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# LSTM模型与前向反向传播算法
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在[循环神经网络\(RNN\)模型与前向反向传播算法](/dl/rnn/rnn-bptt.md)中，我们总结了对RNN模型做了总结。由于RNN也有梯度消失的问题，因此很难处理长序列的数据，大牛们对RNN做了改进，得到了RNN的特例LSTM（Long Short-Term Memory），它可以避免常规RNN的梯度消失，因此在工业界得到了广泛的应用。下面我们就对LSTM模型做一个总结。
# 1. 从RNN到LSTM
在RNN模型里，我们讲到了RNN具有如下的结构，每个序列索引位置t都有一个隐藏状态h^{\(t\)}。
如果我们略去每层都有的$$o^{(t)}, L^{(t)}, y^{(t)}$$，则RNN的模型可以简化成如下图的形式：
图中可以很清晰看出在隐藏状态$$h^{(t)}$$由$$x^{(t)}$$和$$h^{(t-1)}$$得到。得到$$h^{(t)}$$后一方面用于当前层的模型损失计算，另一方面用于计算下一层的$$h^{(t+1)}$$。
由于RNN梯度消失的问题，大牛们对于序列索引位置t的隐藏结构做了改进，可以说通过一些技巧让隐藏结构复杂了起来，来避免梯度消失的问题，这样的特殊RNN就是我们的LSTM。由于LSTM有很多的变种，这里我们以最常见的LSTM为例讲述。LSTM的结构如下图：
可以看到LSTM的结构要比RNN的复杂的多，真佩服牛人们怎么想出来这样的结构，然后这样居然就可以解决RNN梯度消失的问题？由于LSTM怎么可以解决梯度消失是一个比较难讲的问题，我也不是很熟悉，这里就不多说，重点回到LSTM的模型本身。
# 2. LSTM模型结构剖析
上面我们给出了LSTM的模型结构，下面我们就一点点的剖析LSTM模型在每个序列索引位置t时刻的内部结构。
从上图中可以看出，在每个序列索引位置t时刻向前传播的除了和RNN一样的隐藏状态$$h^{(t)}$$，还多了另一个隐藏状态，如图中上面的长横线。这个隐藏状态我们一般称为细胞状态\(Cell State\)，记为$$C^{(t)}$$。如下图所示：
除了细胞状态，LSTM图中还有了很多奇怪的结构，这些结构一般称之为门控结构\(Gate\)。LSTM在在每个序列索引位置t的门一般包括遗忘门，输入门和输出门三种。下面我们就来研究上图中LSTM的遗忘门，输入门和输出门以及细胞状态。
## 2.1 LSTM之遗忘门
遗忘门（forget gate）顾名思义，是控制是否遗忘的，在LSTM中即以一定的概率控制是否遗忘上一层的隐藏细胞状态。遗忘门子结构如下图所示：
图中输入的有上一序列的隐藏状态$$h^{(t-1)}$$和本序列数据$$x^{(t)}$$，通过一个激活函数，一般是sigmoid，得到遗忘门的输出$$f^{(t)}$$。由于sigmoid的输出$$f^{(t)}$$在\[0,1\]之间，因此这里的输出$$f^{(t)}$$代表了遗忘上一层隐藏细胞状态的概率。用数学表达式即为：$$f^{(t)} = \sigma(W_fh^{(t-1)} + U_fx^{(t)} + b_f)$$
其中$$W_f, U_f, b_f$$为线性关系的系数和偏倚，和RNN中的类似。$$\sigma$$为sigmoid激活函数。
## 2.2 LSTM之输入门
输入门（input gate）负责处理当前序列位置的输入，它的子结构如下图：
从图中可以看到输入门由两部分组成，第一部分使用了sigmoid激活函数，输出为$$i^{(t)}$$,第二部分使用了tanh激活函数，输出为$$a^{(t)}$$, 两者的结果后面会相乘再去更新细胞状态。用数学表达式即为：
$$i^{(t)} = \sigma(W_ih^{(t-1)} + U_ix^{(t)} + b_i)$$
$$a^{(t)} =tanh(W_ah^{(t-1)} + U_ax^{(t)} + b_a)$$
其中$$W_i, U_i, b_i, W_a, U_a, b_a$$,为线性关系的系数和偏倚，和RNN中的类似。$$\sigma$$为sigmoid激活函数。
## 2.3 LSTM之细胞状态更新
在研究LSTM输出门之前，我们要先看看LSTM之细胞状态。前面的遗忘门和输入门的结果都会作用于细胞状态$$C^{(t)}$$。我们来看看从细胞状态$$C^{(t-1)}$$如何得到$$C^{(t)}$$。如下图所示：
细胞状态$$C^{(t)}$$由两部分组成，第一部分是$$C^{(t-1)}$$和遗忘门输出$$f^{(t)}$$的乘积，第二部分是输入门的$$i^{(t)}$$和$$a^{(t)}$$的乘积，即：$$C^{(t)} = C^{(t-1)} \odot f^{(t)} + i^{(t)} \odot a^{(t)}$$
其中，$$\odot$$为Hadamard积，在DNN中也用到过。
## 2.4 LSTM之输出门
有了新的隐藏细胞状态$$C^{(t)}$$，我们就可以来看输出门了，子结构如下：
从图中可以看出，隐藏状态$$h^{(t)}$$的更新由两部分组成，第一部分是$$o^{(t)}$$, 它由上一序列的隐藏状态$$h^{(t-1)}$$和本序列数据$$x^{(t)}$$，以及激活函数sigmoid得到，第二部分由隐藏状态$$C^{(t)}$$和tanh激活函数组成, 即：$$o^{(t)} = \sigma(W_oh^{(t-1)} + U_ox^{(t)} + b_o)h^{(t)} = o^{(t)} \odot tanh(C^{(t)})$$
通过本节的剖析，相信大家对于LSTM的模型结构已经有了解了。当然，有些LSTM的结构和上面的LSTM图稍有不同，但是原理是完全一样的。
# 3. LSTM前向传播算法
现在我们来总结下LSTM前向传播算法。LSTM模型有两个隐藏状态$$h^{(t)}, C^{(t)}$$，模型参数几乎是RNN的4倍，因为现在多了$$W_f, U_f, b_f, W_a, U_a, b_a, W_i, U_i, b_i, W_o, U_o, b_o$$这些参数。
