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0494.目标和.md

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494.目标和

力扣题目链接

难度:中等

给定一个非负整数数组,a1, a2, ..., an, 和一个目标数,S。现在你有两个符号 + 和 -。对于数组中的任意一个整数,你都可以从 + 或 -中选择一个符号添加在前面。

返回可以使最终数组和为目标数 S 的所有添加符号的方法数。

示例:

  • 输入:nums: [1, 1, 1, 1, 1], S: 3
  • 输出:5

解释:

  • -1+1+1+1+1 = 3
  • +1-1+1+1+1 = 3
  • +1+1-1+1+1 = 3
  • +1+1+1-1+1 = 3
  • +1+1+1+1-1 = 3

一共有5种方法让最终目标和为3。

提示:

  • 数组非空,且长度不会超过 20 。
  • 初始的数组的和不会超过 1000 。
  • 保证返回的最终结果能被 32 位整数存下。

算法公开课

《代码随想录》算法视频公开课装满背包有多少种方法?| LeetCode:494.目标和,相信结合视频再看本篇题解,更有助于大家对本题的理解

思路

如果对背包问题不都熟悉先看这两篇:

如果跟着「代码随想录」一起学过回溯算法系列的录友,看到这道题,应该有一种直觉,就是感觉好像回溯法可以暴搜出来。

事实确实如此,下面我也会给出相应的代码,只不过会超时。

这道题目咋眼一看和动态规划背包啥的也没啥关系。

本题要如何使表达式结果为target,

既然为target,那么就一定有 left组合 - right组合 = target。

left + right = sum,而sum是固定的。right = sum - left

left - (sum - left) = target 推导出 left = (target + sum)/2 。

target是固定的,sum是固定的,left就可以求出来。

此时问题就是在集合nums中找出和为left的组合。

回溯算法

在回溯算法系列中,一起学过这道题目回溯算法:39. 组合总和的录友应该感觉很熟悉,这不就是组合总和问题么?

此时可以套组合总和的回溯法代码,几乎不用改动。

当然,也可以转变成序列区间选+ 或者 -,使用回溯法,那就是另一个解法。

我也把代码给出来吧,大家可以了解一下,回溯的解法,以下是本题转变为组合总和问题的回溯法代码:

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) {
        if (sum == target) {
            result.push_back(path);
        }
        // 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历
        for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
            sum += candidates[i];
            path.push_back(candidates[i]);
            backtracking(candidates, target, sum, i + 1);
            sum -= candidates[i];
            path.pop_back();

        }
    }
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int S) {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
        if (S > sum) return 0; // 此时没有方案
        if ((S + sum) % 2) return 0; // 此时没有方案,两个int相加的时候要格外小心数值溢出的问题
        int bagSize = (S + sum) / 2; // 转变为组合总和问题,bagsize就是要求的和

        // 以下为回溯法代码
        result.clear();
        path.clear();
        sort(nums.begin(), nums.end()); // 需要排序
        backtracking(nums, bagSize, 0, 0);
        return result.size();
    }
};

当然以上代码超时了。

也可以使用记忆化回溯,但这里我就不在回溯上下功夫了,直接看动规吧

动态规划 (二维dp数组)

假设加法的总和为x,那么减法对应的总和就是sum - x。

所以我们要求的是 x - (sum - x) = target

x = (target + sum) / 2

此时问题就转化为,用nums装满容量为x的背包,有几种方法

这里的x,就是bagSize,也就是我们后面要求的背包容量。

大家看到(target + sum) / 2 应该担心计算的过程中向下取整有没有影响。

这么担心就对了,例如sum是5,target是2 的话其实就是无解的,所以:

(C++代码中,输入的S 就是题目描述的 target)
if ((target + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案

同时如果target 的绝对值已经大于sum,那么也是没有方案的。

if (abs(target) > sum) return 0; // 此时没有方案

因为每个物品(题目中的1)只用一次!

