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记忆化搜索
数组
动态规划
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状态压缩

698. 划分为k个相等的子集

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题目描述

给定一个整数数组  nums 和一个正整数 k，找出是否有可能把这个数组分成 k 个非空子集，其总和都相等。

 

示例 1：

输入： nums = [4, 3, 2, 3, 5, 2, 1], k = 4
输出： True
说明： 有可能将其分成 4 个子集（5），（1,4），（2,3），（2,3）等于总和。

示例 2:

输入: nums = [1,2,3,4], k = 3
输出: false

 

提示：

  • 1 <= k <= len(nums) <= 16
  • 0 < nums[i] < 10000
  • 每个元素的频率在 [1,4] 范围内

解法

方法一：DFS + 剪枝

根据题意，我们需要将数组 $\textit{nums}$ 划分为 $k$ 个子集，且每个子集的和相等。因此，先累加 $\textit{nums}$ 中所有元素的和，如果不能被 $k$ 整除，说明无法划分为 $k$ 个子集，提前返回 $\textit{false}$。

如果能被 $k$ 整除，不妨将每个子集期望的和记为 $s$，然后创建一个长度为 $k$ 的数组 $\textit{cur}$，表示当前每个子集的和。

对数组 $\textit{nums}$ 进行降序排序（减少搜索次数），然后从第一个元素开始，依次尝试将其加入到 $\textit{cur}$ 的每个子集中。这里如果将 $\textit{nums}[i]$ 加入某个子集 $\textit{cur}[j]$ 后，子集的和超过 $s$，说明无法放入，可以直接跳过；另外，如果 $\textit{cur}[j]$ 与 $\textit{cur}[j - 1]$ 相等，意味着我们在 $\textit{cur}[j - 1]$ 的时候已经完成了搜索，也可以跳过当前的搜索。

如果能将所有元素都加入到 $\textit{cur}$ 中，说明可以划分为 $k$ 个子集，返回 $\textit{true}$。

Python3

class Solution:
    def canPartitionKSubsets(self, nums: List[int], k: int) -> bool:
        def dfs(i):
            if i == len(nums):
                return True
            for j in range(k):
                if j and cur[j] == cur[j - 1]:
                    continue
                cur[j] += nums[i]
                if cur[j] <= s and dfs(i + 1):
                    return True
                cur[j] -= nums[i]
            return False

        s, mod = divmod(sum(nums), k)
        if mod:
            return False
        cur = [0] * k
        nums.sort(reverse=True)
        return dfs(0)

Java

class Solution {
    private int[] nums;
    private int[] cur;
    private int s;

    public boolean canPartitionKSubsets(int[] nums, int k) {
        for (int v : nums) {
            s += v;
        }
        if (s % k != 0) {
            return false;
        }
        s /= k;
        cur = new int[k];
        Arrays.sort(nums);
        this.nums = nums;
        return dfs(nums.length - 1);
    }

    private boolean dfs(int i) {
        if (i < 0) {
            return true;
        }
        for (int j = 0; j < cur.length; ++j) {
            if (j > 0 && cur[j] == cur[j - 1]) {
                continue;
            }
            cur[j] += nums[i];
            if (cur[j] <= s && dfs(i - 1)) {
                return true;
            }
            cur[j] -= nums[i];
        }
        return false;
    }
}

C++

class Solution {
public:
    bool canPartitionKSubsets(vector<int>& nums, int k) {
        int s = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
        if (s % k) {
            return false;
        }
        s /= k;
        int n = nums.size();
        vector<int> cur(k);
        function<bool(int)> dfs = [&](int i) {
            if (i == n) {
                return true;
            }
            for (int j = 0; j < k; ++j) {
                if (j && cur[j] == cur[j - 1]) {
                    continue;
                }
                cur[j] += nums[i];
                if (cur[j] <= s && dfs(i + 1)) {
                    return true;
                }
                cur[j] -= nums[i];
            }
            return false;
        };
        sort(nums.begin(), nums.end(), greater<int>());
        return dfs(0);
    }
};

