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幾何学 (geometry)

距離

幾何学にはいくつか距離の概念がある。

点pと点qを繋ぐ直線がユークリッド距離。

$d(p, q) = \sqrt{(q_1-p_1)^2 + (q_2-p_2)^2}$

点pから点qまで、碁盤目状の道を辿る場合の距離がマンハッタン距離。マンハッタン島は都市計画に基づいて格子状に設計されていることから。

$d_{1}(p, q) := \sum\limits_{k=1}^{n} |p_k - q_k|.$

解析幾何学 (analytic geometry)

図形の性質を、直角や並行、合同、相似といった言葉を用いて、視覚的に調べる分野を純粋幾何学という。これに対して、図形を数式や座標を使って表し、変数を使った計算で傾きや面積などを調べることを解析幾何学と呼ぶ。ChatGPTによって例示した。¹

陰関数と陽関数 (implicit function and explicit function)

$y=2x$のように、ある変数（ここでは$x$）が定まるともう1つの変数（ここでは$y$）が定まることを、$y$は$x$の（値に依存する）関数である（＝によって定義される）という。依存関係を明示しているから陽関数ともいう。一方で、$y^2+x^2=1$のような式は、$x$の値によって$y$の値が定まるかが不明である。これを陰関数という。おそらく「$y$は$x$の陰関数である」の省略形なのだが、多項式=定数の形で定義すると全ての変数同士で関係性が暗黙的になるから、単に陰関数と呼ぶのだろう。逆関数も陰関数であるため、この説明が妥当だと考える。

英語を直訳すると暗黙関数と明示関数になる。個人的にはこちらのほうが分かりやすいと思う。

2次元の図形には高さや幅がある。つまり、ある$x$座標の位置に対して$y$座標の値が複数あり得る。言い換えると$x$の値によって$y$が定まらないため、陰関数で表すのが適している。

Footnotes

1. 円の接線の性質 | ChatGPT ↩