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115.不同的子序列

力扣题目链接

给定一个字符串 s 和一个字符串 t ，计算在 s 的子序列中 t 出现的个数。

字符串的一个子序列是指，通过删除一些（也可以不删除）字符且不干扰剩余字符相对位置所组成的新字符串。（例如，"ACE" 是 "ABCDE" 的一个子序列，而 "AEC" 不是）

题目数据保证答案符合 32 位带符号整数范围。

提示：

0 <= s.length, t.length <= 1000
s 和 t 由英文字母组成

算法公开课

《代码随想录》算法视频公开课：动态规划之子序列，为了编辑距离做铺垫 | LeetCode：115.不同的子序列，相信结合视频在看本篇题解，更有助于大家对本题的理解。

思路

这道题目如果不是子序列，而是要求连续序列的，那就可以考虑用KMP。

这道题目相对于72. 编辑距离，简单了不少，因为本题相当于只有删除操作，不用考虑替换增加之类的。

但相对于刚讲过的动态规划：392.判断子序列就有难度了，这道题目双指针法可就做不了了，来看看动规五部曲分析如下：

确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j]：以i-1为结尾的s子序列中出现以j-1为结尾的t的个数为dp[i][j]。

为什么i-1，j-1 这么定义我在 718. 最长重复子数组中做了详细的讲解。

确定递推公式

这一类问题，基本是要分析两种情况

s[i - 1] 与 t[j - 1]相等
s[i - 1] 与 t[j - 1] 不相等

当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时，dp[i][j]可以有两部分组成。

一部分是用s[i - 1]来匹配，那么个数为dp[i - 1][j - 1]。即不需要考虑当前s子串和t子串的最后一位字母，所以只需要 dp[i-1][j-1]。

一部分是不用s[i - 1]来匹配，个数为dp[i - 1][j]。

这里可能有录友不明白了，为什么还要考虑不用s[i - 1]来匹配，都相同了指定要匹配啊。

例如： s：bagg 和 t：bag ，s[3] 和 t[2]是相同的，但是字符串s也可以不用s[3]来匹配，即用s[0]s[1]s[2]组成的bag。

当然也可以用s[3]来匹配，即：s[0]s[1]s[3]组成的bag。

所以当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];

当s[i - 1] 与 t[j - 1]不相等时，dp[i][j]只有一部分组成，不用s[i - 1]来匹配（就是模拟在s中删除这个元素），即：dp[i - 1][j]

所以递推公式为：dp[i][j] = dp[i - 1][j];

这里可能有录友还疑惑，为什么只考虑 “不用s[i - 1]来匹配” 这种情况，不考虑 “不用t[j - 1]来匹配” 的情况呢。

这里大家要明确，我们求的是 s 中有多少个 t，而不是求t中有多少个s，所以只考虑 s中删除元素的情况，即不用s[i - 1]来匹配的情况。

dp数组如何初始化

从递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]; 和 dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 中可以看出dp[i][j] 是从上方和左上方推导而来，如图：，那么 dp[i][0] 和dp[0][j]是一定要初始化的。

每次当初始化的时候，都要回顾一下dp[i][j]的定义，不要凭感觉初始化。

dp[i][0]表示什么呢？

dp[i][0] 表示：以i-1为结尾的s可以随便删除元素，出现空字符串的个数。

那么dp[i][0]一定都是1，因为也就是把以i-1为结尾的s，删除所有元素，出现空字符串的个数就是1。

再来看dp[0][j]，dp[0][j]：空字符串s可以随便删除元素，出现以j-1为结尾的字符串t的个数。

那么dp[0][j]一定都是0，s如论如何也变成不了t。

最后就要看一个特殊位置了，即：dp[0][0] 应该是多少。

dp[0][0]应该是1，空字符串s，可以删除0个元素，变成空字符串t。

初始化分析完毕，代码如下：

vector<vector<long long>> dp(s.size() + 1, vector<long long>(t.size() + 1));
for (int i = 0; i <= s.size(); i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 1; j <= t.size(); j++) dp[0][j] = 0; // 其实这行代码可以和dp数组初始化的时候放在一起，但我为了凸显初始化的逻辑，所以还是加上了。

确定遍历顺序

从递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]; 和 dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 中可以看出dp[i][j]都是根据左上方和正上方推出来的。

所以遍历的时候一定是从上到下，从左到右，这样保证dp[i][j]可以根据之前计算出来的数值进行计算。

代码如下：

for (int i = 1; i <= s.size(); i++) {
    for (int j = 1; j <= t.size(); j++) {
        if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
        } else {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        }
    }
}

举例推导dp数组

以s："baegg"，t："bag"为例，推导dp数组状态如下：

如果写出来的代码怎么改都通过不了，不妨把dp数组打印出来，看一看，是不是这样的。

动规五部曲分析完毕，代码如下：

class Solution {
public:
    int numDistinct(string s, string t) {
        vector<vector<uint64_t>> dp(s.size() + 1, vector<uint64_t>(t.size() + 1));
        for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j < t.size(); j++) dp[0][j] = 0;
        for (int i = 1; i <= s.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= t.size(); j++) {
                if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                }
            }
        }
        return dp[s.size()][t.size()];
    }
};

时间复杂度: O(n * m)
空间复杂度: O(n * m)