Go

func canPartitionKSubsets(nums []int, k int) bool {
	s := 0
	for _, v := range nums {
		s += v
	}
	if s%k != 0 {
		return false
	}
	s /= k
	cur := make([]int, k)
	n := len(nums)

	var dfs func(int) bool
	dfs = func(i int) bool {
		if i == n {
			return true
		}
		for j := 0; j < k; j++ {
			if j > 0 && cur[j] == cur[j-1] {
				continue
			}
			cur[j] += nums[i]
			if cur[j] <= s && dfs(i+1) {
				return true
			}
			cur[j] -= nums[i]
		}
		return false
	}

	sort.Sort(sort.Reverse(sort.IntSlice(nums)))
	return dfs(0)
}

TypeScript

function canPartitionKSubsets(nums: number[], k: number): boolean {
    const dfs = (i: number): boolean => {
        if (i === nums.length) {
            return true;
        }
        for (let j = 0; j < k; j++) {
            if (j > 0 && cur[j] === cur[j - 1]) {
                continue;
            }
            cur[j] += nums[i];
            if (cur[j] <= s && dfs(i + 1)) {
                return true;
            }
            cur[j] -= nums[i];
        }
        return false;
    };

    let s = nums.reduce((a, b) => a + b, 0);
    const mod = s % k;
    if (mod !== 0) {
        return false;
    }
    s = Math.floor(s / k);
    const cur = Array(k).fill(0);
    nums.sort((a, b) => b - a);
    return dfs(0);
}

方法二：状态压缩 + 记忆化搜索

与方法一相同，我们依然先判断数组 $\textit{nums}$ 是否有可能被划分为 $k$ 个子集。如果不能被 $k$ 整除，直接返回 $\textit{false}$。

我们记 $s$ 为每个子集期望的和，当前元素被划分的情况为 $\textit{state}$。对于第 $i$ 个数，若 $\textit{state}$ 的第 $i$ 位为 $0$，说明第 $i$ 个元素未被划分。

我们的目标是从全部元素中凑出 $k$ 个和为 $s$ 的子集。记当前子集的和为 $t$。在未划分第 $i$ 个元素时：

  • 若 $t + \textit{nums}[i] \gt s$，说明第 $i$ 个元素不能被添加到当前子集中，由于我们对 $\textit{nums}$ 数组进行升序排列，因此数组 $\textit{nums}$ 从位置 $i$ 开始的所有元素都不能被添加到当前子集，直接返回 $\textit{false}$。
  • 否则，将第 $i$ 个元素添加到当前子集中，状态变为 $\textit{state} | 2^i$，然后继续对未划分的元素进行搜索。需要注意的是，若 $t + \textit{nums}[i] = s$，说明恰好可以得到一个和为 $s$ 的子集，下一步将 $t$ 归零（可以通过 $(t + \textit{nums}[i]) \bmod s$ 实现），并继续划分下一个子集。

为了避免重复搜索，我们使用一个长度为 $2^n$ 的数组 $\textit{f}$ 记录每个状态下的搜索结果。数组 $\textit{f}$ 有三个可能的值：

  • 0：表示当前状态还未搜索过；
  • -1：表示当前状态下无法划分为 $k$ 个子集；
  • 1：表示当前状态下可以划分为 $k$ 个子集。

时间复杂度 $O(n \times 2^n)$，空间复杂度 $O(2^n)$。其中 $n$ 表示数组 $\textit{nums}$ 的长度。对于每个状态，我们需要遍历数组 $\textit{nums}$，时间复杂度为 $O(n)$；状态总数为 $2^n$，因此总的时间复杂度为 $O(n\times 2^n)$。

Python3

class Solution:
    def canPartitionKSubsets(self, nums: List[int], k: int) -> bool:
        @cache
        def dfs(state, t):
            if state == mask:
                return True
            for i, v in enumerate(nums):
                if (state >> i) & 1:
                    continue
                if t + v > s:
                    break
                if dfs(state | 1 << i, (t + v) % s):
                    return True
            return False

        s, mod = divmod(sum(nums), k)
        if mod:
            return False
        nums.sort()
        mask = (1 << len(nums)) - 1
        return dfs(0, 0)

