Pour démarrer rapidement l'utilisation de cet outil sans vous soucier de tous les aboutissants de sa création, vous pouvez consulter le fichier QUICKSTART.md ci-joint. Il contient également des conseils sur la modification facile de l'outil.
Si vous lisez ce document depuis un autre chose que la page GitHub, sachez qu'en suivant le lien pour le dépôt du projet vous pouvez lire des versions de ce guide d'un abord facile et de mise en page élégante.
Le présent outil est conçu pour permettre à des élèves d'entraîner la résolution de systèmes d'équations linéaires de la forme
en utilisant la méthode la plus appropriée, en reconnaîssant les cas suivants :
-
quand
$a \in \lbrace 0, 1\rbrace$ ou$b \in \lbrace 0, 1\rbrace$ , on peut isoler directement l'une des deux inconnues dans la première équation ; -
quand
$d = 0$ ou$e=0$ , on peut isoler directement l'une des deux inconnues dans la deuxième équation ; -
si l'une des équations est un multiple de l'autre, le nombre de solutions est infini (droites confondues) ;
-
si le déterminant de la matrice des coefficients est nul et que les deux équations ne sont pas multiples l'une de l'autre, alors les droites sont parallèles;
-
si
$a \equiv 0 \pmod b$ ou inversément, on divise toute l'équation par$b$ , respectivement$a$ et on retombe dans le premier cas abordé ci-dessus; idem si$d \equiv 0 \pmod e$ ou inversément ; -
et sinon, faire de la combinaison linéaire (via règle de Cramer si elle est connue).
Pour ce faire, l'outil permet de produire des fiches d'exercices avec des systèmes de deux équations linéaires à résoudre le plus efficacement possible par les élèves. Avec les exercices sont générées des solutions recommandées, choisies parmi les méthodes énumérées ci-dessus. L'utilisation recommandée de l'outil est à faire après avoir discuté et entraîné les différentes méthodes indépendamment, en ayant expliqué l'utilité de chercher une méthode efficace. Ensuite, il conviendra de distribuer une feuille par élève, chacune générée séparément, et de les laisser travailler à les résoudre. Une fois une proportion suffisante des exercices résolus, l'enseignant·e peut procéder à une mise en commun lors de laquelle chaque élève — par exemple — expose l'équation dont la méthode de résolution a été perçue comme la moins évidente.
Ce projet entre dans le contexte d'entraîner la compétence de base « utiliser avec souplesse l'outillage mathématique » donnée dans l'Annexe au plan d'études cadre du 9 juin 1994 pour les écoles de maturité : Compétences de base en mathématiques et en langue première constitutives de l'aptitude générale aux études supérieures, du 17 mars 2016.
L'outil se présente comme cinq fichiers dans une archive .zip : le QUICKSTART, la README, un fichier codeSysteme.lua, un fichier main-systeme.tex et un fichier preamble-systeme.tex.
-
Le
*.luacontient la majorité de l'algorithme servant à produire les questions. -
Le
preamble-*.texenclenche un petit nombre de paquets, librement distribués dans TEXLive, MikTEX ou sur www.ctan.org. Ceux-ci comprennentluacode(automatique avec LuaLaTeX) etluacas, utilisé pour simplifier algébriquement certaines des équations-réponses. Dans le préambule, plusieurs commandes sont définies qui se réfèrent au*.lua. -
Le
main-*.texenclenche le préambule puis se charge de la mise en page du document.
L'outil est conçue pour que, après avoir décompressé l'archive .zip, il suffise d'ouvrir le fichier main-*.pdf dans votre éditeur TeX favori et de le compiler pour obtenir une fiche complète et utilisable. C'est un outil « prêt à l'emploi » (« plug and play »).
Il vous faut seulement vous assurer que vous ayez une distribution LaTeX à jour, et compiler le document avec le moteur LuaLaTeX (et non pdfLaTeX ou XeLaTeX).
Le document main-*.tex consiste en une série de 18 exercices, mis en page algorithmiquement avec les commandes
\foreach \n in {1,2,...,18}{\bfullroutine{\n}}et \showallquestions et \showallanswers.
Quelques commandes additionnelles sont également proposées directement dans le main-*.tex pour une mise en page alternative :
-
\bprintqna: imprime l'équation sur une ligne, suivie de la réponse. -
\bmakequestion: à utiliser en mode mathématique (mathmode), génère une équation à résoudre. -
\bmakeanswer: à utiliser en mode texte, donne la solution recommandée à la dernière équation générée par\bmakequestion.
Les deux dernières sont plus modulables, pouvant être utilisées pour placer l'équation et la réponse plus librement, par exemple au sein d'une plus grande feuille de travail avec d'autres types de questions.
