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给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。
示例 1:
- 输入: 2
- 输出: 1
- 解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
示例 2:
- 输入: 10
- 输出: 36
- 解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
- 说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。
《代码随想录》算法视频公开课：动态规划，本题关键在于理解递推公式！| LeetCode：343. 整数拆分，相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解。
看到这道题目，都会想拆成两个呢，还是三个呢，还是四个....
我们来看一下如何使用动规来解决。
动规五部曲，分析如下：
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。
dp[i]的定义将贯彻整个解题过程，下面哪一步想不懂了，就想想dp[i]究竟表示的是啥！
- 确定递推公式
可以想 dp[i]最大乘积是怎么得到的呢？
其实可以从1遍历j，然后有两种渠道得到dp[i].
一个是j * (i - j) 直接相乘。
一个是j * dp[i - j]，相当于是拆分(i - j)，对这个拆分不理解的话，可以回想dp数组的定义。
那有同学问了，j怎么就不拆分呢？
j是从1开始遍历，拆分j的情况，在遍历j的过程中其实都计算过了。那么从1遍历j，比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。递推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
也可以这么理解，j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘，而j * dp[i - j]是拆分成两个以及两个以上的个数相乘。
如果定义dp[i - j] * dp[j] 也是默认将一个数强制拆成4份以及4份以上了。
所以递推公式：dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j});
那么在取最大值的时候，为什么还要比较dp[i]呢？
因为在递推公式推导的过程中，每次计算dp[i]，取最大的而已。
- dp的初始化
不少同学应该疑惑，dp[0] dp[1]应该初始化多少呢？
有的题解里会给出dp[0] = 1，dp[1] = 1的初始化，但解释比较牵强，主要还是因为这么初始化可以把题目过了。
严格从dp[i]的定义来说，dp[0] dp[1] 就不应该初始化，也就是没有意义的数值。
拆分0和拆分1的最大乘积是多少？
这是无解的。
这里我只初始化dp[2] = 1，从dp[i]的定义来说，拆分数字2，得到的最大乘积是1，这个没有任何异议！
- 确定遍历顺序
确定遍历顺序，先来看看递归公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]。
所以遍历顺序为：
for (int i = 3; i <= n ; i++) {
for (int j = 1; j < i - 1; j++) {
dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
}
}注意 枚举j的时候，是从1开始的。从0开始的话，那么让拆分一个数拆个0，求最大乘积就没有意义了。
j的结束条件是 j < i - 1 ，其实 j < i 也是可以的，不过可以节省一步，例如让j = i - 1，的话，其实在 j = 1的时候，这一步就已经拆出来了，重复计算，所以 j < i - 1
至于 i是从3开始，这样dp[i - j]就是dp[2]正好可以通过我们初始化的数值求出来。
更优化一步，可以这样：
for (int i = 3; i <= n ; i++) {
for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
}
}因为拆分一个数n 使之乘积最大，那么一定是拆分成m个近似相同的子数相乘才是最大的。
例如 6 拆成 3 * 3， 10 拆成 3 * 3 * 4。 100的话 也是拆成m个近似数组的子数 相乘才是最大的。
只不过我们不知道m究竟是多少而已，但可以明确的是m一定大于等于2，既然m大于等于2，也就是 最差也应该是拆成两个相同的 可能是最大值。
那么 j 遍历，只需要遍历到 n/2 就可以，后面就没有必要遍历了，一定不是最大值。
至于 “拆分一个数n 使之乘积最大，那么一定是拆分成m个近似相同的子数相乘才是最大的” 这个我就不去做数学证明了，感兴趣的同学，可以自己证明。
- 举例推导dp数组
举例当n为10 的时候，dp数组里的数值，如下：
以上动规五部曲分析完毕，C++代码如下：
class Solution {
public:
int integerBreak(int n) {
vector<int> dp(n + 1);
dp[2] = 1;
for (int i = 3; i <= n ; i++) {
for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
}
}
return dp[n];
}
};- 时间复杂度：O(n^2)
- 空间复杂度：O(n)
本题也可以用贪心，每次拆成n个3，如果剩下是4，则保留4，然后相乘，但是这个结论需要数学证明其合理性！
我没有证明，而是直接用了结论。感兴趣的同学可以自己再去研究研究数学证明哈。
给出我的C++代码如下：
class Solution {
public:
int integerBreak(int n) {
if (n == 2) return 1;
if (n == 3) return 2;
if (n == 4) return 4;
int result = 1;
while (n > 4) {
result *= 3;
n -= 3;
}
result *= n;
return result;
}
};- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(1)
本题掌握其动规的方法，就可以了，贪心的解法确实简单，但需要有数学证明，如果能自圆其说也是可以的。
其实这道题目的递推公式并不好想，而且初始化的地方也很有讲究，我在写本题的时候一开始写的代码是这样的：
class Solution {
public:
int integerBreak(int n) {
if (n <= 3) return 1 * (n - 1);
