 代表工具 (tool) 实体列表，它们可以是

<Physical> Curve | Surface | Volume{tagList};  // ; 不能省略
<... | Delete;>  // 运算完成后删去对应的实体

新版 Gmsh 支持将运算结果存储为新的实体：

BooleanOperation(newEntityTag) = {passiveEntityList}{toolEntityList};

示例：

SetFactory("OpenCASCADE");
Rectangle(1) = {-5, -5, 0, 10, 10};
Disk(2) = {0, 0, 0, 2};
BooleanDifference(news) = {Surface{1}; Delete;}{Surface{2}; Delete;};
Mesh 2;

demos/boolean 中有更多示例。

几何变换

// 按相同比例放缩：
Dilate{
    {centerX, centerY, centerZ}, 
    factor
}{entityList}
// 按不同比例放缩：
Dilate{
    {centerX, centerY, centerZ},
    {factorX, factorY, factorZ}
}{entityList}
// 旋转：
Rotate{
    {axisX, axisY, axisZ},
    {pointX, pointY, pointZ},
    angle
}{entityList}
// 关于平面对称：
Symmetry{
    A，B，C，D  // A*x + B*y + C*z + D = 0
}{entityList}
// 平移：
Translate{
    {vectorX, vectorY, vectorZ},  // 平移向量
}{entityList}

其中 entityList 可以是

<Physical> Point | Curve | Surface | Volume{tagList}; ...
// 或
Duplicata{<Physical> Point | Curve | Surface | Volume{tagList}; ...};

提取边界

// 提取边界上低一维的实体，返回其标签：
Boundary{entityList}
// 提取边界上低一维的实体，作为一个复合实体返回其标签：
CombinedBoundary{entityList}
// 提取边界上的点，返回其标签：
PointsOf{entityList}

删除

删除坐标相同的冗余点：
Coherence;
删除列表中的实体：
<Recursive> Delete{Entity{tagList}; ...};

这里的 Entity 可以是 Point、Curve、Surface、Volume 中的任意一个。如果列表中的某个实体被列表以外的其他实体所依赖，则不执行 Delete 命令。 Recursive 表示 Delete 命令递归地作用到所有次级实体上。

几何选项

详见《Geometry options》。

网格模块

物理实体对网格的影响

如果没有创建物理实体，那么所有单元都会被写入网格文件。
如果创建了物理实体，那么
- 默认情况下，只有物理实体上的单元会被写入网格文件，结点和单元会被重新编号。
- 通过设置 Mesh.SaveAll 选项或使用命令行参数 -save_all 可以保存所有单元。

设定单元尺寸

⚠️ 自 v4.7.0 起，CharacteristicLength 与 Characteristic Length 分别被重命名为 MeshSize 与 Mesh Size。

单元尺寸可以通过以下三种方式设定：

如果设定了 Mesh.CharacteristicLengthFromPoints，那么可以为每个 Point 设定一个特征长度 (Characteristic Length)。
如果设定了 Mesh.CharacteristicLengthFromCurvature，那么网格尺寸将与曲率 (Curvature) 相适应。
通过背景网格或标量场设定。这三种方式可以配合使用，Gmsh 会选用最小的一个。

常用命令：

// 修改点的特征长度：
Characteristic Length{pointTagList} = length;

详见《Mesh element sizes》。

生成结构网格

Gmsh 所生成的网格都是非结构的 (unstructured)，即各单元的取向和结点邻接关系完全由其结点列表决定，而不要求相邻单元之间有其他形式的关联，因此不能算是真正意义上的结构 (structured) 网格。

所有结构网格单元（四边形、六面体、三棱柱）都是通过合并单纯形（三角形、四面体）而得到的：

// 将指定曲面上的 三角形 合并为 四边形：
Recombine Surface{surfaceTagList};
// 将指定空间区域里的 四面体 合并为 六面体 或 三棱柱：
Recombine Volume{volumeTagList};