Si vous le souhaitez, vous pouvez modifier quelques réglages dans l'algorithme qui décide des polynômes et des méthodes pour les résoudre. Ces réglages sont tous dans la section intitulée (EDITABLE) PREAMBLE du fichier .lua. En particulier, vous avez accès aux fonctionnalités suivantes :
- choisir la graine pour la générations de nombres pseudoaléatoires, en modifiant le paramètre de la fonction
math.randomseed()— si vous voulez pouvoir garder vos feuilles d'une fois à une autre, il vous faut fixer ce paramètre avant la compilation ; - choisir la probabilité d'avoir une matrice de coefficients qui soit singulière, en modifiant le paramètre
probability_singular.
Pour les utilisat·eu·rice·s les plus téméraires, quelques dernières fonctions sont également fournies à LaTeX depuis le code Lua. C'est la dernière section du code mainSysteme.tex, qui ressemble à ceci :
-- INTERFACE WITH LUALATEX ENGINE --
-- Export user-accessible functions (renamed using syntax `new = old`):
return {
polynomial = generate_exercise, -- returns {coefficients, num_sols, x, y}
methodString = pick_method_case, -- provides recommended method
printEquation = cas_equation, -- question preprinted for LaTeX
answer = answer_line, -- answer preprinted for LaTeX
fullRoutine = full_routine, -- whole shebang
printQnA = print_questions_and_answers, -- alternative, single-equation formatting style
}Pour accéder à ces fonctions, il faut les appeler depuis un document .tex. C'est ce qui est déjà fait dans preamble-*.tex pour certaines de celles-ci, avec les commandes suivantes.
% Activer les fonctions dans le code / Load lua code:
\directlua{codeB = require "codeSysteme"}
% Convertir fonctions de code.lua en commandes LaTeX / Extract useful functions as LaTeX commands:
\newcommand{\bfullroutine}[1]{\directlua{codeB.fullRoutine(#1)}} % format par défaut / default style
%[...]La syntaxe de ces fonctions est documentée dans le fichier mainSysteme.lua directement.
Pour produire plusieurs feuilles différentes d'un coup, afin de pouvoir par exemple les distribuer individuellement à une classe de 20 élèves, nous n'avons malheureusement pas trouvé d'autre solution que d'appeler plusieurs fois le moteur LuaLaTeX depuis un programme externe. Par exemple, sur Linux, vous pouvez taper le code suivant dans Bash depuis le dossier contenant main-*.tex :
for i in {1..20}; do lualatex -jobname feuille-$i main-systeme.tex; doneIl faudra cependant adapter ces commandes à la syntaxe particulière de votre système opératoire. Un autre exemple, pour Windows : ouvrez le dossier contenant main-*.tex, effectuez un clic-droit et sélectionner Ouvrir dans le Terminal. (Vérifiez que celui-ci soit bien la Windows PowerShell.) Dans le terminal, vous pouvez ensuite taper :
for ($var = 1; $var -le 20; $var++) {lualatex.exe -jobname feuille-$var main-systeme.tex}Il vous faudra donc vous familiariser avec la variante qui vous conviendra. N.b. — il vous faudra aussi adapter le nom de votre moteur LuaLaTeX (lualatex, lualatex.exe ou autre).
Dans le cadre de ce laboratoire didactique, deux outils ont été créés : l'un sur les systèmes d'équations et l'autre sur les équations du second degré. Si vous voulez pouvoir combiner les deux types de questions dans un seul et même document, créez un dossier contenant les fichiers codeQuadratique.lua et codeSysteme.lua. Ensuite, créez un fichier preamble.tex et copiez-y le code suivant (n'oubliez pas de sauvegarder).