其他语言版本

Java：

class Solution {
    public int numDistinct(String s, String t) {
        int[][] dp = new int[s.length() + 1][t.length() + 1];
        for (int i = 0; i < s.length() + 1; i++) {
            dp[i][0] = 1;
        }
        
        for (int i = 1; i < s.length() + 1; i++) {
            for (int j = 1; j < t.length() + 1; j++) {
                if (s.charAt(i - 1) == t.charAt(j - 1)) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
                }else{
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                }
            }
        }
        
        return dp[s.length()][t.length()];
    }
}

Python：

class Solution:
    def numDistinct(self, s: str, t: str) -> int:
        dp = [[0] * (len(t)+1) for _ in range(len(s)+1)]
        for i in range(len(s)):
            dp[i][0] = 1
        for j in range(1, len(t)):
            dp[0][j] = 0
        for i in range(1, len(s)+1):
            for j in range(1, len(t)+1):
                if s[i-1] == t[j-1]:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]
                else:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j]
        return dp[-1][-1]

Python3:

class SolutionDP2:
    """
    既然dp[i]只用到dp[i - 1]的状态，
    我们可以通过缓存dp[i - 1]的状态来对dp进行压缩，
    减少空间复杂度。
    （原理等同同于滚动数组）
    """
    
    def numDistinct(self, s: str, t: str) -> int:
        n1, n2 = len(s), len(t)
        if n1 < n2:
            return 0

        dp = [0 for _ in range(n2 + 1)]
        dp[0] = 1

        for i in range(1, n1 + 1):
            # 必须深拷贝
            # 不然prev[i]和dp[i]是同一个地址的引用
            prev = dp.copy()
            # 剪枝，保证s的长度大于等于t
            # 因为对于任意i，i > n1, dp[i] = 0
            # 没必要跟新状态。 
            end = i if i < n2 else n2
            for j in range(1, end + 1):
                if s[i - 1] == t[j - 1]:
                    dp[j] = prev[j - 1] + prev[j]
                else:
                    dp[j] = prev[j]
        return dp[-1]

Go：

func numDistinct(s string, t string) int {
    dp:= make([][]int,len(s)+1)
    for i:=0;i<len(dp);i++{
        dp[i] = make([]int,len(t)+1)
    }
    // 初始化
    for i:=0;i<len(dp);i++{
        dp[i][0] = 1
    }
    // dp[0][j] 为 0，默认值，因此不需要初始化
    for i:=1;i<len(dp);i++{
        for j:=1;j<len(dp[i]);j++{
            if s[i-1] == t[j-1]{
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]
            }else{
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            }
        }
    }
    return dp[len(dp)-1][len(dp[0])-1]
}

Javascript:

const numDistinct = (s, t) => {
    let dp = Array.from(Array(s.length + 1), () => Array(t.length +1).fill(0));

    for(let i = 0; i <=s.length; i++) {
        dp[i][0] = 1;
    }
    
    for(let i = 1; i <= s.length; i++) {
        for(let j = 1; j<= t.length; j++) {
            if(s[i-1] === t[j-1]) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j];
            } else {
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            }
        }
    }

    return dp[s.length][t.length];
};

TypeScript：

function numDistinct(s: string, t: string): number {
    /**
        dp[i][j]: s前i个字符，t前j个字符，s子序列中t出现的个数
        dp[0][0]=1, 表示s前0个字符为''，t前0个字符为''
     */
    const sLen: number = s.length,
        tLen: number = t.length;
    const dp: number[][] = new Array(sLen + 1).fill(0)
        .map(_ => new Array(tLen + 1).fill(0));
    for (let m = 0; m < sLen; m++) {
        dp[m][0] = 1;
    }
    for (let i = 1; i <= sLen; i++) {
        for (let j = 1; j <= tLen; j++) {
            if (s[i - 1] === t[j - 1]) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
            } else {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            }
        }
    }
    return dp[sLen][tLen];
};

Rust:

impl Solution {
    pub fn num_distinct(s: String, t: String) -> i32 {
        if s.len() < t.len() {
            return 0;
        }
        let mut dp = vec![vec![0; s.len() + 1]; t.len() + 1];
        // i = 0, t 为空字符串，s 作为子序列的个数为 1（删除 s 所有元素）
        dp[0] = vec![1; s.len() + 1];
        for (i, char_t) in t.chars().enumerate() {
            for (j, char_s) in s.chars().enumerate() {
                if char_t == char_s {
                    // t 的前 i 个字符在 s 的前 j 个字符中作为子序列的个数
                    dp[i + 1][j + 1] = dp[i][j] + dp[i + 1][j];
                    continue;
                }
                dp[i + 1][j + 1] = dp[i + 1][j];
            }
        }
        dp[t.len()][s.len()]
    }
}

滚动数组

impl Solution {
    pub fn num_distinct(s: String, t: String) -> i32 {
        if s.len() < t.len() {
            return 0;
        }
        let (s, t) = (s.into_bytes(), t.into_bytes());
        // 对于 t 为空字符串，s 作为子序列的个数为 1（删除 s 所有元素）
        let mut dp = vec![1; s.len() + 1];
        for char_t in t {
            // dp[i - 1][j - 1]，dp[j + 1] 更新之前的值
            let mut pre = dp[0];
            // 当开始遍历 t，s 的前 0 个字符无法包含任意子序列
            dp[0] = 0;
            for (j, &char_s) in s.iter().enumerate() {
                let temp = dp[j + 1];
                if char_t == char_s {
                    dp[j + 1] = pre + dp[j];
                } else {
                    dp[j + 1] = dp[j];
                }
                pre = temp;
            }
        }
        dp[s.len()]
    }
}

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