通过拉伸生成

与几何模块中的同名函数类似，只是多了一个 layers 参数：

// 通过 平移 拉伸：
Extrude{
    vectorX, vectorY, vectorZ  // 平移向量
}{
    entityList  // 被拉伸对象
    layers
};
// 通过 旋转 拉伸：
Extrude{
    {axisX, axisY, axisZ},  // 旋转轴
    {pointX, pointY, pointZ},  // 旋转轴上任意一点
    angle
}{
    entityList  // 被拉伸对象
    layers
};
// 通过 平移 + 旋转 拉伸：
Extrude{
    {vectorX, vectorY, vectorZ},  // 平移向量
    {axisX, axisY, axisZ},        // 旋转轴
    {pointX, pointY, pointZ},     // 旋转轴上任意一点
    angle
}{
    entityList  // 被拉伸对象
    layers
};

layers 用于设定拉伸方式，有以下几种形式可以选择：

Layers{elementNumber};  // 拉伸方向的单元数
Layers {                    // 两个列表的长度必须一致
    {elementNumberList},    // 各层的单元数
    {normalizedHeightList}  // 各层的相对高度
};
Recombine Surface{surfaceTagList};  // 将指定曲面上的 三角形 合并为 四边形
Recombine Volume{volumeTagList};    // 将指定空间区域里的 四面体 合并为 三棱柱 或 六面体

获取拉伸所得实体的标签：

num[] = Extrude {0,0,1} { Surface{1}; Layers{10}; };
// num[0] 为拉伸后的顶面
// num[1] 为拉伸出的空间区域

通过 Transfinite 插值生成

生成一维结构网格：

Transfinite Curve{curveTagList} = nodeNumber <Using direction ratio>;

其中 direction 用于表示结点间距的变化方向，可以是：

Progression  // 结点间距按几何级数 从一端向另一端 递增/递减
Bump         // 结点间距按几何级数 从两端向中间 递增/递减

示例：

Point(1) = {0, 0, 0};
Point(2) = {1, 0, 0};
Line(1) = {1, 2};
Transfinite Curve{1} = 20 Using Progression 2;
Mesh 1;

生成二维结构网格：

Transfinite Surface{surfaceTagList}
<= {/* 三个或四个顶点 */pointTagList}>
<orientation>;

其中 orientation 表示三角形的取向：

Left       // 全部向左倾斜
Right      // 全部向右倾斜
Alternate  // 倾斜方向交错变化

示例：

SetFactory("OpenCASCADE");
Rectangle(1) = {0.0, 0.0, 0.0, 3.0, 2.0};
Transfinite Surface{1} = { PointsOf{ Surface{1}; } } Right;
Mesh 2;

生成三维结构网格（必须先在三维实体的表面生成结构网格）：

Transfinite Volume{volumeTagList}
<= {/* 六个或八个顶点 */pointTagList}>;

示例：

SetFactory("OpenCASCADE");
Box(1) = {0.0, 0.0, 0.0, 3.0, 2.0, 1.0};
Transfinite Surface{Boundary{Volume{1};}};
Recombine Surface{:};
Transfinite Volume{1};
Recombine Volume{1};
Mesh 3;

其他命令

// 生成 dim 维网格：
Mesh dim;
// 通过分裂细化网格：
RefineMesh;
// 选择网格优化算法，algorithm 可以是 Gmsh 或 Netgen：
OptimizeMesh algorithm;
// 设置单元阶数：
SetOrder order;
// 删去冗余结点：
Coherence Mesh;
// 将网格分为 part 块：
PartitionMesh part;

详见《Other geometry commands》。

网格选项

详见《Mesh options》。

文件格式

MSH 文件 (即扩展名为 .msh 的文件) 用于存储网格信息 (结点位置和连接关系) 以及与之关联的属性数据 (位移, 速度, 应力等). MSH 文件有两种模式:

ASCII 文本模式: 所有信息均以 ASCII 字符表示.
二进制模式: 一些信息由 ASCII 字符表示, 浮点型坐标值和整型编号以二进制表示.