Java

class Solution {
    private int[] f;
    private int[] nums;
    private int n;
    private int s;

    public boolean canPartitionKSubsets(int[] nums, int k) {
        for (int v : nums) {
            s += v;
        }
        if (s % k != 0) {
            return false;
        }
        s /= k;
        Arrays.sort(nums);
        this.nums = nums;
        n = nums.length;
        f = new int[1 << n];
        return dfs(0, 0);
    }

    private boolean dfs(int state, int t) {
        if (state == (1 << n) - 1) {
            return true;
        }
        if (f[state] != 0) {
            return f[state] == 1;
        }
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            if (((state >> i) & 1) == 1) {
                continue;
            }
            if (t + nums[i] > s) {
                break;
            }
            if (dfs(state | 1 << i, (t + nums[i]) % s)) {
                f[state] = 1;
                return true;
            }
        }
        f[state] = -1;
        return false;
    }
}

C++

class Solution {
public:
    bool canPartitionKSubsets(vector<int>& nums, int k) {
        int s = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
        if (s % k) {
            return false;
        }
        s /= k;
        sort(nums.begin(), nums.end());
        int n = nums.size();
        int mask = (1 << n) - 1;
        vector<int> f(1 << n);
        function<bool(int, int)> dfs = [&](int state, int t) {
            if (state == mask) {
                return true;
            }
            if (f[state]) {
                return f[state] == 1;
            }
            for (int i = 0; i < n; ++i) {
                if (state >> i & 1) {
                    continue;
                }
                if (t + nums[i] > s) {
                    break;
                }
                if (dfs(state | 1 << i, (t + nums[i]) % s)) {
                    f[state] = 1;
                    return true;
                }
            }
            f[state] = -1;
            return false;
        };
        return dfs(0, 0);
    }
};

Go

func canPartitionKSubsets(nums []int, k int) bool {
	s := 0
	for _, v := range nums {
		s += v
	}
	if s%k != 0 {
		return false
	}
	s /= k
	n := len(nums)
	f := make([]int, 1<<n)
	mask := (1 << n) - 1

	var dfs func(int, int) bool
	dfs = func(state, t int) bool {
		if state == mask {
			return true
		}
		if f[state] != 0 {
			return f[state] == 1
		}
		for i, v := range nums {
			if (state >> i & 1) == 1 {
				continue
			}
			if t+v > s {
				break
			}
			if dfs(state|1<<i, (t+v)%s) {
				f[state] = 1
				return true
			}
		}
		f[state] = -1
		return false
	}

	sort.Ints(nums)
	return dfs(0, 0)
}

TypeScript

function canPartitionKSubsets(nums: number[], k: number): boolean {
    let s = nums.reduce((a, b) => a + b, 0);
    if (s % k !== 0) {
        return false;
    }
    s = Math.floor(s / k);
    nums.sort((a, b) => a - b);
    const n = nums.length;
    const mask = (1 << n) - 1;
    const f = Array(1 << n).fill(0);

    const dfs = (state: number, t: number): boolean => {
        if (state === mask) {
            return true;
        }
        if (f[state] !== 0) {
            return f[state] === 1;
        }
        for (let i = 0; i < n; ++i) {
            if ((state >> i) & 1) {
                continue;
            }
            if (t + nums[i] > s) {
                break;
            }
            if (dfs(state | (1 << i), (t + nums[i]) % s)) {
                f[state] = 1;
                return true;
            }
        }
        f[state] = -1;
        return false;
    };

    return dfs(0, 0);
}

方法三：动态规划

我们可以使用动态规划的方法求解本题。

我们定义 $f[i]$ 表示当前选取的数字的状态为 $i$ 时，是否存在 $k$ 个子集满足题目要求。初始时 $f[0]= true$，答案为 $f[2^n-1]$。其中 $n$ 表示数组 $nums$ 的长度。另外，我们定义 $cur[i]$ 表示当前选取的数字的状态为 $i$ 时，最后一个子集的和。

我们在 $[0, 2^n]$ 的范围内枚举状态 $i$，对于每个状态 $i$，如果 $f[i]$ 为 $\textit{false}$，我们直接跳过即可。否则，我们枚举 $\textit{nums}$ 数组中的任意一个数 $\textit{nums}[j]$，如果 $\textit{cur}[i] + \textit{nums}[j] &gt; s$，我们直接跳出枚举循环，因为后面的数更大，无法放入当前子集；否则，如果 $i$ 的二进制表示的第 $j$ 位为 $0$，说明当前 $\textit{nums}[j]$ 还没有被选取，我们可以将其放入当前子集中，此时状态变为 $i | 2^j$，并更新 $\textit{cur}[i | 2^j] = (\textit{cur}[i] + \textit{nums}[j]) \bmod s$，并且 $f[i | 2^j] = \textit{true}$。