这次和之前遇到的背包问题不一样了,之前都是求容量为j的背包,最多能装多少。

本题则是装满有几种方法。其实这就是一个组合问题了。

  1. 确定dp数组以及下标的含义

先用 二维 dp数组求解本题,dp[i][j]:使用 下标为[0, i]的nums[i]能够凑满j(包括j)这么大容量的包,有dp[i][j]种方法。

01背包为什么这么定义dp数组,我在0-1背包理论基础中 确定dp数组的含义里讲解过。

  1. 确定递推公式

我们先手动推导一下,这个二维数组里面的数值。


先只考虑物品0,如图:

(这里的所有物品,都是题目中的数字1)。

装满背包容量为0 的方法个数是1,即 放0件物品。

装满背包容量为1 的方法个数是1,即 放物品0。

装满背包容量为2 的方法个数是0,目前没有办法能装满容量为2的背包。


接下来 考虑 物品0 和 物品1,如图:

装满背包容量为0 的方法个数是1,即 放0件物品。

装满背包容量为1 的方法个数是2,即 放物品0 或者 放物品1。

装满背包容量为2 的方法个数是1,即 放物品0 和 放物品1。

其他容量都不能装满,所以方法是0。


接下来 考虑 物品0 、物品1 和 物品2 ,如图:

装满背包容量为0 的方法个数是1,即 放0件物品。

装满背包容量为1 的方法个数是3,即 放物品0 或者 放物品1 或者 放物品2。

装满背包容量为2 的方法个数是3,即 放物品0 和 放物品1、放物品0 和 物品2、放物品1 和 物品2。

装满背包容量为3的方法个数是1,即 放物品0 和 物品1 和 物品2。


通过以上举例,我们来看 dp[2][2] 可以有哪些方向推出来。

如图红色部分:

dp[2][2] = 3,即 放物品0 和 放物品1、放物品0 和 物品 2、放物品1 和 物品2, 如图所示,三种方法:

容量为2 的背包,如果不放 物品2 有几种方法呢

有 dp[1][2] 种方法,即 背包容量为2,只考虑物品0 和 物品1 ,有 dp[1][2] 种方法,如图:

容量为2 的背包, 如果放 物品2 有几种方法呢

首先 要在背包里 先把物品2的容量空出来, 装满 刨除物品2容量 的背包 有几种方法呢?

刨除物品2容量后的背包容量为 1。

此时装满背包容量为1 有 dp[1][1] 种方法,即: 不放物品2,背包容量为1,只考虑物品 0 和 物品 1,有 dp[1][1] 种方法。

如图:

有录友可能疑惑,这里计算的是放满 容量为2的背包 有几种方法,那物品2去哪了?

在上面图中,你把物品2补上就好,同样是两种方法。

dp[2][2] = 容量为2的背包不放物品2有几种方法 + 容量为2的背包放物品2有几种方法

所以 dp[2][2] = dp[1][2] + dp[1][1] ,如图:

以上过程,抽象化如下:

  • 不放物品i:即背包容量为j,里面不放物品i,装满有dp[i - 1][j]中方法。

  • 放物品i: 即:先空出物品i的容量,背包容量为(j - 物品i容量),放满背包有 dp[i - 1][j - 物品i容量] 种方法。

本题中,物品i的容量是nums[i],价值也是nums[i]。

递推公式:dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];

考到这个递推公式,我们应该注意到,j - nums[i] 作为数组下标,如果 j - nums[i] 小于零呢?

说明背包容量装不下 物品i,所以此时装满背包的方法值 等于 不放物品i的装满背包的方法,即:dp[i][j] = dp[i - 1][j];

所以递推公式:

if (nums[i] > j) dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 
else dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];
  1. dp数组如何初始化

先明确递推的方向,如图,求解 dp[2][2] 是由 上方和左上方推出。

那么二维数组的最上行 和 最左列一定要初始化,这是递推公式推导的基础,如图红色部分:

关于dp[0][0]的值,在上面的递推公式讲解中已经讲过,装满背包容量为0 的方法数量是1,即 放0件物品。

那么最上行dp[0][j] 如何初始化呢?

dp[0][j]:只放物品0, 把容量为j的背包填满有几种方法。

只有背包容量为 物品0 的容量的时候,方法为1,正好装满。

其他情况下,要不是装不满,要不是装不下。

所以初始化:dp[0][nums[0]] = 1 ,其他均为0 。

表格最左列也要初始化,dp[i][0] : 背包容量为0, 放物品0 到 物品i,装满有几种方法。

都是有一种方法,就是放0件物品。

即 dp[i][0] = 1

但这里有例外,就是如果 物品数值就是0呢?