前向传播过程在每个序列索引位置的过程为：
1）更新遗忘门输出：$$f^{(t)} = \sigma(W_fh^{(t-1)} +U_fx^{(t)} + b_f)$$
2）更新输入门两部分输出：$$i^{(t)} = \sigma(W_ih^{(t-1)} + U_ix^{(t)} + b_i)a^{(t)} = tanh(W_ah^{(t-1)} + U_ax^{(t)} + b_a)$$
3）更新细胞状态：$$C^{(t)} = C^{(t-1)} \odot f^{(t)} + i^{(t)} \odot a^{(t)}$$
4）更新输出门输出：$$o^{(t)} = \sigma(W_oh^{(t-1)} + U_ox^{(t)} + b_o)h^{(t)} = o^{(t)} \odot tanh(C^{(t)})$$
5）更新当前序列索引预测输出：$$\hat{y}^{(t)} = \sigma(Vh^{(t)} + c)$$
# 4. LSTM反向传播算法推导关键点
有了LSTM前向传播算法，推导反向传播算法就很容易了， 思路和RNN的反向传播算法思路一致，也是通过梯度下降法迭代更新我们所有的参数，关键点在于计算所有参数基于损失函数的偏导数。
在RNN中，为了反向传播误差，我们通过隐藏状态$$h^{(t)}$$的梯度$$\delta^{(t)}$$一步步向前传播。在LSTM这里也类似。只不过我们这里有两个隐藏状态$$h^{(t)}$$和$$C^{(t)}$$。因此这里我们要定义两个$$\delta$$来一步步反向传播，即：
$$\delta_h^{(t)} = \frac{\partial L}{\partial h^{(t)}}$$
$$\delta_C^{(t)} = \frac{\partial L}{\partial C^{(t)}}$$
而在最后的序列索引位置$$\tau$$的$$\delta_h^{(\tau)}$$和$$ \delta_C^{(\tau)}$$为：
$$\delta_h^{(\tau)} =\frac{\partial L}{\partial o^{(\tau)}} \frac{\partial o^{(\tau)}}{\partial h^{(\tau)}} = V^T(\hat{y}^{(\tau)} - y^{(\tau)})$$
$$\delta_C^{(\tau)} =\frac{\partial L}{\partial h^{(\tau)}} \frac{\partial h^{(\tau)}}{\partial C^{(\tau)}} = \delta_h^{(\tau)} \odot o^{(\tau)} \odot (1 - tanh^2(C^{(\tau)}))$$
接着我们由$$\delta_h^{(t+1)}$$和$$\delta_C^{(t+1)}$$反向推导$$\delta_h^{(t)}$$和$$\delta_C^{(t)}$$
$$\delta_h^{(t)}$$的反向推导和RNN中的类似，因为它的梯度误差由前一层$$\delta_h^{(t+1)}$$的梯度误差和本层的输出梯度误差两部分组成，即：$$\delta_h^{(t)} =\frac{\partial L}{\partial o^{(t)}} \frac{\partial o^{(t)}}{\partial h^{(t)}} + \frac{\partial L}{\partial h^{(t+1)}}\frac{\partial h^{(t+1)}}{\partial h^{(t)}} = V^T(\hat{y}^{(t)} - y^{(t)}) + W^T\delta^{(t+1)}diag(1-(h^{(t+1)})^2)$$
而$$\delta_C^{(t)}$$的反向梯度误差由前一层$$\delta_C^{(t+1)}$$的梯度误差和本层的从$$h^{(t)}$$传回来的梯度误差两部分组成，即：$$\delta_C^{(t)} =\frac{\partial L}{\partial C^{(t+1)}} \frac{\partial C^{(t+1)}}{\partial C^{(t)}} + \frac{\partial L}{\partial h^{(t)}}\frac{\partial h^{(t)}}{\partial C^{(t)}} = \delta_C^{(t+1)}\odot f^{(t+1)} + \delta_h^{(t)} \odot o^{(t)} \odot (1 - tanh^2(C^{(t)}))$$
有了$$\delta_h^{(t)}$$和$$\delta_C^{(t)}$$， 计算这一大堆参数的梯度就很容易了，这里只给出$$W_f$$的梯度计算过程，其他的$$U_f, b_f, W_a, U_a, b_a, W_i, U_i, b_i, W_o, U_o, b_o, V, c$$的梯度大家只要照搬就可以了。$$\frac{\partial L}{\partial W_f} = \sum\limits_{t=1}^{\tau}\frac{\partial L}{\partial C^{(t)}} \frac{\partial C^{(t)}}{\partial f^{(t)}} \frac{\partial f^{(t)}}{\partial W_f} = \delta_C^{(t)} \odot C^{(t-1)} \odot f^{(t)}(1-f^{(t)}) (h^{(t-1)})^T$$
# 5. LSTM小结
LSTM虽然结构复杂，但是只要理顺了里面的各个部分和之间的关系，进而理解前向反向传播算法是不难的。当然实际应用中LSTM的难点不在前向反向传播算法，这些有算法库帮你搞定，模型结构和一大堆参数的调参才是让人头痛的问题。不过，理解LSTM模型结构仍然是高效使用的前提。