vector<int> dp(n + 1, 0);
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
dp[3] = 3;
for (int i = 4; i <= n ; i++) {
for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
dp[i] = max(dp[i], dp[i - j] * dp[j]);
}
}
return dp[n];
}
};这个代码也是可以过的！
在解释递推公式的时候，也可以解释通，dp[i] 就等于 拆解i - j的最大乘积 * 拆解j的最大乘积。 看起来没毛病！
但是在解释初始化的时候，就发现自相矛盾了，dp[1]为什么一定是1呢？根据dp[i]的定义，dp[2]也不应该是2啊。
但如果递归公式是 dp[i] = max(dp[i], dp[i - j] * dp[j]);，就一定要这么初始化。递推公式没毛病，但初始化解释不通！
虽然代码在初始位置有一个判断if (n <= 3) return 1 * (n - 1);，保证n<=3 结果是正确的，但代码后面又要给dp[1]赋值1 和 dp[2] 赋值 2，这其实就是自相矛盾的代码，违背了dp[i]的定义！
我举这个例子，其实就说做题的严谨性，上面这个代码也可以AC，大体上一看好像也没有毛病，递推公式也说得过去，但是仅仅是恰巧过了而已。
class Solution {
public int integerBreak(int n) {
//dp[i] 为正整数 i 拆分后的结果的最大乘积
int[] dp = new int[n+1];
dp[2] = 1;
for(int i = 3; i <= n; i++) {
for(int j = 1; j <= i-j; j++) {
// 这里的 j 其实最大值为 i-j,再大只不过是重复而已，
//并且，在本题中，我们分析 dp[0], dp[1]都是无意义的，
//j 最大到 i-j,就不会用到 dp[0]与dp[1]
dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j*(i-j), j*dp[i-j]));
// j * (i - j) 是单纯的把整数 i 拆分为两个数 也就是 i,i-j ，再相乘
//而j * dp[i - j]是将 i 拆分成两个以及两个以上的个数,再相乘。
}
}
return dp[n];
}
}贪心
class Solution {
public int integerBreak(int n) {
// with 贪心
// 通过数学原理拆出更多的3乘积越大，则
/**
@Param: an int, the integer we need to break.
@Return: an int, the maximum integer after breaking
@Method: Using math principle to solve this problem
@Time complexity: O(1)
**/
if(n == 2) return 1;
if(n == 3) return 2;
int result = 1;
while(n > 4) {
n-=3;
result *=3;
}
return result*n;
}
}动态规划（版本一）
class Solution:
# 假设对正整数 i 拆分出的第一个正整数是 j（1 <= j < i），则有以下两种方案：
# 1) 将 i 拆分成 j 和 i−j 的和，且 i−j 不再拆分成多个正整数，此时的乘积是 j * (i-j)
# 2) 将 i 拆分成 j 和 i−j 的和，且 i−j 继续拆分成多个正整数，此时的乘积是 j * dp[i-j]
def integerBreak(self, n):
dp = [0] * (n + 1) # 创建一个大小为n+1的数组来存储计算结果
dp[2] = 1 # 初始化dp[2]为1，因为当n=2时，只有一个切割方式1+1=2，乘积为1
# 从3开始计算，直到n
for i in range(3, n + 1):
# 遍历所有可能的切割点
for j in range(1, i // 2 + 1):
# 计算切割点j和剩余部分(i-j)的乘积，并与之前的结果进行比较取较大值
dp[i] = max(dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j)
return dp[n] # 返回最终的计算结果
动态规划（版本二）
class Solution:
def integerBreak(self, n):
if n <= 3:
return 1 * (n - 1) # 对于n小于等于3的情况，返回1 * (n - 1)
dp = [0] * (n + 1) # 创建一个大小为n+1的数组来存储最大乘积结果
dp[1] = 1 # 当n等于1时，最大乘积为1
dp[2] = 2 # 当n等于2时，最大乘积为2
dp[3] = 3 # 当n等于3时，最大乘积为3
# 从4开始计算，直到n
for i in range(4, n + 1):
# 遍历所有可能的切割点
for j in range(1, i // 2 + 1):
# 计算切割点j和剩余部分(i - j)的乘积，并与之前的结果进行比较取较大值
dp[i] = max(dp[i], dp[i - j] * dp[j])
return dp[n] # 返回整数拆分的最大乘积结果贪心
class Solution:
def integerBreak(self, n):
if n == 2: # 当n等于2时，只有一种拆分方式：1+1=2，乘积为1
return 1
if n == 3: # 当n等于3时，只有一种拆分方式：2+1=3，乘积为2
return 2
if n == 4: # 当n等于4时，有两种拆分方式：2+2=4和1+1+1+1=4，乘积都为4
return 4
result = 1
while n > 4:
result *= 3 # 每次乘以3，因为3的乘积比其他数字更大
n -= 3 # 每次减去3
result *= n # 将剩余的n乘以最后的结果
return result动态规划
func integerBreak(n int) int {
/**
动态五部曲
1.确定dp下标及其含义
2.确定递推公式
3.确定dp初始化
4.确定遍历顺序
5.打印dp
**/
dp := make([]int, n+1)
dp[1] = 1
dp[2] = 1
for i := 3; i < n+1; i++ {
for j := 1; j < i-1; j++ {
// i可以差分为i-j和j。由于需要最大值，故需要通过j遍历所有存在的值，取其中最大的值作为当前i的最大值，在求最大值的时候，一个是j与i-j相乘，一个是j与dp[i-j].
