[Esame 17 Luglio 2014] Esercizio 3

[Elia-Belli]

[cornflexxx]

$(a)$ Calcolare la probabilità che ognuno degli $n$ numeri in $\pi$ no sia associato alla propria posizione (Analogo al problema degli accoppiamenti):

$$\mathbb{P}(\text{nessun punto fisso})=1-\mathbb{P}(\text{almeno un punto fisso})$$

Possiamo calcolare il complementare grazie al PIE:

$$\mathbb{P}(\text{almeno un punto fisso})=\sum \mathbb{P}(\text{1 punto fisso})-\sum \mathbb{P}(\text{2 punti fissi})+...+\sum \mathbb{P}(\text{k punti fissi})+...+\sum \mathbb{P}(\text{n punti fissi})$$

dove $\sum \mathbb{P}(\text{k punti fissi})=\binom{n}{k}\cdot \frac{(n-k)!}{n!}=\frac{1}{k!}$, quindi raggruppando tutte le sommatorie otteniamo :

$$\mathbb{P}(\text{nessun punto fisso})=1-\mathbb{P}(\text{almeno un punto fisso})=1-1-\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}=\sum_{i=0}^{n}\frac{(-1)^i}{i!}$$

$(b)$ Per calcolare esattamente $k$ punti fissi troviamo la probabilità di avere $k$ punti fissi congiunta a quella che $n-k$ punti non siano fissi , quindi:

$$\mathbb{P}(\text{esattamente k punti fissi})=\binom{n}{k} \cdot \frac{(n-k)!}{n!}\cdot \sum_{i=0}^{n}\frac{(-1)^i}{i!}=\frac{1}{k!}\sum_{i=0}^{n}\frac{(-1)^i}{i!}$$

$(c)$ Calcolo il valore atteso:

$$\mathbb{E}(Z_n)=\sum_{k=0}^{n} k\cdot \frac{1}{k!}\sum_{i=0}^{n}\frac{(-1)^i}{i!}=\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{(k-1)!}\sum_{i=1}^{n-1}\frac{(-1)^i}{i!}=1$$

$(d)$ Quando $n\to\infty$ abbiamo che :

$$\sum^{+\infty}\frac{(-1)^i}{i!}=e^{-1}$$

$$\mathbb{P}(Z_n=k)=e^{-1} \cdot \frac{1}{k!}$$

Che è proprio una distribuzione di Poisson con $\lambda =1$