一个 MSH 文件由以下一个或多个段落组成. 每个段落都是以一对起始符和结束符为界的 ASCII 字符或二进制数据块. 起始符有以下几种:

起始符	内容
`$MeshFormat`	网格格式
`$PhysicalName` (optional)	物理名
`$Entities`	实体
`$PartitionedEntities` (optional)	分块实体
`$Nodes`	结点
`$Elements`	单元
`$Periodic` (optional)	周期关系
`$GhostElements` (optional)	幽灵单元
`$NodeData` (optional)	结点数据
`$ElementData` (optional)	单元数据
`$ElementNodeData` (optional)	单元结点数据

起始符的 $ 后加上 End 就是对应的结束符, 例如: 起始符 $Nodes 所对应的结束符为 $EndNodes. 相同类型的段落可以重复多次, 属性数据可以分属不同文件, 但要求 Nodes 位于 Elements 之前.

凡是未识别的起始符都视作开启一个注释段, 直到对应的结束符, 例如:

$Comments
...
$EndComments

结点和单元的标签不要求连续.

下面以脚本文件 rectangle.geo 生成的网格文件 rectangle.msh 为例来说明 MSH 文件格式.

`MeshFormat`

$MeshFormat
4 0 8
$EndMeshFormat

三个数 (即使在二进制模式下, 也用字符表示) 的含义依次为:

MSH 格式版本;
文件模式, 0 为文本模式, 1 为二进制模式;
字长, 即 sizeof(double) 的值, 一般为 8.

`PhysicalNames`

这一段用于描述物理对象信息, 以便后面按物理对象查找结点和单元.

$PhysicalNames
3
1 1 "LeftBoundary"
1 2 "RightBoundary"
2 3 "Domain"
$EndPhysicalNames

各行的含义依次为:

第一行的 3 表示本文件中有 3 个物理实体;
随后三行分别为各物理实体的信息:
- 前两个整数 (即使在二进制模式下, 也用字符表示) 分别表示维度和标签;
- 最后的字符串 (最长可含 127 个字符) 为名称.

`Entities`

这一段用于描述初等实体信息, 以便后面按初等实体查找结点和单元.

总数

第一行表示各维度初等实体的个数:

4 4 1 0

4 个零维初等实体, 即初等点;
4 个一维初等实体, 即初等曲线;
1 个二维初等实体, 即初等曲面;
0 个三维初等实体, 即初等空间区域.

随后各行依次表示各初等实体的信息.

`Point`s

前 4 行表示初等 Points:

1 0 0 0 0 0 0 0 
2 2 0 0 2 0 0 0 
3 2 1 0 2 1 0 0 
4 0 1 0 0 1 0 0

各行含义如下:

第一个 int 表示该 Point 的标签.
随后三个 doubles 表示包围盒顶点坐标的最小值.
随后三个 doubles 表示包围盒顶点坐标的最大值.
随后一个 unsigned long 表示物理标签的个数:
- 如果为 0, 则该行到此结束, 例如: 这里的所有各行.
- 如果不为 0, 则给出相应个数 int, 表示该点所属物理实体的标签.

`Curve`s

随后 4 行表示初等 Curves:

1 0 0 0 0 0 0 0 0 
2 2 0 0 2 1 0 1 2 2 2 -3 
3 0 1 0 2 1 0 0 2 3 -4 
4 0 0 0 0 1 0 1 1 2 4 -1

各行含义如下:

第一个 int 表示该 Curve 的标签.
随后三个 doubles 表示包围盒顶点坐标的最小值.
随后三个 doubles 表示包围盒顶点坐标的最大值.
随后一个 unsigned long 表示物理标签的个数:
- 如果为 0, 则进入下一项, 例如: 这里的第 1, 3 行.
- 如果不为 0, 则给出相应个数 int, 表示该 Curve 所属物理实体的标签, 例如:
  - Curve{2} 属于 Physical Curve{2}.
  - Curve{4} 属于 Physical Curve{1}.
随后一个 unsigned long 表示边界点的个数:
- 如果为 0, 则该行到此结束, 例如这里的第 1 行.
- 如果不为 0, 则给出相应个数 int, 表示该 Curve 所拥有的边界点的标签, 负标签值表示终点, 例如:
  - Curve{2} 有两个边界 Points: Point{2, -3}.
  - Curve{3} 有两个边界 Points: Point{3, -4}.
  - Curve{4} 有两个边界 Points: Point{4, -1}.