dp[i] = max(dp[i], max(j*(i-j), j*dp[i-j]))
}
}
return dp[n]
}
func max(a, b int) int{
if a > b {
return a
}
return b
}贪心
func integerBreak(n int) int {
if n == 2 {
return 1
}
if n == 3 {
return 2
}
if n == 4 {
return 4
}
result := 1
for n > 4 {
result *= 3
n -= 3
}
result *= n
return result
}var integerBreak = function(n) {
let dp = new Array(n + 1).fill(0)
dp[2] = 1
for(let i = 3; i <= n; i++) {
for(let j = 1; j <= i / 2; j++) {
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - j] * j, (i - j) * j)
}
}
return dp[n]
};pub fn integer_break(n: i32) -> i32 {
let n = n as usize;
let mut dp = vec![0; n + 1];
dp[2] = 1;
for i in 3..=n {
for j in 1..i-1 {
dp[i] = dp[i].max((i - j) * j).max(dp[i - j] * j);
}
}
dp[n] as i32
}贪心：
impl Solution {
pub fn integer_break(mut n: i32) -> i32 {
match n {
2 => 1,
3 => 2,
4 => 4,
5.. => {
let mut res = 1;
while n > 4 {
res *= 3;
n -= 3;
}
res * n
}
_ => panic!("Error"),
}
}
}function integerBreak(n: number): number {
/**
dp[i]: i对应的最大乘积
dp[2]: 1;
...
dp[i]: max(
1 * dp[i - 1], 1 * (i - 1),
2 * dp[i - 2], 2 * (i - 2),
..., (i - 2) * dp[2], (i - 2) * 2
);
*/
const dp: number[] = new Array(n + 1).fill(0);
dp[2] = 1;
for (let i = 3; i <= n; i++) {
for (let j = 1; j <= i / 2; j++) {
dp[i] = Math.max(dp[i], j * dp[i - j], j * (i - j));
}
}
return dp[n];
};//初始化DP数组
int *initDP(int num) {
int* dp = (int*)malloc(sizeof(int) * (num + 1));
int i;
for(i = 0; i < num + 1; ++i) {
dp[i] = 0;
}
return dp;
}
//取三数最大值
int max(int num1, int num2, int num3) {
int tempMax = num1 > num2 ? num1 : num2;
return tempMax > num3 ? tempMax : num3;
}
int integerBreak(int n){
int *dp = initDP(n);
//初始化dp[2]为1
dp[2] = 1;
int i;
for(i = 3; i <= n; ++i) {
int j;
for(j = 1; j < i - 1; ++j) {
//取得上次循环:dp[i]，原数相乘，或j*dp[]i-j] 三数中的最大值
dp[i] = max(dp[i], j * (i - j), j * dp[i - j]);
}
}
return dp[n];
}object Solution {
def integerBreak(n: Int): Int = {
var dp = new Array[Int](n + 1)
dp(2) = 1
for (i <- 3 to n) {
for (j <- 1 until i - 1) {
dp(i) = math.max(dp(i), math.max(j * (i - j), j * dp(i - j)))
}
}
dp(n)
}
}class Solution {
/**
* @param Integer $n
* @return Integer
*/
function integerBreak($n) {
if($n == 0 || $n == 1) return 0;
if($n == 2) return 1;
$dp = [];
$dp[0] = 0;
$dp[1] = 0;
$dp[2] = 1;
for($i=3;$i<=$n;$i++){
for($j = 1;$j <= $i/2; $j++){
$dp[$i] = max(($i-$j)*$j, $dp[$i-$j]*$j, $dp[$i]);
}
}
return $dp[$n];
}
}public class Solution
{
public int IntegerBreak(int n)
{
int[] dp = new int[n + 1];
dp[2] = 1;
for (int i = 3; i <= n; i++)
{
for (int j = 1; j <= i / 2; j++)
{
dp[i] = Math.Max(dp[i],Math.Max(j*(i-j),j*dp[i-j]));
}
}
return dp[n];
}
}
