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T1 T2 拉力

$\alpha$ 和 $\beta$ 为夹角

由牛顿第二定律得:

1,水平方向上的合力为 0

$$\sum_{x}^{}F_x=0$$ $$T_1\cos\alpha-T_2\cos\beta=0$$

2,垂直方向上的合力为ma

$$\sum_{u}^{}F_u=ma$$ $$T_1\sin\alpha-T_2\sin\beta=ma$$

我们令

$$T_1\cos\alpha=T_2\cos\beta=T (公式1)$$

因为加速度是速度对时间的微分， 而速度是长度对时间的微分， 所以我们可以写成以下形式。

$$T_1\sin\alpha-T_2\sin\beta=ma=m\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} (公式2)$$

我们设 u 为线密度。则 u可以表示为 线的总质量 除以 线的总长度

$$u = \frac {M} {L}$$

令线上每一微小的一段质量为 $\Delta M$ , 每一微小一段质量为 $\Delta L$, 则：

$$\frac {\Delta M} {\Delta L} = \frac {m} {PQ}$$

这里的PQ就是上图中每一微小的弧长， 我们可以令弧长约等于 $\Delta x$ , 可得：

$$\frac {\Delta M} {\Delta L} = \frac {m} {PQ} \approx \frac {m} {\Delta x}$$

我们于是得到：

$$m \approx u \Delta x$$

现在我们可以把公式1，公式2重新整理成公式3，公式4

$$T_1\cos\alpha=T_2\cos\beta=T (公式3)$$ $$T_1\sin\alpha-T_2\sin\beta=ma=u \Delta x\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} (公式4)$$

接下来我们对公式4的两边同时除以T，即公式1的对应项。得：

$$\frac{T_1\sin\alpha}{T_1\cos\alpha} - \frac{T_2\sin\beta}{T_2\cos\beta} = \frac{u}{T}\Delta x\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}$$

我们把对应相同的系数约掉，得：

$$\frac{\tan\alpha-\tan\beta} {\Delta x} = \frac {u} {T} \frac{\partial^2 y} {\partial t^2} (公式5)$$

$\tan\alpha$ $\tan\beta$ 的定义

$$\tan\alpha = y'_x(x,t)|_{x=x+\Delta t} = \frac{\partial y} {\partial x} |_{x=x+\Delta x} (公式6)$$ $$\tan\beta = y'_x(x,t)|_{x=x} = \frac{\partial y} {\partial x} |_{x=x} (公式7)$$

把公式6，7代入公式5得：

$$\frac{y'_x(x,t)|_{x=x+\Delta t} - y'_x(x,t)|_{x=x} }{\Delta x} = y''_{xx}(x,t) (公式8)$$

把公式8的右边带入公式5的左边得：

$$\frac{\partial^2 y} {\partial x^2} = \frac {u}{T} \frac{\partial^2 y} {\partial t^2} (公式9)$$

至此我们得到了大名鼎鼎的波动方程.

我们看一下$\frac{u}{t}$的单位是怎样的。

u 是线密度，所以u的单位为：

$$\frac {质量}{长度}$$

T 是张力，根据牛顿第二定律f=ma, 其单位为：

$$质量*\frac{长度}{时间^2}$$

所以 $\frac{u}{t}$ 的单位为：

$$\frac {1} { ({\frac {长度} {时间} }) ^ 2}$$

我们令 $\frac{长度}{时间} = C $ 则公式9可以整理成：

$$\frac{\partial^2 y} {\partial x^2} = \frac {1}{C^2} \frac{\partial^2 y} {\partial t^2} (公式10)$$

我们对公式10右边进行整理 并 令其等于 f(x)：

$$\frac{\partial y} {\partial t} \approx \frac{y(t,x) - y(t-\Delta t, x)}{\Delta t} = f(t, x) (公式11)$$

y对于t的两次导数可以表示成

$$\frac{\partial^2 y} {\partial t^2} = \frac{\partial f}{\partial t} \approx \frac{f(t+\Delta t,x) - f(t, x)}{\Delta t} (公式12)$$

我们把公式11带入公式12得：

$$\frac{\partial^2 y} {\partial t^2} =\frac{f(t+\Delta t,x) - f(t, x)}{\Delta t} = \frac{y(t+\Delta t, x) -y(t,x) -y(t,x) +y(t-\Delta t, x)}{\Delta t^2} = \frac{y(t+\Delta t, x) -2y(t,x) +y(t-\Delta t, x)}{\Delta t^2} (公式13)$$

同理，我们可得：

$$\frac{\partial^2 y} {\partial x^2} = \frac{y(t, x+\Delta x) -2y(t,x) +y(t, x-\Delta x)}{\Delta x^2} (公式14)$$

由公式13 和 公式14 得：

$$y(t+\Delta t, x) = \frac{y(t, x+\Delta x) -2y(t,x) +y(t, x-\Delta x)}{\Delta x^2} \frac{T}{u} \Delta t^2 + 2y(t,x) - y(t-\Delta t, x) (公式15)$$

如下图所示，我们要求黄色点y的值，则需要根据蓝白红三个点求出！