[A-L] (2023/24) Foglio 16 - Esercizio 3

[Elia-Belli]

[Elia-Belli]

Eseguendo lo sviluppo di Laplace per $A$ rispetto la terza colonna otteniamo:

$$det(A)=g\cdot det(A_{33})-z\cdot det(A_{43})$$

Sviluppiamo con Laplace $A_{33},A_{43}$ entrambe rispetto alla terza colonna, ottenendo:

$$det(A)=g\cdot w\cdot det\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}-z\cdot h\cdot det\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}=det\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}\cdot [gw-zh]$$

Ma $[gw-zh]$ è il determinante della matrice:

$$\begin{bmatrix}g&h\\ z&w\end{bmatrix}$$

Allora:

$$det(A)=\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}g&h\\ z&w\end{bmatrix}$$

Ragionamento analogo per $det(B)$ sviluppando la terza o quarta riga con Laplace.

[cornflexxx]

Soluzione alternativa

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Riconduco $B$ ad una matrice triangolare superiore $S_B$ , e calcolo il $det(S_B)=\prod s_{11}\cdot...\cdot s_{44}$(elt della diagonale):

$$S_B=\begin{vmatrix} a& b& l& m\\ 0& d-cb/a& n& p\\ 0& 0& g& h\\ 0& 0& 0& w-zh/g \end{vmatrix}$$

$$det(B)=1^0\cdot det(S_B)=(ad-cb)\cdot(gw-zh)=det\begin{vmatrix} a& b\\ c& d\end{vmatrix}\cdot det\begin{vmatrix} g& h\\ z& w\end{vmatrix} $$

Faccio la stessa cosa con $A$ in questo caso o scambiando le righe oppure $\to$ matrice triangolare inferiore.

[CiottoloMaggico]

[Frisbon]

[MarcoLinardi]

• Possiamo vedere la matrice divisa in 4 blocchi, diventando di fatto una matrice 2x2

| A11 | A12 |
| A21 | A22 |

Quindi det A = det |A11| x det |A22| - det |A12| x det |A21|
Da qui abbiamo che det A = det |A11| x det |A22| ,poichè il secondo termine contiene A12 e A21 che contengono tutti zeri, quindi si annulla
Percorso analogo per B
Andando a sostituire le lettere vediamo che la tesi è dimostrata