最后，我们返回 $f[2^n - 1]$ 即可。

时间复杂度 $O(n \times 2^n)$，空间复杂度 $O(2^n)$。其中 $n$ 表示数组 $\textit{nums}$ 的长度。

Python3

class Solution:
    def canPartitionKSubsets(self, nums: List[int], k: int) -> bool:
        s = sum(nums)
        if s % k:
            return False
        s //= k
        nums.sort()
        n = len(nums)
        f = [False] * (1 << n)
        cur = [0] * (1 << n)
        f[0] = True
        for i in range(1 << n):
            if not f[i]:
                continue
            for j in range(n):
                if cur[i] + nums[j] > s:
                    break
                if (i >> j & 1) == 0:
                    if not f[i | 1 << j]:
                        cur[i | 1 << j] = (cur[i] + nums[j]) % s
                        f[i | 1 << j] = True
        return f[-1]

Java

class Solution {
    public boolean canPartitionKSubsets(int[] nums, int k) {
        int s = 0;
        for (int x : nums) {
            s += x;
        }
        if (s % k != 0) {
            return false;
        }
        s /= k;
        Arrays.sort(nums);
        int n = nums.length;
        boolean[] f = new boolean[1 << n];
        f[0] = true;
        int[] cur = new int[1 << n];
        for (int i = 0; i < 1 << n; ++i) {
            if (!f[i]) {
                continue;
            }
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                if (cur[i] + nums[j] > s) {
                    break;
                }
                if ((i >> j & 1) == 0) {
                    cur[i | 1 << j] = (cur[i] + nums[j]) % s;
                    f[i | 1 << j] = true;
                }
            }
        }
        return f[(1 << n) - 1];
    }
}

C++

class Solution {
public:
    bool canPartitionKSubsets(vector<int>& nums, int k) {
        int s = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
        if (s % k) {
            return false;
        }
        s /= k;
        sort(nums.begin(), nums.end());
        int n = nums.size();
        bool f[1 << n];
        int cur[1 << n];
        memset(f, false, sizeof(f));
        memset(cur, 0, sizeof(cur));
        f[0] = 1;
        for (int i = 0; i < 1 << n; ++i) {
            if (!f[i]) {
                continue;
            }
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                if (cur[i] + nums[j] > s) {
                    break;
                }
                if ((i >> j & 1) == 0) {
                    f[i | 1 << j] = true;
                    cur[i | 1 << j] = (cur[i] + nums[j]) % s;
                }
            }
        }
        return f[(1 << n) - 1];
    }
};

Go

func canPartitionKSubsets(nums []int, k int) bool {
	s := 0
	for _, x := range nums {
		s += x
	}
	if s%k != 0 {
		return false
	}
	s /= k
	sort.Ints(nums)
	n := len(nums)
	f := make([]bool, 1<<n)
	cur := make([]int, 1<<n)
	f[0] = true
	for i := 0; i < 1<<n; i++ {
		if !f[i] {
			continue
		}
		for j := 0; j < n; j++ {
			if cur[i]+nums[j] > s {
				break
			}
			if i>>j&1 == 0 {
				f[i|1<<j] = true
				cur[i|1<<j] = (cur[i] + nums[j]) % s
			}
		}
	}
	return f[(1<<n)-1]
}

TypeScript

function canPartitionKSubsets(nums: number[], k: number): boolean {
    let s = nums.reduce((a, b) => a + b);
    if (s % k !== 0) {
        return false;
    }
    s /= k;
    nums.sort((a, b) => a - b);
    const n = nums.length;
    const f: boolean[] = Array(1 << n).fill(false);
    f[0] = true;
    const cur: number[] = Array(n).fill(0);
    for (let i = 0; i < 1 << n; ++i) {
        if (!f[i]) {
            continue;
        }
        for (let j = 0; j < n; ++j) {
            if (cur[i] + nums[j] > s) {
                break;
            }
            if (((i >> j) & 1) === 0) {
                f[i | (1 << j)] = true;
                cur[i | (1 << j)] = (cur[i] + nums[j]) % s;
            }
        }
    }
    return f[(1 << n) - 1];
}