%!TeX root = main.tex
% --- PRÉAMBULE ---
% langue et police:
\usepackage[quiet]{fontspec}
\usepackage{polyglossia} \setmainlanguage[variant=swiss]{french}
% calculs internes:
\usepackage{luacas}
% maths:
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[warnings-off={mathtools-colon,mathtools-overbracket}, math-style=ISO,]{unicode-math}
\usepackage[locale = FR, round-precision = 3, round-mode = figures, round-pad = false,]{siunitx}
% vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv
% \newcommand{\num}[1]{#1}
%% ^ à décommenter si vous voulez vous débarasser de ‹siunitx›
%% ^ uncomment if you want to get rid of ‹siunitx›
% choix esthétiques, facultatifs:
\let\oldemptyset\emptyset
\let\emptyset\varnothing
% permettent mise en page:
\usepackage{multicol}
\usepackage{pgffor}
% date et heure
\usepackage[timesep=., showzone=false, hourminsep=h, minsecsep=m,]{datetime2} % permet les horodatages
% ---- ANSWER-PRINTING STYLE FROM https://tex.stackexchange.com/a/15354 ----
% Define answer environment
\newbox\allanswers
\setbox\allanswers=\vbox{}
\newenvironment{customanswer}
{\global\setbox\allanswers=\vbox\bgroup
\unvbox\allanswers
\vspace{-4pt}
}
{\bigbreak\egroup}
\newcommand{\showallanswers}{\par\unvbox\allanswers}
% Define question environment
\newbox\allquestions
\setbox\allquestions=\vbox{}
\newenvironment{customquestion}
{\global\setbox\allquestions=\vbox\bgroup
\unvbox\allquestions
}
{\bigbreak\egroup}
\newcommand{\showallquestions}{\par\unvbox\allquestions}
%% ---------- PROVIDE \timestamp COMMAND -------------
% -- from https://flaterco.com/util/timestamp.sty --
\makeatletter
\newcount\@DT@modctr
\newcount\@dtctr
\def\@modulo#1#2{%
\@DT@modctr=#1\relax
\divide \@DT@modctr by #2\relax
\multiply \@DT@modctr by #2\relax
\advance #1 by -\@DT@modctr}
\newcommand{\xxivtime}{%
\@dtctr=\time%
\divide\@dtctr by 60
\ifnum\@dtctr<10 0\fi\the\@dtctr.%
\@dtctr=\time%
\@modulo{\@dtctr}{60}%
\ifnum\@dtctr<10 0\fi\the\@dtctr%
}
\newcommand{\timestamp}{\the\year-%
\ifnum\month<10 0\fi\the\month-%
\ifnum\day<10 0\fi\the\day\ \xxivtime}
\makeatother
% ---------------- ACCÈS AU CODE LUA: -----------------
% Aide-mémoire Lua: https://devhints.io/lua
%% OUTIL SECOND DEGRÉ
% Activer les fonctions dans le code:
% Load lua code:
\directlua{codeA = require "codeQuadratique"}
% Pour le format par défaut:
\newcommand{\afullroutine}[1]{\directlua{codeA.fullRoutine(#1)}}
% Pour imprimer question immédiatement suivie de réponse:
\newcommand{\aprintqna}{\directlua{codeA.printQnA()}}
% Pour librement produire question, et séparément la réponse
\newcommand{\amakequestion}{%
% MUST BE INSERTED IN MATHMODE: \(\amakequestion\)
\directlua{%
polynomialcoeffs = codeA.polynomial()
eqn = codeA.printEquation(table.unpack(polynomialcoeffs,1,3))
tex.print(eqn)
}
}
\newcommand{\amakeanswer}{%
% IN TEXTMODE
\directlua{%
tex.print(codeA.answer(table.unpack(polynomialcoeffs)))
}
}
%% OUTIL SYSTÈME D'ÉQUATIONS
% Activer les fonctions dans le code:
% Load lua code:
\directlua{codeB = require "codeSysteme"}
% Pour le format par défaut:
\newcommand{\bfullroutine}[1]{\directlua{codeB.fullRoutine(#1)}}
% Pour imprimer question immédiatement suivie de réponse:
\newcommand{\bprintqna}{\directlua{codeB.printQnA()}}
% Pour librement produire question, et séparément la réponse
\newcommand{\bmakequestion}{%
% MUST BE INSERTED IN MATHMODE: \(\bmakequestion\)
\directlua{%
coeffs, num_sols, x, y = codeB.polynomial(0.2)
eqn = codeB.printEquation(coeffs)
tex.print(eqn)
}
}
\newcommand{\bmakeanswer}{%
% IN TEXTMODE
\directlua{%
tex.print(codeB.answer(coeffs, num_sols, x, y))
}
}
Une fois que c'est fait, vous pouvez créer un fichier main.tex (toujours dans le même dossier) et le remplir comme vous convient, tant que vous n'oubliez pas d'y inclure le préambule avec la commande \input{preamble.tex}. Une idée de base depuis laquelle travailler est la suivante.
\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
\usepackage[margin=2cm]{geometry}
\input{preamble.tex}
\begin{document} \thispagestyle{empty}
\foreach \n in {1,2,...,12}{\afullroutine{\n}} % prépare les questions/réponses
\begin{multicols}{3} \showallquestions \end{multicols} % imprime la liste des questions
~\medskip \showallanswers % espace vertical, puis imprime la liste des réponses
\medskip %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hbox to \linewidth{\leaders\hbox to 4pt{\hss · \hss}\hfil} % séparation entre les parties
\setbox\allanswers=\vbox{} % vider la boîte des réponses
\setbox\allquestions=\vbox{} % vider la boîte des questions
\medskip %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\foreach \n in {1,2,...,9}{\bfullroutine{\n}} % prépare les questions/réponses
\begin{multicols}{3} \showallquestions \end{multicols} % imprime la liste des questions
~\medskip \showallanswers % espace vertical, puis imprime la liste des réponses
\end{document}Un exemple de fiche créée suivant cette procédure est disponible sur Overleaf.
Cet outil est distribué avec la licence GPL-3.0-or-later par ses auteurs :
- Alexandros Rispo Constantinou
- Mathias Blaise
Une page GitHub pour cet outil est également disponible.