`Surface`s

Surface 段的格式与 Curve 段类似, 只不过把最后的边界点替换为边界曲线.

这里有 1 行表示初等 Surface:

1 -1.8e+308 -1.8e+308 -1.8e+308 1.8e+308 1.8e+308 1.8e+308 1 3 4 1 2 3 4

各行含义如下:

第一个 int 表示该 Surface 的标签.
随后三个 doubles 表示包围盒顶点坐标的最小值, 这里是负无穷.
随后三个 doubles 表示包围盒顶点坐标的最大值, 这里是正无穷.
随后一个 unsigned long 表示物理标签的个数:
- 如果为 0, 则进入下一项.
- 如果不为 0, 则给出相应个数 int, 表示该 Surface 所属物理实体的标签. 例如这里的 Surface{1} 属于 Physical Surface{3}.
随后一个 unsigned long 表示边界曲面的个数:
- 如果为 0, 则该行到此结束, 例如这里的第 1 行.
- 如果不为 0, 则给出相应个数 int, 表示该 Surface 所拥有的边界曲线的标签, 负标签值表示取向相反. 例如:
  - Surface{1} 拥有 4 条边界 Curves: Curve{1, 2, 3, 4}.

`Volume`s

Volume 段的格式与 Surface 段类似, 只不过把最后的边界曲线替换为边界曲面.

`PartitionedEntities`

暂时不用.

`Nodes`

这一段用于描述结点位置以及结点与实体的归属关系.

第一行表示各维度实体的个数:

15 6

第一个 unsigned long 表示实体总数. 这里有 15 个实体:
- 6 个 Points,
- 7 条 Curves,
- 2 片 Surfaces,
- 0 块 Volume.
第二个 unsigned long 表示结点总数. 这里有 6 个 Nodes.

然后以每个实体为一组, 依次列出各组所拥有的结点. 例如第一行:

5 0 0 1

第一个 int 表示实体标签.
第二个 int 表示实体维度.
第三个 int 表示参数个数.
最后一个 unsigned long 表示该实体上的结点个数. 这里为 1, 因此紧随其后的 1 行表示该实体上的 1 个结点的信息:

1 0 0 0

第一个 int 表示结点标签.
紧随其后的三个 doubles 表示结点坐标.

其他实体上的结点信息可以按同样的方法读出.

`Elements`

这一段用于描述单元类型, 结点与单元的归属关系以及单元与实体的归属关系.

第一行表示各维度实体的个数:

5 5

第一个 unsigned long 表示实体总数. 这里有 5 个实体:
- 0 个 Points,
- 3 条 Curves,
- 2 片 Surfaces,
- 0 块 Volume.
第二个 unsigned long 表示单元总数. 这里有 5 个 Elements:
- 0 个零维单元,
- 3 个一维单元,
- 2 个二维单元,
- 0 个三维单元.

然后以每个实体为一组, 依次列出各组所拥有的单元. 例如第一行:

7 1 1 1

第一个 int 表示实体标签.
第二个 int 表示实体维度.
第三个 int 表示单元类型. 这里为 1, 表示二结点直线单元.
最后一个 unsigned long 表示该实体上的单元个数. 这里为 1, 因此紧随其后的 1 行表示该实体上的 1 个单元的信息:

7 2 3

第一个 int 表示单元标签.
紧随其后的 ints 表示结点标签.
这一行的完整语义是: 7 号单元有 2 个结点 (从单元类型推断), 结点标签分别为 2 和 3.

接下来四行表示另外两个一维单元:

最后四行表示两个二维 (四结点四边形) 单元:

$Elements
2 2 3 1
11 1 5 6 4 
3 2 3 1
12 5 2 3 6 
$EndElements

单元结点编号

详见《Node ordering》。

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MeshFormat

PhysicalNames

Entities

总数

Points

Curves

Surfaces

Volumes

PartitionedEntities

Nodes

Elements

单元结点编号

`Point`s

`Curve`s

`Surface`s

`Volume`s

`MeshFormat`

`PhysicalNames`

`Entities`

`Point`s

`Curve`s

`Surface`s

`Volume`s

`PartitionedEntities`

`Nodes`

`Elements`