如果有两个物品,物品0为0, 物品1为0,装满背包容量为0的方法有几种。

  • 放0件物品
  • 放物品0
  • 放物品1
  • 放物品0 和 物品1

此时是有4种方法。

其实就是算数组里有t个0,然后按照组合数量求,即 2^t 。

初始化如下:

int numZero = 0;
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
    if (nums[i] == 0) numZero++;
    dp[i][0] = (int) pow(2.0, numZero);
}
  1. 确定遍历顺序

在明确递推方向时,我们知道 当前值 是由上方和左上方推出。

那么我们的遍历顺序一定是 从上到下,从左到右。

因为只有这样,我们才能基于之前的数值做推导。

例如下图,如果上方没数值,左上方没数值,就无法推出 dp[2][2]。

那么是先 从上到下 ,再从左到右遍历,例如这样:

for (int i = 1; i < nums.size(); i++) { // 行,遍历物品
    for (int j = 0; j <= bagSize; j++) { // 列,遍历背包
    }
}

还是先 从左到右,再从上到下呢,例如这样:

for (int j = 0; j <= bagSize; j++) { // 列,遍历背包
    for (int i = 1; i < nums.size(); i++) { // 行,遍历物品
    }
}

其实以上两种遍历都可以! (但仅针对二维DP数组是这样的)

这一点我在 01背包理论基础中的 遍历顺序部分讲过。

这里我再画图讲一下,以求dp[2][2]为例,当先从上到下,再从左到右遍历,矩阵是这样:

当先从左到右,再从上到下遍历,矩阵是这样:

这里大家可以看出,无论是以上哪种遍历,都不影响 dp[2][2]的求值,用来 推导 dp[2][2] 的数值都在。

  1. 举例推导dp数组

输入:nums: [1, 1, 1, 1, 1], target: 3

bagSize = (target + sum) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4

dp数组状态变化如下:

这么大的矩阵,我们是可以自己手动模拟出来的。

在模拟的过程中,既可以帮我们寻找规律,也可以帮我们验证 递推公式加遍历顺序是不是按照我们想象的结果推进的。

最后二维dp数组的C++代码如下:

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
        if (abs(target) > sum) return 0; // 此时没有方案
        if ((target + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案
        int bagSize = (target + sum) / 2;
        
        vector<vector<int>> dp(nums.size(), vector<int>(bagSize + 1, 0));
        
        // 初始化最上行
        if (nums[0] <= bagSize) dp[0][nums[0]] = 1; 

        // 初始化最左列,最左列其他数值在递推公式中就完成了赋值
        dp[0][0] = 1; 

        int numZero = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            if (nums[i] == 0) numZero++;
            dp[i][0] = (int) pow(2.0, numZero);
        }

        // 以下遍历顺序行列可以颠倒
        for (int i = 1; i < nums.size(); i++) { // 行,遍历物品
            for (int j = 0; j <= bagSize; j++) { // 列,遍历背包
                if (nums[i] > j) dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 
                else dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[nums.size() - 1][bagSize];
    }
};

动态规划 (一维dp数组)

将二维dp数组压缩成一维dp数组,我们在 01背包理论基础(滚动数组) 讲过滚动数组,原理是一样的,即重复利用每一行的数值。

既然是重复利用每一行,就是将二维数组压缩成一行。

dp[i][j] 去掉 行的维度,即 dp[j],表示:填满j(包括j)这么大容积的包,有dp[j]种方法。

  1. 确定递推公式

二维DP数组递推公式: dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];

去掉维度i 之后,递推公式:dp[j] = dp[j] + dp[j - nums[i]] ,即:dp[j] += dp[j - nums[i]]

这个公式在后面在讲解背包解决排列组合问题的时候还会用到!

  1. dp数组如何初始化

在上面 二维dp数组中,我们讲解过 dp[0][0] 初始为1,这里dp[0] 同样初始为1 ,即装满背包为0的方法有一种,放0件物品。

  1. 确定遍历顺序

动态规划:关于01背包问题,你该了解这些!(滚动数组)中,我们系统讲过对于01背包问题一维dp的遍历。

遍历物品放在外循环,遍历背包在内循环,且内循环倒序(为了保证物品只使用一次)。

  1. 举例推导dp数组

输入:nums: [1, 1, 1, 1, 1], target: 3

bagSize = (target + sum) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4

dp数组状态变化如下:

大家可以和 二维dp数组的打印结果做一下对比。

一维DP的C++代码如下:

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
        if (abs(target) > sum) return 0; // 此时没有方案
        if ((target + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案
        int bagSize = (target + sum) / 2;
        vector<int> dp(bagSize + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            for (int j = bagSize; j >= nums[i]; j--) {
                dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[bagSize];
    }
};
  • 时间复杂度:O(n × m),n为正数个数,m为背包容量
  • 空间复杂度:O(m),m为背包容量

拓展

关于一维dp数组的递推公式解释,也可以从以下维度来理解。 (但还是从二维DP数组到一维DP数组这样更容易理解一些

  1. 确定递推公式

有哪些来源可以推出dp[j]呢?

只要搞到nums[i],凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法。

例如:dp[j],j 为5,

  • 已经有一个1(nums[i]) 的话,有 dp[4]种方法 凑成 容量为5的背包。
  • 已经有一个2(nums[i]) 的话,有 dp[3]种方法 凑成 容量为5的背包。
  • 已经有一个3(nums[i]) 的话,有 dp[2]种方法 凑成 容量为5的背包
  • 已经有一个4(nums[i]) 的话,有 dp[1]种方法 凑成 容量为5的背包
  • 已经有一个5 (nums[i])的话,有 dp[0]种方法 凑成 容量为5的背包

那么凑整dp[5]有多少方法呢,也就是把 所有的 dp[j - nums[i]] 累加起来。

所以求组合类问题的公式,都是类似这种:

dp[j] += dp[j - nums[i]]

总结

此时 大家应该不禁想起,我们之前讲过的回溯算法:39. 组合总和是不是应该也可以用dp来做啊?

是可以求的,如果仅仅是求个数的话,就可以用dp,但回溯算法:39. 组合总和要求的是把所有组合列出来,还是要使用回溯法暴搜的。

本题还是有点难度,理解上从二维DP数组更容易理解,做题上直接用一维DP更简洁一些。

大家可以选择哪种方式自己更容易理解。

在后面得题目中,在求装满背包有几种方法的情况下,递推公式一般为:

dp[j] += dp[j - nums[i]];

我们在讲解完全背包的时候,还会用到这个递推公式!

其他语言版本

Java

class Solution {
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) sum += nums[i];

        //如果target的绝对值大于sum,那么是没有方案的
        if (Math.abs(target) > sum) return 0;
        //如果(target+sum)除以2的余数不为0,也是没有方案的
        if ((target + sum) % 2 == 1) return 0;

        int bagSize = (target + sum) / 2;
        int[] dp = new int[bagSize + 1];
        dp[0] = 1;

        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            for (int j = bagSize; j >= nums[i]; j--) {
                dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }

        return dp[bagSize];
    }
}

易于理解的二维数组版本:

class Solution {
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {

        // 01背包应用之“有多少种不同的填满背包最大容量的方法“
        // 易于理解的二维数组解法及详细注释

        int sum = 0;
        for(int i = 0; i < nums.length; i++) {
            sum += nums[i];
        }

        // 注意nums[i] >= 0的题目条件,意味着sum也是所有nums[i]的绝对值之和
        // 这里保证了sum + target一定是大于等于零的,也就是left大于等于零(毕竟我们定义left大于right)
        if(sum < Math.abs(target)){
            return 0;
        }

        // 利用二元一次方程组将left用target和sum表示出来(替换掉right组合),详见代码随想录对此题的分析
        // 如果所求的left数组和为小数,则作为整数数组的nums里的任何元素自然是没有办法凑出这个小数的
        if((sum + target) % 2 != 0) {
            return 0;
        }

        int left = (sum + target) / 2;
        
        // dp[i][j]:遍历到数组第i个数时, left为j时的能装满背包的方法总数
        int[][] dp = new int[nums.length][left + 1];

        // 初始化最上行(dp[0][j]),当nums[0] == j时(注意nums[0]和j都一定是大于等于零的,因此不需要判断等于-j时的情况),有唯一一种取法可取到j,dp[0][j]此时等于1
        // 其他情况dp[0][j] = 0
        // java整数数组默认初始值为0
        if (nums[0] <= left) {
            dp[0][nums[0]] = 1;
        }

        // 初始化最左列(dp[i][0])
        // 当从nums数组的索引0到i的部分有n个0时(n > 0),每个0可以取+/-,因此有2的n次方中可以取到j = 0的方案
        // n = 0说明当前遍历到的数组部分没有0全为正数,因此只有一种方案可以取到j = 0(就是所有数都不取)
        int numZeros = 0;
        for(int i = 0; i < nums.length; i++) {
            if(nums[i] == 0) {
                numZeros++;
            }
            dp[i][0] = (int) Math.pow(2, numZeros);

        }

        // 递推公式分析:
        // 当nums[i] > j时,这时候nums[i]一定不能取,所以是dp[i - 1][j]种方案数
        // nums[i] <= j时,num[i]可取可不取,因此方案数是dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]]
        // 由递推公式可知,先遍历i或j都可
        for(int i = 1; i < nums.length; i++) {
            for(int j = 1; j <= left; j++) {
                if(nums[i] > j) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];
                }
            }
        }


        return dp[nums.length - 1][left];
        
    }
}

Python

回溯版

class Solution:


    def backtracking(self, candidates, target, total, startIndex, path, result):
        if total == target:
            result.append(path[:])  # 将当前路径的副本添加到结果中
        # 如果 sum + candidates[i] > target,则停止遍历
        for i in range(startIndex, len(candidates)):
            if total + candidates[i] > target:
                break
            total += candidates[i]
            path.append(candidates[i])
            self.backtracking(candidates, target, total, i + 1, path, result)
            total -= candidates[i]
            path.pop()

    def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        total = sum(nums)
        if target > total:
            return 0  # 此时没有方案
        if (target + total) % 2 != 0:
            return 0  # 此时没有方案,两个整数相加时要注意数值溢出的问题
        bagSize = (target + total) // 2  # 转化为组合总和问题,bagSize就是目标和

        # 以下是回溯法代码
        result = []
        nums.sort()  # 需要对nums进行排序
        self.backtracking(nums, bagSize, 0, 0, [], result)
        return len(result)

二维DP

class Solution:
    def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        total_sum = sum(nums)  # 计算nums的总和
        if abs(target) > total_sum:
            return 0  # 此时没有方案
        if (target + total_sum) % 2 == 1:
            return 0  # 此时没有方案
        target_sum = (target + total_sum) // 2  # 目标和

        # 创建二维动态规划数组,行表示选取的元素数量,列表示累加和
        dp = [[0] * (target_sum + 1) for _ in range(len(nums) + 1)]

        # 初始化状态
        dp[0][0] = 1

        # 动态规划过程
        for i in range(1, len(nums) + 1):
            for j in range(target_sum + 1):
                dp[i][j] = dp[i - 1][j]  # 不选取当前元素
                if j >= nums[i - 1]:
                    dp[i][j] += dp[i - 1][j - nums[i - 1]]  # 选取当前元素

        return dp[len(nums)][target_sum]  # 返回达到目标和的方案数

一维DP

class Solution:
    def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        total_sum = sum(nums)  # 计算nums的总和
        if abs(target) > total_sum:
            return 0  # 此时没有方案
        if (target + total_sum) % 2 == 1:
            return 0  # 此时没有方案
        target_sum = (target + total_sum) // 2  # 目标和
        dp = [0] * (target_sum + 1)  # 创建动态规划数组,初始化为0
        dp[0] = 1  # 当目标和为0时,只有一种方案,即什么都不选
        for num in nums:
            for j in range(target_sum, num - 1, -1):
                dp[j] += dp[j - num]  # 状态转移方程,累加不同选择方式的数量
        return dp[target_sum]  # 返回达到目标和的方案数

Go

二维dp

func findTargetSumWays(nums []int, target int) int {
    sum := 0
    for _, v := range nums {
        sum += v
    }
    if math.Abs(float64(target)) > float64(sum) {
        return 0 // 此时没有方案
    }
    if (target + sum) % 2 == 1 {
        return 0 // 此时没有方案
    }
    bagSize := (target + sum) / 2
    
    dp := make([][]int, len(nums))
    for i := range dp {
        dp[i] = make([]int, bagSize + 1)
    }
    
    // 初始化最上行
    if nums[0] <= bagSize {
        dp[0][nums[0]] = 1
    }
    
    // 初始化最左列,最左列其他数值在递推公式中就完成了赋值
    dp[0][0] = 1
    
    var numZero float64
    for i := range nums {
        if nums[i] == 0 {
            numZero++
        }
        dp[i][0] = int(math.Pow(2, numZero))
    }
    
    // 以下遍历顺序行列可以颠倒
    for i := 1; i < len(nums); i++ { // 行,遍历物品
        for j := 0; j <= bagSize; j++ { // 列,遍历背包
            if nums[i] > j {
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            } else {
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-nums[i]]
            }
        }
    }
    return dp[len(nums)-1][bagSize]
}

一维dp

func findTargetSumWays(nums []int, target int) int {
	sum := 0
	for _, v := range nums {
		sum += v
	}
	if abs(target) > sum {
		return 0
	}
	if (sum+target)%2 == 1 {
		return 0
	}
	// 计算背包大小
	bag := (sum + target) / 2
	// 定义dp数组
	dp := make([]int, bag+1)
	// 初始化
	dp[0] = 1
	// 遍历顺序
	for i := 0; i < len(nums); i++ {
		for j := bag; j >= nums[i]; j-- {
			//推导公式
			dp[j] += dp[j-nums[i]]
			//fmt.Println(dp)
		}
	}
	return dp[bag]
}

func abs(x int) int {
	return int(math.Abs(float64(x)))
}

Javascript

const findTargetSumWays = (nums, target) => {

    const sum = nums.reduce((a, b) => a+b);
    
    if(Math.abs(target) > sum) {
        return 0;
    }

    if((target + sum) % 2) {
        return 0;
    }

    const halfSum = (target + sum) / 2;

    let dp = new Array(halfSum+1).fill(0);
    dp[0] = 1;

    for(let i = 0; i < nums.length; i++) {
        for(let j = halfSum; j >= nums[i]; j--) {
            dp[j] += dp[j - nums[i]];
        }
    }

    return dp[halfSum];
};

TypeScript

function findTargetSumWays(nums: number[], target: number): number {
    // 把数组分成两个组合left, right.left + right = sum, left - right = target.
    const sum: number = nums.reduce((a: number, b: number): number => a + b);
    if ((sum + target) % 2 || Math.abs(target) > sum)  return 0;
    const left: number = (sum + target) / 2;
    
    // 将问题转化为装满容量为left的背包有多少种方法
    // dp[i]表示装满容量为i的背包有多少种方法
    const dp: number[] = new Array(left + 1).fill(0);
    dp[0] = 1;  // 装满容量为0的背包有1种方法(什么也不装)
    for (let i: number = 0; i < nums.length; i++) {
        for (let j: number = left; j >= nums[i]; j--) {
            dp[j] += dp[j - nums[i]];
        }
    }
    return dp[left];
};

Scala

object Solution {
  def findTargetSumWays(nums: Array[Int], target: Int): Int = {
    var sum = nums.sum
    if (math.abs(target) > sum) return 0 // 此时没有方案
    if ((sum + target) % 2 == 1) return 0 // 此时没有方案
    var bagSize = (sum + target) / 2
    var dp = new Array[Int](bagSize + 1)
    dp(0) = 1
    for (i <- 0 until nums.length; j <- bagSize to nums(i) by -1) {
      dp(j) += dp(j - nums(i))
    }

    dp(bagSize)
  }
}

Rust

impl Solution {
    pub fn find_target_sum_ways(nums: Vec<i32>, target: i32) -> i32 {
        let sum = nums.iter().sum::<i32>();
        if target.abs() > sum {
            return 0;
        }
        if (target + sum) % 2 == 1 {
            return 0;
        }
        let size = (sum + target) as usize / 2;
        let mut dp = vec![0; size + 1];
        dp[0] = 1;
        for n in nums {
            for s in (n as usize..=size).rev() {
                dp[s] += dp[s - n as usize];
            }
        }
        dp[size]
    }
}

C

int getSum(int * nums, int numsSize){
    int sum = 0;
    for(int i = 0; i < numsSize; i++){
        sum += nums[i];
    }
    return sum;
}

int findTargetSumWays(int* nums, int numsSize, int target) {
    int sum = getSum(nums, numsSize);
    int diff = sum - target;
    // 两种情况不满足
    if(diff < 0 || diff % 2 != 0){
        return 0;
    }
    int bagSize = diff / 2;
    int dp[numsSize + 1][bagSize + 1];
    dp[0][0] = 1;
    for(int i = 1; i <= numsSize; i++){
        int num = nums[i - 1];
        for(int j = 0; j <= bagSize; j++){
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            if(j >= num){
                dp[i][j] += dp[i - 1][j - num];
            }
        }
    }
    return dp[numsSize][bagSize];
}

C#

public class Solution
{
    public int FindTargetSumWays(int[] nums, int target)
    {
        int sum = 0;
        foreach (int num in nums)
        {
            sum += num;
        }
        if (Math.Abs(target) > sum) return 0;
        if ((sum + target) % 2 == 1) return 0;
        int bagSize = (sum + target) / 2;
        int[] dp = new int[bagSize + 1];
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < nums.Length; i++)
        {
            for (int j = bagSize; j >= nums[i]; j--)
            {
                dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[bagSize];
    }
}